[Mauricio Rodríguez]

Encuentre el máximo de la función
\(
f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(x_1x_2\cdots x_n)^2
 \)
sujeto a la restricción
\(
x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.
 \)

Aquí si considero la restricción \( g(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-1 \).
Al aplicar Multiplicadores de Lagrange queda el sistema
\(
\begin{array}{lcl}
2x_1(x_2\cdots x_n)^2&=&2\lambda x_1\\
&\vdots&\\
2x_n(x_1\cdots x_{n-1})^2&=&2\lambda x_n
\end{array}
 \)
Ahí no veo como concluir y como mostrar que el punto que se encuentre es máximo.

[Luis Fuentes]

Hola

Encuentre el máximo de la función
\(
f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(x_1x_2\cdots x_n)^2
 \)
sujeto a la restricción
\(
x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.
 \)

Aquí si considero la restricción \( g(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-1 \).
Al aplicar Multiplicadores de Lagrange queda el sistema
\(
\begin{array}{lcl}
2x_1(x_2\cdots x_n)^2&=&2\lambda x_1\\
&\vdots&\\
2x_n(x_1\cdots x_{n-1})^2&=&2\lambda x_n
\end{array}
 \)
Ahí no veo como concluir y como mostrar que el punto que se encuentre es máximo.

Puedes suponer que las variables son no nulas (si alguna es cero, el valor de la función objetivo es cero que es claramente el mínimo).

Si llamas \( T=x_1x_2\ldots x_n \). Las ecuaciones que obtienen equivalen a que:

\( \left(\dfrac{T}{x_i}\right)^2=\lambda \) \( i=1,2,\dots,n \)

\( x_i=\dfrac{T}{\sqrt{\lambda}} \)

y por tanto todas las variable \( x_i \) son iguales.

Es decir el único punto crítico es \( (1/\sqrt{n},1/\sqrt{n},\ldots,1/\sqrt{n}) \), dado que el recinto sobre el cual se optimiza es compacto (y por tanto existe máximo y mínimo) y la frontera es vacía ese punto crítico es el máximo.

Saludos.

[Mauricio Rodríguez]

Aunque la frontera es el propio conjunto, que de hecho es la \( n- \) esfera unitaria, porque es un conjunto cerrado.
De hecho el que es vacío es el interior.
¿Qué es lo que nos permite concluir que ese punto es máximo, por qué no podría ser mínimo?
A parte, el origen no pertenece a la restricción, entonces no se puede considerar punto crítico.

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque la frontera es el propio conjunto, que de hecho es la \( n- \) esfera unitaria, porque es un conjunto cerrado.
De hecho el que es vacío es el interior.
¿Qué es lo que nos permite concluir que ese punto es máximo, por qué no podría ser mínimo?

Si el recinto es compacto necesariamente existe el máximo y el mínimo.

Los candidatos a unos y otros son los puntos críticos (que se obtienen por Lagrange) o bien la frontera del recinto.

En este caso la frontera (entendida el recinto como objeto de dimensión \( n-1 \)) es vacía.

Por tanto los máximos y mínimos sólo pueden estar en los puntos críticos. Los puntos críticos donde algún \( x_i=0 \) los he descartado porque claramente la función vale cero en ellos (y es un mínimo porque la función nunca es negativa). Sólo me ha quedado otro punto crítico: no queda más remedio que ser el máximo.

A parte, el origen no pertenece a la restricción, entonces no se puede considerar punto crítico.

Nadie ha dicho que el origen sea punto crítico. No se muy bien porque comentas eso. Los puntos que yo he descartado son los que tienen ALGUNA (no todas) coordenada nula.

Saludos.

[Mauricio Rodríguez]

Cierto, me confundí con el origen, por un momento pensé en todo el disco.
Lo que me sigue causando un poco de duda es ¿por qué es vacía la frontera?

[Luis Fuentes]

Hola

Cierto, me confundí con el origen, por un momento pensé en todo el disco.
Lo que me sigue causando un poco de duda es ¿por qué es vacía la frontera?

Dado cualquier punto de la \( n \)-esfera siempre hay una bola abierta que intersecada con ella da un conjunto homeomomorfo a un abierto de \( \Bbb R^{n-1}. \)

Por otra parte cometí una pequeña imprecisión en lo que dije antes; en realidad lo que se obtiene de las ecuaciones es:

\( |x_i|=\left|\dfrac{T}{\sqrt{\lambda}}\right| \) (en valor absoluto)

Entonces hay \( 2^n \) puntos críticos:\(  (\pm 1/\sqrt{n},\pm 1/\sqrt{n},\ldots,\pm 1/\sqrt{n}) \) y en todos ellos se alcanza el mismo valor: el máximo.

Saludos.