[feriva]

Hola, DCM.

Llevo días pensando en intervenir, pero no sabía por dónde empezar (y sigo sin saberlo, por algún sitio tendrá que ser).

Dices al final de tu último mensaje

Por ello, en cada mensaje doy las gracias de verdad por vuestras respuestas, para mí es muy importante que se pueda hablar sin censura de cualquier tema de la ciencia.

Yo diría de cualquier tema, aunque no sea de ciencia.

No voy a contar mi vida, no obstante, es necesario hacer una introducción.

No tengo una carrera científica, soy expianista callejero (de piano-bar). Pero con 40 años, más o menos, decidí entrar en la UNED y estuve dos años en la facultad de Físicas; tenía una teoría que quería desarrollar. Acabados esos dos cursos, en el año de 2002, llevo al registro de la propiedad intelectual un trabajo con un título que, a buen seguro, hará reír a cualquier físico sólo oírlo “Expansión del espacio material y luz quieta”. Después de la pertinente revisión, el 5 de noviembre de ese año y a través del registrador (Enrique de la Vara Barroso)  me comunican por escrito algo así como que no han visto nada igual (no sé si con susto) y me aceptan la solicitud.
Han pasado muchos años de esto, ya tengo casi 65 y me acuerdo muy poco del poco análisis matemático que estudié, pero no hace falta acordarse demasiado para lo que quiero comentar (por cierto, de esto he hablado en el foro varias veces y nadie me ha borrado nada ni me ha insultado ni cosas parecidas; aquí no se borra nada, al revés, está prohibido hasta que el propio usuario borre lo que escribe; éste es un foro de categoría con un prestigio que no tienen todos).

Básicamente la idea de mi teoría era (y es) la siguiente: todo se expande en el Universo, no sólo el espacio, sino la propia materia. Dicha expansión no es apreciable, no es sólo la que se verifica y no se puede medir ni detectar; nosotros mismos nos expandimos proporcionalmente con los cuerpos, las distancias... y hasta nuestras unidades de medir se “expanden” y no se puede tener noticia de esto.  Así, aumenta la masa, el radio… pero siempre medimos lo mismo, porque hasta la unidad de tiempo cambia con el propio tiempo. De este modo la idea de Newton funciona casi igual, sólo hay que cambiar el sentido del vector gravedad; “empuja” desde el centro hacia fuera, la superficie empuja. Así, si una persona salta, cuando alcanza la altura máxima y antes de lo que llamamos “caer”, esta persona se expande proporcionalmente a la Tierra y, como la Tierra es muchísimo más grande, “sube antes”  y alcanza enseguida al saltimbaqui en cuestión.
Tampoco da problema el que todos los objetos “caigan” al mismo tiempo independientemente de su masa, porque todos los objetos con los que podemos experimentar para poder medir esto son mucho más pequeños que la Tierra; así que tampoco se nota, Galileo no se enfadaría demasiado conmigo. Y creo que Gauss, igualmente, no se enfadaría en exceso, pues dentro de una esfera hueca no hay ningún “empuje”, el “empuje” es cero.
Esta idea no implica que no exista la gravedad, la cual es un hecho objetivo, lo que es intuitivo y, por tanto, podría estar engañando es el concepto “caer”.

Cuando surgió la idea, vi que se podía ajustar a distintas cosas, vi “indicios” de que a lo mejor podría ser así (sin dejar de ver que a lo mejor podría tener pegas en cuanto a otras cosas).
La magnitud de la aceleración involucra al tiempo y al espacio, sin embargo, consideramos la gravedad sobre cuerpos estacionarios donde el tiempo a veces ni siquiera tiene mucho sentido (o consideramos que no lo tiene). Si dejamos caer una moneda desde el reposo a una altura “r”, llega al suelo con una velocidad \( \sqrt{2gr} \), pero una vez que está en el suelo, se supone que “g” está actuando para que esa moneda o esa cosa se quede “pegada” al pavimento; y “g” sigue siendo una magnitud que involucra al tiempo y la espacio.

Einstein dijo que el mayor error de su carrera era haber creído que el Universo era estacionario. La forma más básica y sencilla de resumir eso con una simple igualdad es ésta \( r_i=r_f \); si el radio inicial es igual al radio final, el radio no varía, el globo no se expande.

¿Podría ser también éste tu mayor error al titular el presente hilo con tan dogmática afirmación? Quizá sí, quizá no, pero no seré yo quien me decante por ninguna “verdad”, porque no sé cuál es la verdad; sé que se pueden hacer observaciones, tomar medidas, ver si eso se ajusta a tal o cual interpretación según se tome una ecuación diferencial o la cuenta que sea… pero a ciencia cierta no sé cómo está hecho el mundo, desconozco cuál es el modelo físico “de verdad” y por tanto no tengo argumentos para negar a nadie el suyo. Porque una cosa son las ecuaciones, las observaciones y demás… pero nada de eso demuestra una “explicación”, un enfoque en particular (que puede haber varios) demuestra lo que demuestra, lo que se verifica; y hasta ahí.

Por último. Las ecuaciones matemáticas siempre están bien salvo errores de cálculo humano, la matemática no es falsable, es corregible, falsables son las interpretaciones físicas, las historias que nos montamos en la cabeza.

Saludos.

[DCM]

Hola a todo de nuevo, en primer lugar quería decirle a Feriva  que ante el análisis de un proceso el que sea en Física, es necesario obtener las ecuaciones matemáticas que lo describe y  después hay que empezar a hacer hablar a estas ecuaciones para que con lo dicho por ellas podamos formar en nuestra mente el modelo físico que hace que  explique este proceso con todo detalle de forma que como un puzzle todo encaje. En el momento que algo no encaja hay que buscar el motivo de ello y rehacer el modelo para que al final todo encaje finalmente. Pero tienes razón, que es un modelo mental que nos formamos y  el funcionamiento real de lo físico nunca realmente lo sabremos.

