[petras]

Considere la ecuación \( \operatorname{sen}x=\dfrac{x}{3 \pi}  \)para \( x \geq 0 \). El número de soluciones de esta ecuación es: (R:4)
¿Cómo resolver este tipo de ecuación trigonométrica?

[electron]

Hola.

Esa ecuación no tiene solución cerrada (es trascendente), luego no podemos calcularla con métodos tradicionales.

Sí podemos saber cuántas hay sin más que comprobando las veces que las curvas de las funciones \( y=senx \) e \( y=\displaystyle\frac{x}{3\pi} \) se cortan. Dado que la función seno está acotada entre \( -1 \) y \( 1 \) y que la función lineal es creciente y siempre positiva en \( x>0 \), existirán cortes siempre que \( \displaystyle\frac{x}{3\pi}\leq1 \), es decir, en el intervalo \( x\in[0,3\pi] \). Aquí encaja un bucle y medio de la función seno, por lo que habrá dos cortes en \( [0,\pi] \) y otros dos en \( [2\pi,3\pi] \), en total cuatro.



Otra opción es utilizar el Teorema de Bolzano, considerando varios intervalos distintos en los que hay raíz de la función \( senx-\displaystyle\frac{x}{3\pi} \).

Saludos.

[petras]

Hola.

Esa ecuación no tiene solución cerrada (es trascendente), luego no podemos calcularla con métodos tradicionales.

Sí podemos saber cuántas hay sin más que comprobando las veces que las curvas de las funciones \( y=senx \) e \( y=\displaystyle\frac{x}{3\pi} \) se cortan. Dado que la función seno está acotada entre \( -1 \) y \( 1 \) y que la función lineal es creciente y siempre positiva en \( x>0 \), existirán cortes siempre que \( \displaystyle\frac{x}{3\pi}\leq1 \), es decir, en el intervalo \( x\in[0,3\pi] \). Aquí encaja un bucle y medio de la función seno, por lo que habrá dos cortes en \( [0,\pi] \) y otros dos en \( [2\pi,3\pi] \), en total cuatro.



Otra opción es utilizar el Teorema de Bolzano, considerando varios intervalos distintos en los que hay raíz de la función \( senx-\displaystyle\frac{x}{3\pi} \).

Saludos.

Agradecido.
Saludos.

[thadeu]

Hola petras
Bonito problema
¿Conoces su origen o de donde lo obtuviste?

[thadeu]

Hola.

Esa ecuación no tiene solución cerrada (es trascendente), luego no podemos calcularla con métodos tradicionales.

Sí podemos saber cuántas hay sin más que comprobando las veces que las curvas de las funciones \( y=senx \) e \( y=\displaystyle\frac{x}{3\pi} \) se cortan. Dado que la función seno está acotada entre \( -1 \) y \( 1 \) y que la función lineal es creciente y siempre positiva en \( x>0 \), existirán cortes siempre que \( \displaystyle\frac{x}{3\pi}\leq1 \), es decir, en el intervalo \( x\in[0,3\pi] \). Aquí encaja un bucle y medio de la función seno, por lo que habrá dos cortes en \( [0,\pi] \) y otros dos en \( [2\pi,3\pi] \), en total cuatro.



Otra opción es utilizar el Teorema de Bolzano, considerando varios intervalos distintos en los que hay raíz de la función \( senx-\displaystyle\frac{x}{3\pi} \).

Saludos.

Hola electron
¿Como sabes que hay dos cortes en $$[0,2\pi]$$ y otros dos en $$[2\pi,3\pi]$$?
¿Como sabes que no hay mas cortes?

[Luis Fuentes]

Hola

 Como dijo electrón dado que \( sin(x)\in [-1,1] \) y \( x/3\pi\geq 0 \) en \( [0,+\infty) \). Los posibles puntos de corte solo se dan en el intervalo \( [0,3\pi] \).

 En particular si el seno es negativo tampoco habrá cortes. Así que nos centramos en los intervalos \( [0,\pi] \) y \( [2\pi,3\pi] \).

 Estudiamos la función \( f(x)=3\pi sin(x)-x \) con \( f'(x)=3\pi cos(x)-1 \),  \( f''(x)=-3\pi sin(x) \).

 - En \( (0,\pi) \) la segunda derivada \( f''(x) \) no se anula, por tanto en \( [0,\pi] \) la función a lo sumo tiene dos raíces. Una es claramente \( f(0)=0 \); además \( f(\pi/2)=3\pi-\pi/2>0 \) y \( f(\pi)=-\pi<0 \). Por tanto hay otra raíz en \( (\pi/2,\pi) \)

 - Análogamente en \( (2\pi,3\pi) \) la segunda derivada \( f''(x) \) no se anula, por tanto en \( (2\pi,3\pi) \) la función a lo sumo tiene dos raíces. Tenemos además que \( f(2\pi)=-2\pi<0 \), \( f(5\pi/2)=3\pi-5\pi/2>0 \), \( f(3\pi)=-3\pi<0 \) por tanto hay exactamente un par de raíces, una en \( (2\pi,5\pi/2) \) y otra en \( (5\pi/2,3\pi) \).

Saludos.

[thadeu]

Hola Luis,
Mi solución es básicamente la misma
Usando que $$f(x)$$ estrictamente concava
Y $$g(x)$$ lineal. Se  intersecan a lo sumo en dos puntos.
Saludos.

[petras]

Hola petras
Bonito problema
¿Conoces su origen o de donde lo obtuviste?

De otro foro de matemática.

Saludos