has comenzado a utilizar la ecuación de G en función de la \( \rho \) y creo que te has liado, pues de tu ecuación
\( G=\frac{3}{2\pi \rho t^2} \)
luego has hecho una igualdad sustituyendo la \( \rho \) por \sigma, lo cual esto no se puede hace
Por supuesto que no se puede hacer, pero la cuestión es qué constante manda ahí.
A “G” la tenemos fuera de la integral, como constante. La integral es una suma y esa G (constante) junto con el resto de lo que hay fuera, multiplica por la distributiva uno a uno a los infinitos sumandos que quedan dentro de la integral.
Es cierto que tiene especial sentido cuando se integra todo, cuando se suman todos los cascarones de una esfera maciza. Ahora bien, la gravedad de la esfera hueca equivale a la de una esfera maciza muy pequeñita; por tanto, la G ha de ser la misma, porque además es la misma constante siempre, vale lo que vale. Si tú me admites mi expresión de G para una esfera maciza... ¿qué razón hay para que no sirva en una esfera hueca?, ¿Tengo que cambiar el radio por uno pequeño, por el de la esfera puntual equivalente? Bueno, si es eso, en ese caso podríamos plantear una integral equivalente donde aparecieran tres “erres”: la variación “r”, el radio constante R de la esfera hueca y otra letra para el radio de la esfera puntual; pero sería un radio constante, como R.
Tú haces la integral de manera que varía desde cero hasta R en los límites (en uno de tus primeros mensajes) pero eso no puede ser, porque R es constante, lo que tiene que variar es “r”; ¿quién es la diferencial en tu integral, qué es lo que varía infinitesimalmente y de dónde hasta dónde?
Entiendo que lo que varía es el grosor de la superficie, y dentro de esa expresión de superficie hay constantes y una variable, “r”, pero si la haces de entrada igual a R, no la dejas variar, porque R es constante.
...
El puzzle de la física es muy antiguo y conocido (también por los aficionados como yo) es el problema de la unificación, que tiene que ver también con una especie de unificación de los campos. Pero no creo que tenga que ver con ese 2 que te sale en la integral al hacer eso, ¿no?; supongo que será algo más complicado.
En cualquier caso insisto que en puedo expresar a G como digo, tiene que funcionar con un radio u otro y, si no funciona, la culpa no es de mi expresión.
Te voy a poner un ejemplo
La ecuación de onda a partir de la segunda ley de Newton nos da la expresión
\( \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\dfrac{\mu\partial^{2}y}{F\partial t^{2}} \)
de la que se obtiene la velocidad de una onda en una cuerda:
\( v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}} \).
Aquí “mu” es la densidad lineal de masa de la cuerda, el cociente entre la masa de la cuerda y su longitud.
Consideremos la masa de la Tierra (o cualquier planeta que orbite el Sol) repartida de forma homogénea a la largo de su radio medio de órbita D (si no llueve acabará siendo verdad, nos derretiremos).
Hemos convertido a la Tierra en una cuerda que llega desde aquí hasta el Sol.
Su densidad lineal será su masa dividida entre la distancia al Sol, una UA, digamos \( \dfrac{m_{t}}{D} \).
Entonces la velocidad de una onda en dicha cuerda será
\( v=\sqrt{\dfrac{M_{s}m_{t}G}{D^{2}}\cdot\dfrac{1}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{M_{s}G}{D}} \) (donde Ms es la masa del Sol)
que también es la de la velocidad media, real, con la que la Tierra orbita el Sol.
En este caso la densidad es lineal, menos que superficial, pero no nada me impide escribir, por ejemplo
\( v=\sqrt{\dfrac{M_{s}m_{t}G}{D^{2}}\cdot\dfrac{1}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{3M_{s}}{D\cdot2\pi\rho_{t}(\dfrac{2R_{t}}{g_{t}})^{\cancel{{{\color{red}2}}}}}} \)
o también
\( v=\sqrt{\dfrac{M_{s}m_{t}G}{D^{2}}\cdot\dfrac{1}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{3M_{s}}{D\cdot2\pi\rho_{s}(\dfrac{2R_{s}}{g_s})^{{\color{red}\cancel{{2}}}}}} \)
En principio, esto es mas ficticio que lo otro (o no, quién sabe): la Tierra considerada como una cuerda que llega hasta el Sol y encima tomando la densidad lineal; pero puedo usar la expresión de G que me dé la gana siempre que el radio, la masa y la “g” pertenezcan a un mismo cuerpo; sin embargo, la “rho” ha de ser necesariamente volumétrica, si no, no es G, no puedo poner una G de “densidad lineal”.
Saludos.