   También decirte que yo me sorprendí enormemente con el trato en el otro foro, pues no cabía en mi mente que  pudiera existir una censura para hablar del tema que escogí, la gravedad de la esfera hueca de espesor infinitesimal. Y he entendido en lo vivido en estos últimos años que la censura aprieta sólo cuando lo que puede salir a la luz es muy importante y hay  alguien que  no desea que. se vea con claridad.

      Bueno, volviendo sobre el tema en cuestión,   tengo que contestar a Luis sobre qué es lo que está mal realizado en la integración de la página que sugerí.

   En la  resolución de la integral aparece un término \( \frac{1}{r-R} \),, y para no dividir por cero, debían haber  indicado que \( r\neq R \), lo cual no lo indicaron . Y el siguiente paso que debería haber realizado  es calcular la integral para r=R. Y al ver que salía la mitad de lo esperado, haber dado la voz de alarma, pues esto no podía ser en la física y se debería  entender qué es lo que está pasando con el proceso de integración en la esfera para calcular la gravedad.
     Para entender por qué  la integración no está dando buen resultado explicaré todo el proceso que yo he pasado hasta obtener los resultados que he expuesto.

 1) De forma accidental me encuentro que al calcular la gravedad de la esfera hueca infinitesimal en r=R en la superficie exterior, el resultado no corresponde con lo que yo conocía desde que estudié la  licenciatura.
         Yo conocía que  para r=R \(  -->     g=\frac{GM}{R^2} \)  siempre lo realicé por el teorema de Gauss con el cuál todo salía muy fácil, pero al hacer este cálculo por  integración resulta que obtuve lo que ya he expuesto en mi mensajes anteriores

   \( r=R-->   g=\frac{GM}{2R^2} \)
  \( r\neq R --> g=\frac{GM}{r^2} \)

  2) Ante este chocante resultado, lo primero que deduje es que esta discontinuidad en la gravedad que aparece  de las ecuaciones matemáticas indicaba que el proceso de integración no iba a describir al 100% el proceso físico real que existía en estas esferas en puntos cercanos a la superficie exterior, pues esta discontinuidad no se puede producir  en la gravedad físicamente.

 3) Luego lo siguiente fue intentar obtener evidencias si lo obtenido en r=R   \( g=\frac{GM}{2R^2} \)  tenía algún sentido físico.

      Tuve un poco de suerte y me dí cuenta que \( g=\frac{GM}{2R^2}=2\pi G\sigma  \)(que es la gravedad de un plano infinito de espesor infinitesimal)

      Aquí tuve  un indicio de que la gravedad de  esta esfera  tiene una relación con un plano infinito.

       Ví muy claro mentalmente que en si el radio de la esfera tiende a infinito , un observador que esté delante de la superficie exterior,  lo verá como un plano infinito.
       Luego obtuve  la ecuación de  gravedad de la esfera en  coordenadas cartesianas, que ya expuse en el anterior mensaje y  confirmó claramente que en un punto  de medida muy cercano a una esfera de radio enorme sólo se ve afectados con el plano infinito que forma la superficie en x=0, y que la superficie contraria a x=2R no afectaba como plano infinito, pues lo valores de gravedad de sus anillos son totalmente insignificante para actuar sobre el punto de medida.

  Con ello, para mí,  estaba  claro que la gravedad  en la  superficie de la esfera de radio enorme era la de un plano infinito y como la expresión matemática  de la gravedad de la esfera no depende del valor del radio, deduje que esta expresión \( g=2\pi G\sigma  \)  era válido para cualquier esfera.

  Por lo tanto, si en integración para r=R,  \( g=2\pi G\sigma \),  y el estudio anterior corroboraba que la gravedad debía de ser eso mismo,  Estuvo claro para mí,  que para r=R ->      \(  g=\frac{GM}{2R^2}  \)    y  este valor era totalmente correcto.

 4)  Luego el siguiente paso fue ver qué pasa en la cara interior de la esfera y como he contado al hacer la integral  o por el método de Gauss partiendo de lo obtenido en la cara exterior, sale que también en su superficie interior  la gravedad es la de un plano infinito. Lo cual debía ser así por lo dicho con la similitud con la gravedad con un plano infinito.  El puzzle se estaba completando con éxito.
 
  5)  Teniendo que  en ambas superficies, interior y exterior, de las esfera hueca infinitesimal , la gravedad es la de un plano infinito, esto provocó como consecuencia, como he  explicado en mis anteriores mensajes que para     \( \sqrt{2 R}\geq r> R \) la gravedad   \(  g \neq \frac{GM}{r^2} \) y en estos puntos debería tener un valor menor a \( g=\frac{GM}{2R^2} \).

     ¿Cómo se explica esto desde el punto de vista del cálculo de la integral?.  Bien, partimos de que para estos puntos el valor de la integral es mayor que el valor que debería ser. Entonces, entendiendo que la integral es la suma de las gravedades que generan los anillos en el que se ha dividido la esfera, esto quiere decir  que debe de haber anillos que no deberían ser sumados. Estos anillos serían los que su valor de gravedad es muy inferior a los anillos de la superficie en x=0.
     Volviendo a lo explicado sobre la función \(  f\left( x,r\right)=\frac{R\left(x+r\right) }{\sqrt{r^2+2x\left(R+r\right) }^3} \)   donde r es la distancia del punto medida de la gravedad respecto de la superficie exterior y x es la posición del anillo de la esfera que aporta una gravedad en ese punto.


      Esta función f(x,r) es una función decreciente  cuyo máximo está en x=0 con valor  \( f_{max}=\frac{R}{r^2} \) y el mínimo se da en x=2R y su valor  \( f_{min}\propto \frac{1}{R} \).

