Este ejercicio me tiene intrigado, y no he querido buscar soluciones por ahí de momento. En principio se me ocurrió lo siguiente para buscar vectores propios de \( \mathcal{F} \) utilizando el teorema integral de Fourier que nos dice que \( \int \hat f g=\int f \hat g \) para todo \( f,g\in L^1 \) (y en particular también es válido en \( L^2 \) ya que \( \mathcal{F} \) es una conocida isometría en \( L^2 \)).
Luego a eso le sumé el hecho de que si \( f\in L^1_{\mathrm{loc}} \) y \( \int f\varphi =0 \) para toda función test \( \varphi \), entonces \( f=0 \). Sumando estos dos resultados nos encontramos que si \( \hat f=\lambda f \) entonces
\( \displaystyle{
\int \hat f \varphi =\lambda \int f \varphi \,\land\, \int \hat f \varphi =\int f \hat \varphi \implies \int f(\hat \varphi -\lambda \varphi )=0
} \)
para toda función test \( \varphi \), si no me he equivocado. Eso nos indica que todas las funciones de la forma \( \hat \varphi -\lambda \varphi \) tienen algún tipo de estructura o simetría que permite la existencia de vectores propios \( f\neq 0 \), lo cual me parece sorprendente. No he investigado mucho más allá de esta idea, la cual además no parece conducir a nada en lo relativo al tema del hilo.
P.D.: el término "función propia" me confundió un poco al inicio al leer el hilo, ya que ese término se utiliza en topología para designar a toda función entre espacios topológicos cuya preimagen de cualquier compacto es compacto.
P.D. 2: el término en inglés es "proper function" que si bien se puede traducir por "función propia" quizá una traducción más adecuada fuese "función apropiada".
