Hola a tod@s,
En primer lugar pedir perdón pues no sé si al final saldrán los dibujos que he adjuntado, pues no sé muy bien como se hace esto aún.
En esta ocasión voy a responder a Feriva sobre sus últimos mensajes y también un pequeño comentario a lo dicho por Richard.
Pongo de nuevo la página de internet dónde se explica cómo se calcula la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal, la página de donde ha partido todo este hilo.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Mechanics/sphshell.html Feriva, has mostrado en tu último mensaje que la gravedad que crea una esfera hueca de espesor infinitesimal de radio R , masa M y densidad superficial \( \sigma \) distinto de cero (si fuera cero no habría nada), en su superficie exterior, es decir r=R, es:
\( g=2\pi G \sigma
\)
Recuerdo que esta expresión es la expresión del campo gravitatorio que crea un plano infinito de espesor infinitesimal de densidad \( \sigma \).
Mira Feriva voy a explicar lo que pasa, que no se parece en nada a lo que comentas.
1) En primer lugar explicar que la gravedad que genera esta esfera se puede ver como la suma de todas las gravedades elementales que generan los anillos elementales de espesor infinitesimal, en que se divide la esfera. Cada anillo está en una posición de la esfera definida por el ángulo \( \theta \) y este anillo actuará en un punto determinado mediante un ángulo \( \alpha \) como muestra el dibujo.
Dibujo 1
Fijémonos en tu dibujo y en la línea que une el centro de la esfera con la posición m. Fijémonos en el punto de intersección de esta línea con la superficie exterior de la esfera, que llamamos P.
Ahora supongamos que la masa m se acerca desde r > R por esta línea hacia la superficie.
Hay un "anillo elemental" que corresponde con ese punto P y que corresponde cuando el ángulo \( \theta = 0º \) y el ángulo \( \alpha = 0º \) para cualquier punto del eje nombrado anteriormente.
La gravedad elemental que genera un anillo elemental cualquiera, es:
\( g=\frac{G dm cos\alpha}{s^2} \) donde dm es la masa de cada anillo.
Para el anillo localizado en el punto P, \( \theta =0º \), todos los puntos del eje que hemos definido, el ángulo \( \alpha = 0º \) y la gravedad que genera este elemento es por tanto:
\( g=\frac{G dm}{s^2} \) donde \( s= r-R \),
Si hacemos tender r ->R entonces s -->0 y la gravedad g--> infinito.
Es decir al acercarnos hacia la superficie exterior de la esfera y hacemos llegar a su propia superficie, en r=R, existe un anillo elemental (\( \theta =0º \)) que su gravedad tiene a infinito.
Este es el famoso punto en el que la función a integrar tiende a infinito para r= R y se había dicho en este hilo que esta divergencia no tenía sentido físico, con lo cual no estoy de acuerdo en absoluto y voy a explicar por qué sí tiene un sentido físico.
Pues bien esta divergencia a infinito de la gravedad que genera el anillo que está en este punto P, es algo distintivo y peculiar en las superficies de espesor infinitesimal cuando se calcula la gravedad en su superficie y para ello veamos el ejemplo muy significativo. 2) El ejemplo ya lo he explicado en mis mensajes de este hilo y se trata de un disco radio R, densidad superficial \sigma y de espesor infinitesimal.
Adjunto enlace dónde se puede ver cómo se realiza el cálculo de la gravedad a lo largo del eje de simetría del disco y sirve para entender lo que explico a continuación:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elelin.htmlDibujo 2
El disco es descompuesto en anillos concéntricos de espesor infinitesimal para realizar la integral y cada anillo elemental crea una gravedad:
\( dg=\frac{G z dm}{ {\left ( z^2+R'^2 \right )}^\frac{3}{2}} \) (a)
la gravedad en un punto en el eje de simetría, que dista de la superficie del disco z, es:
\( g \left( z\right)= 2\pi G\sigma \left(1- \dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) \)
para z=0 (En la superficie exterior del disco) sustituyendo:
\( g=2\pi G \sigma \)
y de nuevo obteniendo que la gravedad en la superficie del disco de espesor infinitesimal coincide con la gravedad de un plano infinito de espesor infinitesimal.
El disco se ha descompuesto en infinitos anillos de espesor infinitesimal de radio variable, R', comprendidos entre 0 y R y que el valor de gravedad que aporta cada uno es la expresión anterior:
\( dg=\frac{G z dm}{ {\left ( z^2+R'^2 \right )}^\frac{3}{2}} \)
Vamos a estudiar el anillo que existe en R' = 0 (en la esfera era \( theta =0º \)) y la expresión de la gravedad que crea este anillo elementales:
sustituyendo R'=0 en la expresión obtenemos
\( dg=\frac{G dm}{ z^2 } \)
Si hacemos Igual que en la esfera acercándonos a la superficie del disco haciendo tender a cero z--> 0 y en el caso de z=0 la gravedad que genera este anillo elemental es:
para z= 0 g= infinito y de esta forma obtenemos lo mismo que en la esfera pero hay algo más que ocurre y fijaros en la expresión general de los anillos:
\( dg=\frac{G z dm}{ {\left ( z^2+R'^2 \right )}^\frac{3}{2}} \)
si z=0 (el punto de medida está en la superficie exterior del disco) entonces g=0 para toda los anillos elementales tales que \( R\geq R'> 0 \)
Es decir para el caso de un disco de espesor infinitesimal, la gravedad en su superficie exterior, vuelve a salir infinita para un solo anillo elemental pero los demás anillos elementales de radio R' >0 tiene una contribución nula .
Por lo tanto lo único que puede producir el resultado gravedad creada semejante a un campo gravitatorio de un plano infinito de espesor infinitesimal es este anillo elemental que la gravedad que genera tiende a infinito.
Por lo tanto, la expresión de la gravedad en la superficie exterior del disco, z=0, en su eje de simetría, es la de un plano infinito de espesor infinitesimal y es debido a un sólo anillo el cual genera una aportación infinita en la integral.
Esto concuerda perfectamente con lo obtenido en la esfera y ese anillo que tiene una aportación infinita es el que produce que en la superficie aparezca una gravedad semejante a la de una plano infinito de espesor infinitesimal. De esta forma si a un disco de radio R, le vamos aumentando o disminuyendo progresivamente su radio, como todos estos anillos que aportamos o que eliminamos tienen una aportación cero en la gravedad, resultará que siempre tendremos que la gravedad en la superficie del disco en su centro de simetría es:
\( g= 2\pi G\sigma \)
Esto es lo que pasa al estar el punto de cálculo en la propia superficie del disco o de la esfera hueca, el punto de contacto crea una aportación infinita en gravedad en la integral y esto provoca que la expresión final de la gravedad sea la de un plano infinito de espesor infinitesimal.
3) Feriva, cuando he dicho 2 esferas no me refería a la página del cálculo de la gravedad de la esfera hueca, sino al cálculo de la gravedad por medio del teorema de Gauss, que para calcular la gravedad de forma oficial, se hace en 2 pasos, uno con la esfera gaussiana interior y otro con la esfera gaussiana exterior, no se hace en un paso y por eso he comentado que es como si se utilizara 2 superficies gaussiana.
4) Por último a Richard, decirte que estamos hablando de esferas huecas de espesor infinitesimal, que tiene un espesor que tiende a cero, pero que no es cero y tiene 2 superficies, la interna y la externa. El flujo del campo gravitatorio fluye por estas 2 superficies igual que lo hace en un plano infinito de espesor infinitesimal.
Un saludo.