      Fijaros cómo varían estos valores para puntos cercanos  y para puntos alejados de la superficie, suponiendo una esfera de 6500 Km de radio:
     
           para r= 0,1 m     \(  f_{max}= 6,5x10^8 \)             \( f_{min}\propto 1,5x10^{-7} \)      \( \frac{f_{max}}{ f_{min}}\propto 4,2x10^{15} \)
           para r= 1000 m   \( f_{max}= 6,5  \)                     \( f_{min}\propto 1,5x10^{-7} \)       \( \frac{f_{max}}{ f_{min}}\propto 4,2x10^{7} \)
           para r= R   m      \( f_{max}= 1,5x10^{-7} \)         \( f_{min}\propto 1,5x10^{-7} \)         \( \frac{f_{max}}{ f_{min}}\propto 1 \)
   
      Para puntos cercanos a la superficie el valor máximo  en x= 0 es enorme frente  al mínimo x=2R.  Es decir en la integración sumamos todas las aportaciones de todos los anillos pero aquí vemos que existen un nivel de anillos que deberíamos despreciar y con eso se entendería  por qué con la integración sale mayor valor a lo  que deberían.

      Cuanto más nos alejemos de la superficie,  el valor máximo y mínimo se van a ir acercando y como vemos para r=R ya son semejantes. Es decir conforme nos alejamos el plano infinito de la superficie ya no  actúa como tal, va perdiendo valor, y conforme nos alejemos de la esfera, cada vez habrá que añadir a la suma nuevas contribuciones de anillos que antes se despreciaban y así sucesivamente hasta que todos los anillos sean de niveles semejantes en los que  al calcular la gravedad con la integración saldrá lo mismo que con las ecuaciones que expuse en mi anterior mensaje.

   

    Un saludo.

[feriva]

Hola, DCM.

Mira esto, por favor.

\( \dfrac{MG}{R^{2}}=g \)

\( G=g\dfrac{R^{2}}{M} \)

Su unidad (en SI) es entonces

\( G=\dfrac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}} \)

(es obvio que da igual que pongas un dos, no cambia las unidades).

Como unida es la inversa de una densidad y de un tiempo al cuadrado; ¿habrá alguna densidad y algún tiempo que tenga sentido físico? Mira:

Haciendo \( V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3} \) el volumen de la esfera, \( \rho=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}} \), la densidad de la misma y \( t=\sqrt{\dfrac{2R}{g}}=\sqrt{\dfrac{2R^{3}}{MG}} \), llegarás a

\( G=\dfrac{3}{2\pi\rho t^{2}} \)

(si no me he despistado al escribir por ahí por accidente, que yo me equivoco mucho y hace mucho que la física dejó de ser una afición para mí).

Eso es G (es obvio despejando, pero lo puedes probar con números, con los radios, densidad y demás datos de la Tierra, de Mercurio, de Venus, de Marte, de Júpiter, de Urano... de lo que quieras).

Es decir, la constante de gravitación Universal está asociada, íntimamente ligada, a la densidad relativa al volumen de una esfera, no a la de una superficie sin masa ni mucho menos a la de un plano.

Si eso que haces quieres que tenga sentido, tienes que cambiar la constante por otra.
...
...

Aparte de eso.
Yo tengo una constante a la que llamé eñe y sale ahí:

\( \tilde{n}=\rho t^{2}=\dfrac{3}{2\pi G} \)

No sirva para nada para lo que no sirva G, como comprobarás, pero así tiene más sentido, es “algo”, tiene forma, y eso ayuda a pensar cosas.
Además, ese tiempo cobra sentido al considerar la expansión del Universo (y, por la teoría que te dije, para mí tiene sentido en general).

Añado sobre el comentario inicial que va dirigido hacia a mí

En estos últimos años, en efecto, la censura en internet y en medios de comunicación de todo el mundo ha sido y es muy grande.
Te contaré algo al respecto, pero lo pongo en spoiler, porque no es una cuestión matemática y la parrafada va a quedar como un pegote que no tiene nada que ver con el tema del hilo (no porque me autocensure, cualquiera puede abrir el spoiler y leer).

Spoiler

Hace más años todavía intervenía yo en los comentarios de un periódico donde me hacía preguntas en voz alta sobre una cuestión global más relacionada (a mi juicio) con la política que con la ciencia (quizá haga más de diez años). En ningún caso afirmaba nada, ya digo, me hacía preguntas. De repente llegaron otros con opiniones muy radicales intentando que cambiara mi forma de ver las cosas (a mí no me insultaron, pero a otros que opinaban sí).
No mucho después empezaron a surgir en Youtube vídeos sobre la Tierra plana; y, enseguida, se acuñó el término “terraplanismo”.
Más tarde, en cualquier discusión científico-política de cualquier ámbito, se comenzó a usar dicho vocablo para insultar; no a los terraplanistas, a cualquiera que cuestionara cualquier dato. Yo he visto por ahí, bastante recientemente, mezclar con los terraplanistas a Luc Montaigner, a Kary Mullis... y a decenas de científicos de renombre mundial; a más de muchos profesionales de a pie de los cuales conozco a varios. Y es un hecho que, al menos en estos últimos años, la Prensa se ha decantado por las opiniones de unos científicos y otros no (no hablo de magufos, de científicos de verdad y buenos) desprestigiando o enmudeciendo a los que siguen tal o cual corriente en una parcela u otra.
El debate científico no se ha permitido en muchos ámbitos y ha sido invadido por un intrusismo político y periodístico donde personas no acreditadas se han hecho pasara por expertas; relata refero; no lo digo yo, que no soy nadie, me hago eco de las amargas quejas que he escuchado con mis oídos a muchos profesionales; a los cuales, para oírlos, hay que buscarlos en escondrijos, porque no los sacan en la tele, no les invitan a debatir.

Después de siglos sin que nadie cuestione la esfericidad de la Tierra y como arte de magia, aparece esa mala hierba del terraplanismo sin que nadie sapa de dónde; y me preguntó por qué, me parece raro, no me parece lógico, ¿a qué viene ahora eso, de dónde sale, quizá se promocionó a propósito para desprestigiar a personas sensatas enmierdándolas (perdón por la palabra) con esa extravagancia? 

