[dlrlima]

La pregunta sería:
¿Cuántas matrices binarias diferentes hay de tamaño n x m, donde se pueden intercambiar filas y continúa siendo la misma matriz?

Creo que es lo mismo que encontrar el número de matrices equivalentes por transformaciones elementales de Gauss, ya que es binaria.

Puede que se pueda reformular la pregunta a la cantidad de vectores linealmente dependientes en una matriz binaria y por lo tanto serían el total de matrices diferentes escalonada.
no me sale la combinatoria.


Aclaración:
no me refería a matrices por definición, se puede ver como una tabla donde si existen las mismas filas cambiadas de posición se consideraría como la misma tabla, no diferente.
Ejemplo

Existen 16 tablas binarias diferentes de 2 x 2, pero siguiendo mi idea solo habrían 10 diferentes ya que la tabla \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} es igual a la tabla \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{pmatrix}, entre otras.

[Luis Fuentes]

Hola

La pregunta sería:
¿Cuántas matrices binarias diferentes hay de tamaño n x m, donde se pueden intercambiar filas y continúa siendo la misma matriz?

Antes de nada tienes que revisar EXACTAMENTE cuál es la pregunta.

Para que en una matriz, al intercambiar CUALQUIER par de filas siga siendo la misma matriz, tiene que tener todas las filas iguales.
Para que en una matriz tenga la propiedad de que AL MENOS podamos cambiar un par de filas y quede igual tiene que tener al menos dos filas iguales.

Creo que es lo mismo que encontrar el número de matrices equivalentes por transformaciones elementales de Gauss, ya que es binaria.

Ninguna de las interpretaciones que di antes equivale a eso que dices. El número de matrices equivalentes por transformaciones elementales de Gauss, no  tiene sentido. La equivalencia de matrices relaciona pares de matrices. Se podría hablar de dada una matriz, cuantas matrices equivalentes (¿por filas?) hay a ella; o se podría hablar de cuantas clases de equivalencia (¿por filas?) hay. Aquí la cuestión dependería del rango y de algo más si sólo consideramos operaciones fila.

Puede que se pueda reformular la pregunta a la cantidad de vectores linealmente dependientes en una matriz binaria y por lo  tanto serían el total de matrices diferentes escalonada.

Esto tampoco tiene que ver con lo anterior; y tampoco me queda claro que quieres decir. El número máximo de vectores independientes en una matriz \( m\times n \) es \( min(m,n) \).

Así que aclara el enunciado con toda la precisión que puedas.

Saludos.

[dlrlima]

Aclaración:
no me refería a matrices por definición, se puede ver como una tabla donde si existen las mismas filas cambiadas de posición se consideraría como la misma tabla, no diferente.
Ejemplo

Existen 16 tablas binarias diferentes de 2 x 2, pero siguiendo mi idea solo habrían 10 diferentes ya que la tabla  \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} es igual a la tabla  \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{pmatrix}, entre otras.

Quisiera saber si existe una formula para matrices de n x m.

[Luis Fuentes]

Hola

Aclaración:
no me refería a matrices por definición, se puede ver como una tabla donde si existen las mismas filas cambiadas de posición se consideraría como la misma tabla, no diferente.
Ejemplo

Existen 16 tablas binarias diferentes de 2 x 2, pero siguiendo mi idea solo habrían 10 diferentes ya que la tabla  \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} es igual a la tabla  \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{pmatrix}, entre otras.

Quisiera saber si existe una formula para matrices de n x m.

Vale. Te refieres a contar matrices distintas salvo permutación de filas.

Entonces es equivalente a contar las formas de elegir \( n \) filas iguales o distintas sin importar del orden en que se eligen. Cada fila puede ser una de los posibles vectores de \( m \) componentes \( 0 \) ó \( 1 \).

Se trata entonces de combinaciones con repetición de \( 2^m \) tipos de elementos tomados de \( n \) en \( n \):

\( CR_{2^m,n}=\displaystyle\binom{2^m+n-1}{n}  \)

Por ejemplo para matrices \( 2\times 2 \):

\( CR_{2^2,2}=\displaystyle\binom{2^2+2-2}{2}= \displaystyle\binom{5}{2}=10 \)

Saludos.