Qué triste es que me quiten el aplauso.
En fin.
Voy a procurar desarrollar con más claridad la supuesta prueba que ofrecí unos posts arriba.
Dada una sucesión \(\{\alpha_j\}_j\), tal que:
\[\alpha_j= \langle \alpha_{j,1},\ldots,\alpha_{j,m_j}\rangle,\]
donde \(m_j\) es la "longitud" de \(\alpha_j\),
y que cumple \(\alpha_j\succ\alpha_{j+1}\), todo \(j\),
podemos asegurar algunas cosas:
(Hecho 1) No puede ser que \(\alpha_{j,1}=0\) para algún \(j\).
Si esto no fuese así, habría algún \(j_0\) tal que
todos los valores \(\alpha_{j_0,k}=0\), para \(k=1,\ldots,m_{j_0}\).
Rastreando en la sucesión \(\alpha_{j_0}\) hacia adelante,
tendríamos que tener que \(\alpha_{h}=0\), para algún \(h\leq j_0+m_{j_0}\),
con lo cual la sucesión ya no podría ser decreciente a partir de \(h\) en adelante.
En particular:
(Hecho 2) Para todo \(j\): \(m_j\geq 1\).
(Hecho 3) La expresión \([\alpha_j]\), que llamé hiperlogaritmo natural de \(\alpha_j\), es no-creciente con el orden usual de \(\mathbb N\), y en particular \([\alpha_j]\) es constante a partir de un índice \(j=j_0\) dado en adelante.
(Hecho 4) Podemos asumir que \(j_0=1\), y también que \([\alpha_j] = constante > 0\).
Esto último lo tomamos así, porque \([\alpha_j]=0\) significa que \(\alpha_j\prec\omega\),
con lo cual \(\alpha_{j,1}=0\), y caemos en el Hecho 1.
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Si \(m_{j+1}<m_j\) y \(\alpha_{j+1,k}=\alpha_{j,k}\), para \(k=1,\ldots, m_{j+1}\),
estamos en lo que en posts anteriores llamé "Caso A".
A partir de \(\alpha_j\), sólo puede haber una cantidad finita de ítems
\(\alpha_{j+1},\alpha_{j+2}\), etc., tal que su siguiente se obtiene de esa forma,
vale decir, meramente recortando el ítem anterior en una o más componentes.
Por lo tanto, para cada \(j\), existe un mínimo \(\nu(j)>j\)
tal que \(\alpha_{\nu(j)}\) no se obtiene recortando la "cola" \(\alpha_j\).
Si denotamos
\[\nu^{(n)}(j)=\underbrace{\nu\circ\cdots\circ\nu}_n(j),\]
obtenemos una subsucesión:
\[\{\alpha_{\nu^{(n)}(1)}\}_{n\in\mathbb N},\]
donde por ejemplo establecemos \(\alpha_{\nu^{(0)}(1)}=\alpha_1\).
Esta subsucesión, que reetiquetamos como \(\{\tilde\alpha_n\}\),
dicha sucesión satisface los Hechos 1 a 4,
y además el elemento \(\tilde\alpha_{n+1}\) no se obtiene de \(\tilde\alpha_n\)
meramente "recortando" la cola de \( \tilde\alpha_n\).
S.p.d.g., voy a suponer que la sucesión original \(\{\alpha_j\}_j\)
ya viene con esta propiedad.
Esto quiere decir que \(\alpha_{j+1,k}=\alpha_{j,k}\) para \(k=1,\ldots,h_j\),
para cierto índice \(h_j\), que puede ser 0,
y \(\alpha_{j+1,h_j+1}\prec \alpha_{j,h_j+1}\).
Además, en este caso tiene que ocurrir que \(m_j > h_j\).
Es en una sucesión con esa estructura que voy a realizar el análisis subsiguiente.
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El objetivo es hallar una sucesión de la forma \(\{\alpha_{j_n,k_{j_n}}\}_n\)
que sea \(\succ\)-monótona estrictamente. Llamemos esto el objetivo \(\fbox{X}\).
En ese caso, satisfaría la condición de ser una sucesión con un hiperlogaritmo natural menor que la original \(\{\alpha_j\}\).
En tal caso, se repetiría todo el proceso con la sucesión obtenida.
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Primero elijo \((n_1,k_{n_1})=(1,1)\).