Porque es cierto que hay falsedades oficiales y "creyentes" que aceptan cualquier cosa como verdad sin analizar más, sólo porque las dice un señor con corbata en la televisión o porque, en su complejo de inferioridad, se creen menos que los que tienen poder o cortan el bacalao (envueltos en una idolatría que no les deja ver) pero no deja de ser cierto que también existe lo contrario, gente sin personalidad que sigue cualquier tipo de opinión que se opone a la oficial, también sin analizar, pensando por sistema que todo tiene que ser mentira por el hecho de ser aceptado por una mayoría o aparecer en los medios de comunicación.   

[cerrar]

Saludos.

[Carlos Ivorra]

También decirte que yo me sorprendí enormemente con el trato en el otro foro, pues no cabía en mi mente que  pudiera existir una censura para hablar del tema que escogí, la gravedad de la esfera hueca de espesor infinitesimal. Y he entendido en lo vivido en estos últimos años que la censura aprieta sólo cuando lo que puede salir a la luz es muy importante y hay  alguien que  no desea que. se vea con claridad.

Eso se llama "teoría de la conspiración". Consiste en confundir: "éste es un foro serio y no se admiten hilos tontos" con "esto te lo censuramos porque es muy importante, pero alguien no quiere se se sepa".

      Bueno, volviendo sobre el tema en cuestión,   tengo que contestar a Luis sobre qué es lo que está mal realizado en la integración de la página que sugerí.

Supongo que yo soy "Luis".

   En la  resolución de la integral aparece un término \( \frac{1}{r-R} \),, y para no dividir por cero, debían haber  indicado que \( r\neq R \), lo cual no lo indicaron . Y el siguiente paso que debería haber realizado  es calcular la integral para r=R. Y al ver que salía la mitad de lo esperado, haber dado la voz de alarma, pues esto no podía ser en la física y se debería  entender qué es lo que está pasando con el proceso de integración en la esfera para calcular la gravedad.

Con eso no estás diciendo nada. Ciertamente, en esa página debían haber especificado que \( r>R \), vale, pero lo que te preguntaba —y sigues sin responder— es qué consideras que está mal en el cálculo de esa página cuando se supone que \( r>R \), porque bajo esa hipótesis (que ciertamente faltaba por especificar) la conclusión a la que se llega es a que \( g = GM/r^2 \), pero tú afirmas que

para     \( \sqrt{2 R}\geq r> R \) la gravedad   \(  g \neq \frac{GM}{r^2} \) y en estos puntos debería tener un valor menor a \( g=\frac{GM}{2R^2} \).

Ahí tienes una discrepancia: si suponemos  \( \sqrt{2 R}\geq r> R \), en la página que citaste se demuestra que \( g = GM/r^2 \), pero tú afirmas que el resultado tiene que ser otra cosa. Entonces, ¿qué está mal en el cálculo de esa página (bajo la hipótesis \( \sqrt{2 R}\geq r> R \))?

Tenemos dos cálculos: el tuyo, en el que está todo mal, no dices nada que se sostenga, y el cálculo de esa página (o de cualquier otra referencia seria), que tú afirmas que está mal, pero no dices dónde. Dices que falta aclarar que \( r>R \), vale, y cuando se aclara eso, si se supone  \( \sqrt{2 R}\geq r> R \), ¿qué está mal en el cálculo que permite concluir que \( g = GM/r^2 \)?

Eso es lo que tendrías que aclarar y no aclaras.

     Para entender por qué  la integración no está dando buen resultado explicaré todo el proceso que yo he pasado hasta obtener los resultados que he expuesto.

 1) De forma accidental me encuentro que al calcular la gravedad de la esfera hueca infinitesimal en r=R en la superficie exterior, el resultado no corresponde con lo que yo conocía desde que estudié la  licenciatura.
         Yo conocía que  para r=R \(  -->     g=\frac{GM}{R^2} \)  siempre lo realicé por el teorema de Gauss con el cuál todo salía muy fácil, pero al hacer este cálculo por  integración resulta que obtuve lo que ya he expuesto en mi mensajes anteriores

   \( r=R-->   g=\frac{GM}{2R^2} \)
  \( r\neq R --> g=\frac{GM}{r^2} \)

Querrás decir \( r>R \), porque si \( r<R \) lo que sale (por ejemplo en la segunda página que has citado y en la que sigues sin aclarar qué paso juzgas incorrecto) es \( g=0 \).

  2) Ante este chocante resultado, lo primero que deduje es que esta discontinuidad en la gravedad que aparece  de las ecuaciones matemáticas indicaba que el proceso de integración no iba a describir al 100% el proceso físico real que existía en estas esferas en puntos cercanos a la superficie exterior, pues esta discontinuidad no se puede producir  en la gravedad físicamente.

Ya te hemos explicado que esa discontinuidad se debe a que no existen las esferas de grosor nulo y que, aunque en otros contextos se pueden considerar, en este no, porque el campo gravitatorio de una esfera de grosor pequeño no tiende a un valor fijo en los puntos del cascarón, sino que pasa rápidamente de 0 al valor correspondiente a la superficie exterior, pero no lo entiendes. "Lo primero que dedujiste" es una deducción incorrecta.

3) Luego lo siguiente fue intentar obtener evidencias si lo obtenido en r=R   \( g=\frac{GM}{2R^2} \)  tenía algún sentido físico.

No lo tiene, como ya te hemos explicado sobradamente.

