Hola
El coeficiente \( a_3 \) de
\( m=1 \)
Me queda
\( 6a_3 + ( p+ \frac{1}{2})a_1=0 \)
En ese caso
\( a_3 =- \frac{1}{6}(p+\frac{1}{2})a_1 \)
Si está bien así; es que cambié el color y me olvidé de cambiar el \( 3 \) por el \( 6 \).
Luis se que te he molestado mucho con esto pero he sacado nuevamente los cálculos y al despejar \( a_6 \) me sigue dando lo mismo, no entiendo por qué, me puedes ayudar a corregir el error?
Tu has puesto:
\( a_4= \frac{1}{48}a_0+ \frac{1}{24} ( p+ \frac{1}{2})^2 a_0 \)
Para \( m=4 \)
\( 30a_6 + (p+ \frac{1}{2})a_4 - \frac{1}{4}a_2=0 \)
\( a_6=- \frac {7}{240}(p + \frac{1}{2} - \frac{1}{24}(p+ \frac{1}{2})^2a_0 \)
Pero sería:
\( a_6=\dfrac{1}{30}\left(\dfrac{1}{4}a_2-(p+\dfrac{1}{2})a_4)\right)=\dfrac{1}{30}\left(-\dfrac{a_0}{8}(p+\dfrac{1}{2})a_0-(p+\dfrac{1}{2})\cdot \left(\dfrac{a_0}{48}+\dfrac{a_0}{24}(p-\dfrac{1}{2})^2\right)\right)=\ldots=-a_0(p+\dfrac{1}{2})\cdot \left(\dfrac{7+2(p+\frac{1}{2})^2}{1440}\right) \)
En resumen si llamas \( k=p+\dfrac{1}{2} \) queda:
\( a_2=\dfrac{-a_0k}{2},\quad a_4=a_0\left(\dfrac{1}{48}+\dfrac{k^2}{24}\right),\quad a_6=\dfrac{-a_0k(7+2k^2)}{1440} \)
\( a_3=\dfrac{-a_1k}{6},\quad a_5=a_1\left(\dfrac{1}{80}+\dfrac{k^2}{120}\right),\quad a_7=\dfrac{-a_1k(13+2k^2)}{10080} \)
Fíjate que me paro en \( a_7 \) porque entiendo que el enunciado dice siete términos (aunque no se si será en total o en cada una).
Ahora la solución general aproximada (aproximada porque estamos cogiendo un número finito de términos y no la suma infinita) sería:
\( y(x)=a_0y_1(x)+a_1y_2(x) \)
donde:
\( y_1(x)=1-\dfrac{k}{2}x^2+\left(\dfrac{1}{48}+\dfrac{k^2}{24}\right)x^2-\dfrac{k(7+2k^2)}{1440}x^6 \)
\( y_2(x)=x-\dfrac{k}{6}x^3+\left(\dfrac{1}{80}+\dfrac{k^2}{120}\right)x^5-\dfrac{k(13+2k^2)}{10080}x^7 \).
Saludos.