Lo primero que hago es observar la primer "columna" \(\{\alpha_{j,1}\}_j\).
Si existe una subsucesión con índices \(\{j_k\}_k\) crecientes, tal que
\(\alpha_{j_k,1}\succ \alpha_{j_{k+1},1}\),
entonces estamos hemos obtenido \(\fbox X\).
De lo contrario,
significa que a partir de un mínimo índice \(i\),
todos los ordinales \(\alpha_{j,1}\) son iguales, \(j\geq i\).
En ese caso, para todo \(j\geq i\) hay componentes \(\alpha_{j,2}\)
en la 2da columna, porque si no, significaría que \(\alpha_j\) es constante para \(j\geq i\).
Asimismo, \(\alpha_{j,2}\neq 0\) para \(j\geq i\),
porque de lo contrario, en un número finito de pasos, \(\alpha_{j,2}\) no existiría.
Ahora observamos lo que ocurre en la 2da columna.De nuevo, puede haber una subsucesión \(\{\alpha_{j_k,2}\}_k\)
tal que esté estrictamente ordenada por \(\succ\).
En cuyo caso, hemos cumplido el objetivo \(\fbox X\).
Si esto no ocurre, hay un mínimo índice \(\iota\geq i\)
a partir del cual todos los ordinales \(\alpha_{j,2}\) son iguales.
Si \(\iota > i\), entonces elegimos \((n_2,k_{n_2}) = (i,2)\).
De lo contrario seguimos buscando la primer columna \(q\)
en la que haya algún elemento \(\alpha_{\iota,q}\prec \alpha_{i,1}\).
En dicha columna, buscamos el primer índice \(\iota\)
tal que \(\alpha_{i,1}\succ\alpha_{\iota,q} \).
Tenemos que \(\iota\geq i\geq 1\), \(q> k_{n_1}=1\).
Notemos que tal columna \(q\) tiene que existir, porque \(\alpha_{i}\succ \alpha_{i+1}\) implica que estos dos elementos difieren en alguna de sus componentes.
Denotamos \((n_2,k_{n_2})=(\iota,q)\).
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Ahora repetimos el procedimiento, analizando lo que ocurre con los elementos
\(\alpha_{j,k_{n_2}}\), tal que \(j\geq n_2\).
De nuevo, si hay una subsucesión \(\{\alpha_{j_n,k_{j_n}}\}_n\) ordenada por \(\succ\),
hemos logrado el objetivo \(\fbox X\).
De lo contrario, otra vez tenemos que \(\{\alpha_{j,k_{n_2}}\}_j\) es constante
para \(j\) "grande", debajo de la columna \(k_{n_2}\).
Afirmo que se puede volver a repetir todo el procedimiento,
hasta hallar un par \((n_3,k_{n_3}\), de modo que \(n_3>n_2\), \(k_{n_3}>k_ {n_2}\),
de modo que \(\alpha_{n_3,k_{n_3}}\prec\alpha_{n_2,k_{n_2}}\).
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Este procedimiento de búsqueda se continúa en sucesivos pasos,
obteniendo pares de índices
\((n_1,k_{n_1}),(n_2,k_{n_2}),\ldots,(n_r,k_{n_r})\),
tal que \(\alpha_{n_t,k_{n_t}}\succ\alpha_{n_{t+1},k_{n_{t+1}}}\),
\(n_t<n_{t+1},k_{n_t}<k_{n_{t+1}}\), \(t=1,\ldots, r-1\),
hasta conseguir el objetivo \(\fbox X\),
en cuyo caso hemos terminado;
o bien se continúa con el proceso,
formando una sucesión de pares de índices \(\{n_r,k_{n_r}\}_{r\in\mathbb N}\),
tal que \(\alpha_{n_t,k_{n_t}}\succ\alpha_{n_{t+1},k_{n_{t+1}}}\),
\(n_t<n_{t+1},k_{n_t}<k_{n_{t+1}}\), todo \(t\in\mathbb N\).
Esta última sucesión de ordinales \(\{\alpha_{n_t,k_{n_t}}\}_{t=1}^\infty\)
se pueden considerar como un proceso de diagonalización.
Con dicha sucesión, conseguimos asimismo el objetivo \(\fbox X\).
Esto prueba lo que queríamos. (Supuestamente...)
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