[Beliux]

Hola por favor me pueden ayudar , con este ejercicio, la verdad estoy algo quedado tengo  plazo hasta mañana, se los agradeceré de todo corazón, ya que llevo dos días sin dormir por la carga estudiantil y laboral, el ejercicio es el siguiente:

Resolver a través del Teorema stoke:

Evalúe \( ∫∫_s 𝑟𝑜𝑡(\overrightarrow{𝐹})  \cdot{}𝑑𝑠 \), si \( \overrightarrow{𝐹} (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑦, 𝑥, 0) \) donde \( 𝑆 \) está parametrizada por \( 𝑝(𝑟, 𝜃) = (𝑟(2 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟(2 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃) \) donde \( 0 ≤ 𝑟 < 1, 0 < 𝜃 < 2𝜋. \)

También seria de mucha ayuda la comprobación en Matlab, sin embargo estoy mas quedado con los cálculos.
Muchas gracias.

[electron]

Hola.

La superficie del ejercicio tiene esta forma:



El teorema de Stokes afirma que puedes calcular la integral de superficie (la que te piden evaluar) como una integral de línea, donde la curva de integración es la frontera de dicha superficie. Esta curva es fácil de deducir sin más que dar a \( r \) su valor máximo 1:

\( C:(x=cos\theta(2+cos\theta),y=sin\theta(2+cos\theta),z=sin\theta) \) con \( 0\leq\theta\leq2\pi \)



La integral a calcular es \( \displaystyle\int_{C}^{}\vec{F}·d\vec{r} \), donde \( \vec{F}=(-y,x,0) \) y \( d\vec{r}=(dx,dy,dz) \). Hallamos los diferenciales:

\( dx=-2sen\theta(1+cos\theta)d\theta \)
\( dy=(2cos\theta+cos(2\theta))d\theta \)
\( dz=cos\theta d\theta \)

El integrando es \( \vec{F}·d\vec{r}=-sin\theta(2+cos\theta)·[-2sen\theta(1+cos\theta)]d\theta+cos\theta(2+cos\theta)·(2cos\theta+cos(2\theta))d\theta=(2+cos\theta)^2d\theta \)
[nota: aquí hay un trabajo previo de simplificación].

La integral pedida será: \( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(2+cos\theta)^2d\theta=9\pi \)

Espero no haberme equivocado en nada.

Saludos.

[Beliux]

 
Muchas gracias ya estoy trabajando en el ejercicio, ya que me tocar dar mas detalle de los pasos, si tengo dudas seguiré preguntando, me causa curiosidad cuales fueron los datos ingresados en Geogebra, como se ingresaron esos datos para que resulte la gráfica de esa forma?

Muchas gracias

[electron]

me causa curiosidad cuales fueron los datos ingresados en Geogebra, como se ingresaron esos datos para que resulte la gráfica de esa forma?

Estas gráficas las he hecho con Wolfram Mathematica, ya que personalmente tengo más experiencia con este programa para gráficos 3D y cálculo simbólico. Geogebra lo uso más para dibujos modificables en 2D.



Un saludo.

[Beliux]

Hola.

La superficie del ejercicio tiene esta forma:



El teorema de Stokes afirma que puedes calcular la integral de superficie (la que te piden evaluar) como una integral de línea, donde la curva de integración es la frontera de dicha superficie. Esta curva es fácil de deducir sin más que dar a \( r \) su valor máximo 1:

\( C:(x=cos\theta(2+cos\theta),y=sin\theta(2+cos\theta),z=sin\theta) \) con \( 0\leq\theta\leq2\pi \)



La integral a calcular es \( \displaystyle\int_{C}^{}\vec{F}·d\vec{r} \), donde \( \vec{F}=(-y,x,0) \) y \( d\vec{r}=(dx,dy,dz) \). Hallamos los diferenciales:

\( dx=-2sen\theta(1+cos\theta)d\theta \)
\( dy=(2cos\theta+cos(2\theta))d\theta \)
\( dz=cos\theta d\theta \)

El integrando es \( \vec{F}·d\vec{r}=-sin\theta(2+cos\theta)·[-2sen\theta(1+cos\theta)]d\theta+cos\theta(2+cos\theta)·(2cos\theta+cos(2\theta))d\theta=(2+cos\theta)^2d\theta \)
[nota: aquí hay un trabajo previo de simplificación].

