[Iroumec]

¡Buenos días/tardes/noches!

Me estoy introduciendo en el cálculo de dos variables y me surgió una duda al momento de resolver el siguiente ejercicio:

Analizar la existencia del siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}\frac{x + y}{x^2 + e^y} \)

Mediante límites iterados, llego a que ambos dan 0. Sé que eso no es suficiente para probar la existencia o inexistencia del límite, por lo que decido proceder mediante límites por caminos.

Mediante \( y = x \), el límite también parece ser 0.

Sin embargo, mediante \( y = e^x \) el límite pasa a darme: \( \frac{1}{e} \). Concluyo entonces que el límite no existe.

Mi duda es: ¿es válido utilizar la anterior función en límite por caminos? Yo creo que sí, ya que se cumple que \( f(0) = \displaystyle\lim_{x\to{0}}{f(x)} \); pero no he visto que se la utilice en ninguno de los libros de los que estudio y por eso la duda.

Desde ya, ¡gracias!

[manooooh]

Hola, bienvenido al foro!!

La función \( y=e^x \) no pasa por el punto en cuestión \( (0,0) \), por lo que no es una trayectoria válida para demostrar nada.

El límite da \( 0 \).

Saludos

[Iroumec]

¡Gracias por la bienvenida y la tan pronta respuesta!

Sinceramente, desconocía esa condición que la función que elija debe cumplir. La tendré en cuenta a partir de ahora.

Nuevamente, ¡muchas gracias!

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sinceramente, desconocía esa condición que la función que elija debe cumplir. La tendré en cuenta a partir de ahora.

Pero es una condición totalmente natural; si queremos investigar el valor y/o exsitencia de un límite en el punto \( (x_0,y_0) \), analizarlo "por caminos" es estudiar como se comporta la función cerca de ese punto pero no en todas direcciones cerca de ese punto, sino sobre una curva concreta; pero para que la curva de alguna información sobre el comportamiento de la función cerca del punto obviamente tiene que pasar por él.

Por otra parte en el límite concreto que has puesto de ejemplo, trivialmente el límite del numerador es \( 0 \) y el del denominador es \( 1 \): por tanto el límite del cociente es el cociente de los límites: \( 0/1=1 \).

El uso de límite por caminos tiene más sentido cuando nos encontramos ante una indeterminación que todavía no nos permite decidir la existencia o no del límite.

Saludos.