      Tuve un poco de suerte y me dí cuenta que \( g=\frac{GM}{2R^2}=2\pi G\sigma  \)(que es la gravedad de un plano infinito de espesor infinitesimal)

En realidad, en un plano infinito eso tampoco tiene sentido porque el campo gravitatorio es un vector. Si estás en un punto del propio plano, ¿hacia dónde apunta ese vector? ¿Hacia un lado o hacia otro? Cuando hablamos de esferas puedes trabajar con el módulo del vector porque todos los vectores apuntan hacia el centro de una esfera, pero ¿puedes decirme cuál es —según tú— la intensidad del campo gravitatorio de un plano infinito en un punto del propio plano expresado como vector, no meramente su módulo? Si dices que es no nula, entonces tiene que ser un vector no nulo, con una dirección y un sentido. ¿Qué vector es ése? A ver cómo te escabulles para no responder a esto. A ser posible, no te escabullas dando las gracias. Dibuja un plano infinito (por ejemplo, horizontal, como si fuera un suelo) y dibuja el vector de intensidad de campo gravitatorio en un punto del propio plano. Tiene que tener longitud no nula, pero, ¿hacia dónde apunta, hacia arriba, hacia abajo? No vale dibujar dos flechas, una hacia arriba y otra hacia abajo. En un punto del plano no puede haber más que un vector de campo, no dos. No agradezcas y responde, por favor.

      Aquí tuve  un indicio de que la gravedad de  esta esfera  tiene una relación con un plano infinito.

       Ví muy claro mentalmente que en si el radio de la esfera tiende a infinito , un observador que esté delante de la superficie exterior,  lo verá como un plano infinito.

Lo cual demuestra tu habilidad para ver claramente mentalmente cosas que son falsas cual billete de 7 euros.

       Luego obtuve  la ecuación de  gravedad de la esfera en  coordenadas cartesianas, que ya expuse en el anterior mensaje y  confirmó claramente que en un punto  de medida muy cercano a una esfera de radio enorme sólo se ve afectados con el plano infinito que forma la superficie en x=0, y que la superficie contraria a x=2R no afectaba como plano infinito, pues lo valores de gravedad de sus anillos son totalmente insignificante para actuar sobre el punto de medida.

  Con ello, para mí,  estaba  claro que la gravedad  en la  superficie de la esfera de radio enorme era la de un plano infinito y como la expresión matemática  de la gravedad de la esfera no depende del valor del radio, deduje que esta expresión \( g=2\pi G\sigma  \)  era válido para cualquier esfera.

  Por lo tanto, si en integración para r=R,  \( g=2\pi G\sigma \),  y el estudio anterior corroboraba que la gravedad debía de ser eso mismo,  Estuvo claro para mí,  que para r=R ->      \(  g=\frac{GM}{2R^2}  \)    y  este valor era totalmente correcto.

 4)  Luego el siguiente paso fue ver qué pasa en la cara interior de la esfera y como he contado al hacer la integral  o por el método de Gauss partiendo de lo obtenido en la cara exterior, sale que también en su superficie interior  la gravedad es la de un plano infinito. Lo cual debía ser así por lo dicho con la similitud con la gravedad con un plano infinito.  El puzzle se estaba completando con éxito.

Si calculas (bien) el campo gravitatorio de una esfera de radio \( R \) para puntos a una distancia \( r<R \) de su centro el resultado es el campo nulo. Tú mismo has citado una página donde se prueba. Si opinas lo contrario, tendrás que explicar qué está mal en dicho cálculo, que sigues sin decirlo. Tus analogías con planos infinitos no son correctas y no prueban nada. En cambio, en las páginas que citas tienes pruebas correctas y, si te parece que no lo son, indica qué está mal en ellas. Insisto en que me refiero al cálculo para \( r<R \) y para \( r>R \), no para \( r=R \). El resultado es \( g=0 \) para \( r<R \) y \( g= GM/r^2 \) para \( r>R \). Si crees que esos resultados no son correctos, indica qué punto del planteamiento o del cálculo te parece incorrecto. Mientras no encuentres ningún fallo, unas meras analogías arbitrarias con el caso de los planos infinitos no son argumentos serios.

  5)  Teniendo que  en ambas superficies, interior y exterior, de las esfera hueca infinitesimal , la gravedad es la de un plano infinito, esto provocó como consecuencia, como he  explicado en mis anteriores mensajes que para     \( \sqrt{2 R}\geq r> R \) la gravedad   \(  g \neq \frac{GM}{r^2} \) y en estos puntos debería tener un valor menor a \( g=\frac{GM}{2R^2} \).

No has dado ninguna prueba de nada. De hecho, si te parece razonable decir que unos cálculos completamente detallados están mal sin señalar ningún error concreto en ellos, no hace falta leer tus cálculos, si es que tuvieras algún cálculo, porque hasta ahora no has dado ninguno, sólo has mareado algunas fórmulas arriba y abajo, pero nada serio. Basta decir que tus cálculos están mal por el mismo motivo que tú dices que los cálculos de las páginas que citas están mal: "porque sí". Da igual los cálculos que muestres, que yo te diré que están mal sin necesidad de darte ninguna explicación. Si tú dices que los cálculos de las dos páginas que citas están mal sin justificarlo, tendrás que aceptar que rechacemos tus cálculos con tu misma técnica.

     ¿Cómo se explica esto desde el punto de vista del cálculo de la integral?.  Bien, partimos de que para estos puntos el valor de la integral es mayor que el valor que debería ser. Entonces, entendiendo que la integral es la suma de las gravedades que generan los anillos en el que se ha dividido la esfera, esto quiere decir  que debe de haber anillos que no deberían ser sumados. Estos anillos serían los que su valor de gravedad es muy inferior a los anillos de la superficie en x=0.
     Volviendo a lo explicado sobre la función \(  f\left( x,r\right)=\frac{R\left(x+r\right) }{\sqrt{r^2+2x\left(R+r\right) }^3} \)   donde r es la distancia del punto medida de la gravedad respecto de la superficie exterior y x es la posición del anillo de la esfera que aporta una gravedad en ese punto.

