Me gustaría saber si lo he hecho correctamente, de casi contrario espero puedan ayudarme con la resolución:
Resuelva la siguiente ED por el método de transformadas de Laplace :
\( y" - y = 3e^{-5x} \)
\( y(0) = 2 \)
\( y'(0)=-1 \)
Aplicamos transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación
\( L \{y"-y \}= L \{3e^{-5x} \} \)
Para \( L\{y"-y \} \)
Usamos la propiedad de la linealidad de la transformada de Laplace para las funciones
\( f(t), g(t) \) y constantes \( a,b \)
\( L{a f(t) + b g(t) }= a L\{f(t)\}+bL\{g(t)\} \)
\( = L\{y"\}- L\{y\} \)
\( L\{y" \}= s^2L\{y\} - sy(0)-y'(0) \)
\( L\{y" \} \)
Usamos tabla de transformada de Laplace
\( L\{f"(t)\}=S^2L\{f(t)\}- sf(0)-f'(0) \)
\( L\{y"\}=s^2L\{y\}- sy(0)-y'(0) \)
\( = s^2L\{y\}- sy(0)- y'(0) \)
\( = s^2L\{y\}- sy(0)-y'(0)-L\{y\} \)
Para
\( L\{3e^{-5x}\} \)
Utilizamos la propiedad de multiplicación constante de la transformada de Laplace
Para una función \( f(t) \) y una constante \( a \)
\( \{a f(t)\}= a L\{f(t)\} \)
\( = 3L\{e^{-5x}\} \)
\( L\{e^{-5x}\} \)
Usamos tabla de transformada de Laplace:
\( L\{e^{at}\}= \frac{1}{s-a} \)
\( L\{e^{-5x}\}= \frac{1}{s+5} = 3
\frac{1}{s+5} \)
Simplificamos
\( 3 \frac{1}{s+5} \)
Queda:
\( \frac{3}{s+5} \)
\( s^2L\{y\}- sy(0)-y'(0)-L\{y\}= \frac{3}{s+5} \)
Ahora ingresamos las condiciones iniciales:
\( y(0)=2 \, y'(0)= -1 \)
\( s^2L\{y\}- s 2 - (-1)-L\{y\}= \frac{3}{s+5} \)
Simplificamos
\( s^2L\{y\}- 2s+1-L\{y\}= \frac{3}{s+5} \)
Despejamos
\( L\{y\} \)
\( L\{y\}= \frac{2s^2+ 9s-2}{(s+5)(s^2-1)} \)
Aplicamos transformada inversa de Laplace
\( y = L^{-1} \frac{2s^2+ 9s-2}{(s+5)(s^2-1)}= \frac{1}{8}e^{-5x}+ \frac{9}{8}e^{-x}+ \frac{3}{4}e^x \)
\( y= \frac{1}{8}e^{-5x}+ \frac{9}{8}e^{-x}+ \frac{3}{4}e^x \)
