[zorropardo]

Calcular el limite:

$$ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2y^2 }{x^2y^2+(x-y)^2} $$

La respuesta del libro sale : $$\frac{3}{2}$$

Hay indeterminacion , hice el cambio $$h=xy$$ y  no logre nada 

[Richard R Richard]

Mis intentos de resolver aplicando L'Hopital me dan cero, no tres medios. Pero espera mejores respuestas.


Saludos

[delmar]

Hola

En caso el límite exista ha de ser el mismo por cualquier línea que pasa por el origen considera \( y=kx \) donde k es una constante real y te queda de la forma :

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}}=\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{1}{1+(\displaystyle\frac{x-y}{xy})^2}}=\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{1}{1+(\displaystyle\frac{1-k}{kx})^2}} \)

Para distintos valores de k el límite ha de ser el mismo, compara para k=1 con otro valor de \( k\neq1 \) ¿Qué conclusión obtienes?


Saludos

[zorropardo]

Hola , hice lo siguiente : Si $$k \neq 1 ; k  \neq 0 $$ el limite se reduce a calcular :  $$  \displaystyle  \frac{(1-k)^2}{k^2} \lim_{x \to 0 }{ \frac{1}{x^2}}= +\infty$$  osea el limite pedido resulta : $$0$$ y no sale $$3/2$$ que extraño 

[Juan Pablo Sancho]

No tiene límite.

[zorropardo]

O podria ser asi:

Si $$y=x  \Rightarrow { f(x,x)= 1\rightarrow{ 1 }}$$
y

Si $$x=0  \Rightarrow { f(0,y)= \frac{0}{y^2} \longrightarrow{ 0} }$$

Por tanto el limite no existe. esta bien 

[Juan Pablo Sancho]

Si está bien pero es lo que puso delmar.

[Luis Fuentes]

Hola

Calcular el limite:

$$ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2y^2 }{x^2y^2+(x-y)^2} $$

La respuesta del libro sale : $$\frac{3}{2}$$

Hay indeterminacion , hice el cambio $$h=xy$$ y  no logre nada 

Ese cambio funcionó aquí porque la función con la que trabajábamos era de la forma \( f(xy) \) para una cierta función \( f(t) \); pero no te lo tomes como una técnica general...

Saludos.