¿Y qué ha pasado con la masa del anillo? Si quieres pasar de la fórmula para el campo gravitatorio de un anillo (unidimensional) al campo gravitatorio de una esfera (bidimensional) tienes que hacer cálculos con cuidado, porque no puedes pasar alegremente de una distribución de masa unidimensional a otra bidimensional. Tienes que hacer algo análogo al cálculo que te hice yo para obtener el campo de una esfera con grosor a partir del campo de una esfera sin grosor. Y las cuentecillas chapuceras que pones a continuación distan mucho de lo que tienes que hacer para que lo que digas pueda considerarse serio. ¿De verdad crees que puedes concluir algo sin que aparezca una integral ni media?

      Esta función f(x,r) es una función decreciente  cuyo máximo está en x=0 con valor  \( f_{max}=\frac{R}{r^2} \) y el mínimo se da en x=2R y su valor  \( f_{min}\propto \frac{1}{R} \).

      Fijaros cómo varían estos valores para puntos cercanos  y para puntos alejados de la superficie, suponiendo una esfera de 6500 Km de radio:
     
           para r= 0,1 m     \(  f_{max}= 6,5x10^8 \)             \( f_{min}\propto 1,5x10^{-7} \)      \( \frac{f_{max}}{ f_{min}}\propto 4,2x10^{15} \)
           para r= 1000 m   \( f_{max}= 6,5  \)                     \( f_{min}\propto 1,5x10^{-7} \)       \( \frac{f_{max}}{ f_{min}}\propto 4,2x10^{7} \)
           para r= R   m      \( f_{max}= 1,5x10^{-7} \)         \( f_{min}\propto 1,5x10^{-7} \)         \( \frac{f_{max}}{ f_{min}}\propto 1 \)
   
      Para puntos cercanos a la superficie el valor máximo  en x= 0 es enorme frente  al mínimo x=2R.  Es decir en la integración sumamos todas las aportaciones de todos los anillos pero aquí vemos que existen un nivel de anillos que deberíamos despreciar y con eso se entendería  por qué con la integración sale mayor valor a lo  que deberían.

      Cuanto más nos alejemos de la superficie,  el valor máximo y mínimo se van a ir acercando y como vemos para r=R ya son semejantes. Es decir conforme nos alejamos el plano infinito de la superficie ya no  actúa como tal, va perdiendo valor, y conforme nos alejemos de la esfera, cada vez habrá que añadir a la suma nuevas contribuciones de anillos que antes se despreciaban y así sucesivamente hasta que todos los anillos sean de niveles semejantes en los que  al calcular la gravedad con la integración saldrá lo mismo que con las ecuaciones que expuse en mi anterior mensaje.

Todo esto es palabrería sin valor, pero es fácil de refutar: está todo mal, por la misma razón que das tú para justificar que los cálculos de las dos páginas que has citado (para \( r<R \) y para \( r>R \)) están mal, es decir, sin ninguna razón en particular. Mientras tú no encuentres un fallo en los cálculos cuando  \( r<R \) y cuando  \( r>R \) (sólo hablas del caso \( r=R \), pero de los otros no dices qué hay mal en los cálculos) tampoco hace falta encontrar ningún fallo en tus cuentas (más allá de que consideras que puedes prescindir de las integrales para evaluar una integral).

[DCM]

      Hola a todos, lo primero , Carlos, pedirte perdón por cambiarte el nombre y no volverá a pasar.  

    Creo que debo de recalcar un punto sobre los modelos a que  me estoy refiriendo siempre y se trata de que en todos los casos son modelos de espesor infinitesimal, planos infinitos, discos y esferas huecas de espesor infinitesimales. El concepto de espesor infinitesimal indica que siempre hay dos superficies en el objeto pero su espesor es tan pequeño que podemos considerar que toda la masa está distribuida en una superficie, es decir,  \( \sigma = \frac{M}{S_{total}} \). 

    En lo físico hay modelos semejantes a estos como es la estructura del grafeno, que debido a su espesor atómico se considera al grafeno como una estructura bidimensional con una densidad de \( 0,77\frac{mgr}{m^2} \). En este caso, una parte de átomo de carbono hace la pared izquierda y la otra parte del átomo forma la pared derecha.  

   Después de esta aclaración me gustaría responder a  Feriva sobre lo que ha explicado.  
    La expresión que has utilizado la has sacado de cinemática del  movimiento rectilíneo  uniforme acelerado con aceleración g=constante, para calcular el tiempo que tarda en caer un objeto que está a una altura de la superficie del planeta y se deja caer en caída libre  hasta llegar a la superficie: \(  h=\frac{1}{2}gt^2 \)  y despejando obtenemos \(  t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \),,    que  calcula el tiempo que tarda en caer al suelo o superficie del planeta, cuando se deja caer un objeto desde la altura h en caída libre.  

   a) Vamos a suponer el caso que propones de un planeta macizo de radio R,  densidad volumétrica \rho, masa M,      \( t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{6hR^2}{G\rho 4\pi R^3}}=\sqrt{\frac{3h}{G\rho 2\pi R} } \)    y despejando G tenemos 
    \( G =\frac{3h}{2\pi\rho t^2 R}   \)    
    Esta es la ecuación general pero ahora en tu mensaje  creo que haces h=R.  Lo cual no se puede hacer pues hemos dicho inicialmente que g=constante y hemos supuesto que es el de la superficie del planeta, pero a una distancia o altura R en caída libre, la gravedad  no es constante y por lo tanto la ecuación de la que partimos de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ya no la podemos utilizar y por tanto,  la fórmula que pones  creo que no es correcta.     deberíamos quedarnos con   \( G =\frac{3h}{2\pi\rho t^2 R} \)    para calcular el valor de G.  

 b) Vamos a suponer el caso de un planeta hueco de espesor infinitesimal de radio R , densidad superficial   \( \sigma \) y masa M.  
     \( t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{ \frac{2h}{2\pi G \sigma}} \)     y despejando G obtenemos    
    \(  G=\frac{h}{\pi \sigma t^2} \)   
 como puedes ver también aparece la densidad en este caso la superficial y también podíamos calcular el valor de G.  
    En la esfera hueca de espesor infinitesimal, tiene masa, M,q ue es la crea el campo gravitatorio, y esta masa  está distribuida en una densidad superficial y a través de esta masa M se podría calcular la constante G .