La integral pedida será: \( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(2+cos\theta)^2d\theta=9\pi \)

Espero no haberme equivocado en nada.

Saludos.

Muchas gracias por la gran ayuda, colaborar con mas detalle con esta expresión, con el siguiente paso, no entiendo porque quedo en el igual \( (2+cos\theta)^2d \)

El integrando es \( \vec{F}·d\vec{r}=-sin\theta(2+cos\theta)·[-2sen\theta(1+cos\theta)]d\theta+cos\theta(2+cos\theta)·(2cos\theta+cos(2\theta))d\theta=(2+cos\theta)^2d\theta \)
[nota: aquí hay un trabajo previo de simplificación].

No entiendo este es el resultado de toda la integral anterior? Todo se intengra respecto a \( \theta \)? primeros simplificaste toda la expresión anterior con funciones trigonometricas o este el es el producto cruz entre las derivadas y la expresión resultante la integraste con respecto a \( \theta \)?
\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(2+cos\theta)^2d\theta=9\pi \) Entocnes este es el resultado final o me toca hacer algo mas?

[electron]

Muchas gracias por la gran ayuda, colaborar con mas detalle con esta expresión, con el siguiente paso, no entiendo porque quedo en el igual \( (2+cos\theta)^2d \)

Intenta desarrollar los productos y luego sumar (hay dos sumandos con factor común \( d\theta \))

\( -sin\theta(2+cos\theta)·[-2sen\theta(1+cos\theta)]+cos\theta(2+cos\theta)·(2cos\theta+cos(2\theta))=... \)

Recuerda que \( sen^2\theta +cos^2\theta =1 \) y que \( cos(2\theta)=cos^2\theta-sen^2\theta \). Al final debe quedar \( 4+cos^2\theta+4cos\theta \).

No entiendo este es el resultado de toda la integral anterior? Todo se intengra respecto a \( \theta \)? primeros simplificaste toda la expresión anterior con funciones trigonometricas o este el es el producto cruz entre las derivadas y la expresión resultante la integraste con respecto a \( \theta \)?

Debes tener claro en qué consiste el Teorema de Stokes que te piden utilizar:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Stokes

El ejercicio te pide hallar una integral doble (evaluada en toda la superficie que hemos dibujado) y el Teorema te permite hallarla a través de una integral simple (evaluada a lo largo de la curva frontera C), por eso hemos necesitado su ecuación. Como es una curva, está parametrizada con una única variable \( \theta \), que es respecto a la que toca integrar. Si te fijas bien en la resolución, no he utilizado el producto cruz en ningún momento, solamente el producto escalar; el resultado de este producto escalar es la expresión \( (2+cos\theta)^2d\theta \), una vez simplificado.

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(2+cos\theta)^2d\theta=9\pi \) Entocnes este es el resultado final o me toca hacer algo mas?

Te piden evaluar una integral con un campo \( \overrightarrow{F} \) y en una superficie dada. Esto se puede hacer de varias formas, pero aquí debes hacerlo a través del Teorema de Stokes. Esta integral tampoco es inmediata, ya que hay que desarrollar el cuadrado y utilizar las técnicas de resolución de integrales trigonométricas (sencillas, eso sí). El resultado es un número: \( 9\pi \).

Te recomiendo mirar bien el Teorema para que entiendas qué estamos haciendo y luego pases a hacer los cálculos hasta que logres llegar al resultado correcto.

Un saludo