Hola
Amigos ¿me pueden ayudar con la resolución de este ejercicio?
La Ecuación Diferencial
\( y" + ( p + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^2)y=0 \)
Dónde p es una constante, tiene una solución en serie de la forma
\( y =\displaystyle\sum {a_n} x^n \) demuestre que:
a) los coeficientes \( a_n \) están relacionados por la fórmula de recurrencia de tres términos
\( (n+1)(n+2)a_{n+2}+( p + \frac{1}{2})a_n - \frac{1}{4}\color{red}a_n-2\color{black}=0 \)
Tienes una errata. Es;
\( (n+1)(n+2)a_{n+2}+( p + \frac{1}{2})a_n - \frac{1}{4}\color{red}a_{n-2}\color{black}=0 \)
Si derivas la serie tienes:
\( y'=\displaystyle\sum n{a_n} x^{n-1} \)
\( y''=\displaystyle\sum n(n-1){a_n} x^{n-2} \)
Reemplazando en la E.D.:
\( \displaystyle\sum n(n-1){a_n} x^{n-2}+\left(p+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}x^2\right)\displaystyle\sum {a_n} x^{n}=0 \)
\( \displaystyle\sum n(n-1){a_n} x^{n-2}+\left(p+\dfrac{1}{2}\right)\displaystyle\sum {a_n} x^{n}-\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum {a_n} x^{n+2}=0 \)
Si nos fijamos el los coeficientes de la potencia \( x^m \) de grado \( m \), en la primera sumatoria tomamos \( n-2=m \) y en la última \( n+2=m \) y queda:
\( (m+2)(m+1)a_{m+2}+\left(p+\dfrac{1}{2}\right)a_m-\dfrac{1}{4}a_{m-2}=0 \) para \( m\geq 2 \)
Para \( m=1 \):
\( \color{blue}6\color{black}a_3+\left(p+\dfrac{1}{2}\right)a_1=0 \)
Para \( m=0 \):
\( 2a_2+\left(p+\dfrac{1}{2}\right)a_0=0 \)
b) hallar su solución general por series \( y_1(x) \) e \( y_2(x) \) almenos los primeros siete términos.
En función de \( a_0 \) y \( a_1 \) aplica lo obtenido antes para obtener los primeros términos de las sucesión \( a_n \).
Saludos.
CORREGIDO