     Ahora deseo aclarar algunos puntos con Carlos.
    
 Los modelos que he utilizado son los que he comentado al principio del mensaje, en ellos, siempre tenemos 2 superficies, en el caso dela esfera hueca de espesor infinitesimal tenemos  la superficie interior y la exterior, las 2 están a la misma distancia del centro, R, debido a que su espesor es infinitesimal. En ambas superficies la gravedades siempre con dirección radial  y sentido hacia cada superficie.     El hecho que para puntos exteriores de la esfera, la solución de la integral obtiene mayor valor de gravedad a puntos más alejados de la superficie, esto es imposible en la Física y  es indicativo que el método de integración no refleja lo que ocurre en la realidad para este caso particular.     Por lo tanto este método debe abandonarse para el estudio de estas esferas y utilizar otro más adecuado que al final  explicaré.
     Yo te he intentado  hacer ver cuál es el problema de la integración en estas esferas, paso a paso,s iguiente el desarrollo mental que he realizado en el mensaje anterior.
      Para mí,  el punto crucial es asegurarse que en el caso  \(  r=R \)    \( g= 2\pi G \sigma \)  sí tiene un sentido físico,  y su significado es:  
    Que la gravedad en la superficie exterior sea el de un plano infinito de espesor infinitesimal, se ha visto de 3 formas: con un poco de imaginación, luego numéricamente con las aportaciones de los anillos en x=0y en x=2R y  además en integración sale también eso (es lo que me dio la pista para hacer el puzzle). 
     Si tenéis dudas estudiar la función f(x,r) haciendo variar el valor de r desde r=R hasta r=10^{-20}, para un esferade  R= 10^7m.  

    Una vez que aceptamos que \( g= 2\pi G \sigma \)  las  consecuencias son directas  y las que te he explicado en mi mensaje anterior entre ellas que existía un rango de distancias r donde \( g\neq\frac{GM}{r^2} \) y deberían ser menor a este valor.    

     Yo creo que la integración no funciona correctamente para  obtener la gravedad que genera  una esfera hueca con espesor infinitesimal, para r>R,  mientras tengamos unas diferencias de valor "grandes" entre las contribuciones de los anillos elementales., entre x=0 y x=2R. cuando estos valores sean semejantes, lo cual va a pasar cuanto más nos alejemos de la superficie, entonces la integración dará un resultado correcto. Lo importante es que la integración no puede explicar lo que ocurre según las leyes de la física, por lo anterior dicho.

           No es que esté algo mal realizado en el proceso de cálculo de la integral, sino que el hecho que aparezca la discontinuidad en la gravedad en la superficie exterior en r=R, y para puntos r> R en la integración,  indica que éste método no va a reflejar lo que ocurre realmente  con la gravedad en estas esfera huecas de espesor infinitesimal.
       Por ello hay que buscar otro método y yo el único que conozco es el Teorema de Gauss.  Partiendo de que tanto en la superficie interior como la exterior de la esfera la gravedad es  g=2\pi G \sigma, siempre en sentido hacia cada superficie. Partimos de una esfera de radio R de espesor infinitesimal y masa M,  a la que le hemos realizado un pequeño orificio de diámetro infinitesimal  (con lo que el campo que crea lo consideramos igual a una esfera completa).     

  Vamos a analizar con el teorema de Gauss  los campos que se crean en 2superficies cerradas:

1)    Una superficie cerrada ,doblemente esférica, que cubre tanto la superficie interior como la exterior de la esfera, teniendo \( S_{1 total}= 4\pi R^2+4 \pi R^2 \)
2)     Otra superficie cerrada, doblemente esférica,  que está a una distancia  r’   tanto de la superficie interior como de la superficie exterior, siendo \( S_{2 total} =4 \pi (\left ( R+r` \right )^2 +4 \pi \left( R-r` \right )^2 \).
  Debido a que ambas superficies cerradas S_1 y S_2 envuelven a toda la masa de la esfera, por el teorema de Gauss, el flujo de la gravedad a través de S_1 es igual al flujo de la gravedad en S_2.  
   definimos  \( g_o=2 \pi G \sigma= \frac{GM}{2R^2} \) 
Flujo a través de \( S_1 = 2 g_o 4 \pi R^2 \)
Flujo a través de \( S_2=  g_{ext}4\pi \left( R+r'\right )^2 +g_{int}4\pi \left( R-r'\right )^2 \)

  Igualando y reduciendo obtenemos las ecuaciones fundamentales para estudiar la gravedad en estas esferas huecas de espesor infinitesimal. 
  \( 2go R^2 = g_{ext} \left( R+r'\right)^2+ g{int} \left( R-r'\right)^2 \)      (1)  
 Donde \(  g_{ext}\left(R+r'\right)< g_o \)   y   \(  g_{int}\left(R-r'\right) < g_o  \)    (2)    
     Estas  inecuaciones  son debido a que los puntos en r´ están alejados de las superficies de la esfera.

 Ahora vamos a tratar de analizar estas ecuaciones y sacar unas conclusiones:
 1)     Supongamos que en un punto r’ se cumple que g{int}\left(r'\right)=0.      
        Sustituyendo en (1) obtenemos  \( 2go R^2 = g_{ext} \left ( R+r' \right )^2   \)y despejando

 \( g{ext}= \frac{2goR^2}{\left( R+r'\right)^2} =  \frac{GM}{\left(R+r'\right)^2} \)  para cualquier punto que dista r' de la superficie exterior y \( g{int}\left(r'\right)=0 \)

   Es decir, cuando en un punto del interior dela esfera, que dista r' de la superficie interior la gravedad es cero, el punto homólogo en la zona exterior que dista r` de la superficie exterior, tiene la expresión de la gravedad que conocemos oficialmente En este caso todo el flujo de la gravedad fluye a través de la superficie exterior de radio  R+r’. 

