[Mauricio Rodríguez]

Resuelva la integral
\(
\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{e^{i\theta}}d\theta.
 \)

[Masacroso]

Resuelva la integral
\(
\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{e^{i\theta}}d\theta.
 \)

Utiliza el cambio de variable \( e^{i\theta }=z \) para transformar la integral en una integral de contorno en el plano complejo. Luego utiliza la fórmula integral de Cauchy para hallar su valor.

[electron]

Otra opción es el fantástico método de Feynman (derivación paramétrica):

\( I(t)=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{te^{i\theta}}d\theta \)

\( I'(t)=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{te^{i\theta}}e^{i\theta}d\theta=\displaystyle\frac{1}{it}e^{te^{i\theta}}\bigg|^{2\pi}_{0}=0 \) por ser \( e^{i\theta} \) periódica de periodo \( 2\pi \).

\( I'(t)=0\Longrightarrow{I(t)=C} \). Siempre vale lo mismo, así que tendrá el mismo valor en \( t=0 \):

\( I=I(0)=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^0d\theta=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi \).

Saludos.