2)     Esto tiene una consecuencia para puntos cercanos a la superficie de la esfera. Supongamos  r’-> 0 pero  r´> 0. En estos casos la gravedad no puede caer drásticamente de valor para pasar a  \( g_{int}=0 \) debido a que esto produce que en el punto r'  exterior  respecto de la superficie,  la\(  g_{ext}= \frac{GM}{\left(R+r'\right)^2} \) y entonces produciría que la gravedad sería mayor a \( g_o \), existente en la superficie, lo cual no es posible físicamente.
 Al eliminar el flujo de la gravedad por la superficie interior todo el flujo fluirá por la superficie exterior  aumentando drásticamente la gravedad en el punto homólogo  que dista r` de la superficie exterior de la esfera y provoca que su gravedad aumente más de lo permitido. 
   Por lo tanto la caída de valor de la gravedad, conforme nos alejemos de la superficie interior va a ser tranquila y no brusca.

3)     Pero al final en el interior habrá una distancia  que llamo \( r'_o \)  que es donde \( g_{int}\left(r'_o\right)=0  \)y  a partir de ella hasta llegar a r'=R todos estos puntos también \( g_{int}\left(r'\right)=0 \).    
    Entonces en los puntos que distan r'  de la superficie de la esfera interior con la condición\(  r_o<r'\leq R \) entonces  \( g_{ext}= \frac{GM}{\left(R+r'\right)^2} \), que es lo sabemos oficialmente. 

     Por lo tanto sólo se verán modificados las ecuaciones  oficiales de la gravedad para las distancias entre\(  0 \leq r'<r'_o  \)  mientras para distancias    \(  r'\geq r_o  \)   la ecuación de la gravedad  permanece invariante.


4) Despejando \( g_{ext} \) de la ecuación (1) y después sustituyendo en la ecuación \( g_{int} \)  por \(  g_o \), la ecuación se transforma en una inecuación que pongo a continuación:   

\( g{ext}> g_o\left(1 - \frac{2r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right) \).    
uniendo esta inecuación con la (2) obtenemos:

\( g_o>g_{ext}> g_o\left(1 - \frac{2r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right)  \)    (3)

´   De igual forma despejando \( g_{int} \) de la ecuación (1) y después sustituyendo en la ecuación \( g_{ext} \) por \( g_o \), la ecuación se transforma en una inecuación semejante a la anterior:

\( g{int}> g_o  \left(1 - \frac{2r´^2}{R-r´}^2\right) \) ´

 llegando a:
 \( g_o > g{int} > g_o >  \left(1 - \frac{2r´^2}{\left(R-r´\right)^2}\right) \).        (4)
    Vamos analizar varios casos:
  a) Supongamos que r'<< R   y   \( r'\rightarrow 0 \),   (puntos muy cercanos a las superficies) en este caso: 
     \(  g_{ext}\to g_o \)       \( g_{int}\to g_o \)

         Esto segura que la función de la gravedad es continua en r'=0, tanto en el exterior como en el interior. 

b)  supongamos que  a demás del caso a) radio de la esfera es muy grande y hacemos tender R--> infinito   
    Entonces obtenemos         \( g_{int} = g_o \)       \(  g_{ext}= g_o \)       
   La gravedad  que se obtiene en este caso es la generada por un plano infinito de espesor infinitesimal.

      En resumen la función  gravedad en las esferas huecas de espesor infinitesimal, parten de un valor \( g=2\pi G\sigma \) en ambas caras, exterior e interior, y bajan en valor de forma continua por ambos de la superficie de una forma suave, sin saltos, hasta que en el interior llega a alcanzar la  \( g_{int}\left(r'_o\right)=0  \)  a partir de donde la expresión de la gravedad  en el exterior , en  puntos \( r'\geq r'_o  \) es la que todos conocemos como oficial   
      \( g_{ext}=\frac{GM}{\left(R+r'\right)^2}  \)     

   Ahora debemos encontrar unas funciones \( g_{ext}\left(r'\right) \)  y  \( g_{int}\left(r'\right) \) que cumplan con las ecuaciones  (1) (2) este es el siguiente paso, teniendo en cuenta todo lo obtenido:

     \(  2go R^2 = g_{ext} \left( R+r'\right)^2+ g{int} \left( R-r'\right)^2 \)     (1)  
 
    \( [g_{ext}\left(R+r'\right)< g_o  \)  y   \(  g_{int}\left(R-r'\right) < g_o \)     (2)

     \(  g_o>g_{ext}> g_o\left(1 - \frac{2r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right) \)      (3)

    \(  g_o > g{int} > g_o >  \left(1 - \frac{2r´^2}{\left(R-r´\right)^2}\right) \).                 (4)

     \( r'=r_o'\Rightarrow g_{int}\left(r'_o\right)=0   \)                                  (5)

          \( r'=r_o'\Rightarrow g_{ext}\left(r'_o\right)= \frac{GM}{\left(R+r'_o\right)^2} \)  (6)       

      He puesto muchas ecuaciones espero no haber cometido errores en la transcripción. 

            Un saludo.

[feriva]

     
   Después de esta aclaración me gustaría responder a  Feriva sobre lo que ha explicado. 
    La expresión que has utilizado la has sacado de cinemática del  movimiento rectilíneo  uniforme acelerado con aceleración g=constante, para calcular el tiempo que tarda en caer un objeto

No, la ecuación se me ocurrió pensando en las unidades de G y en el modelo cosmológico, en el cual se usan expresiones parecidas.

Supongo que sabrás que en los primeros modelos cosmológicos, como el de Friedmann, se considera que en el inicio del Universo la gravedad tendía a cero y éste se expandía muy deprisa. Las fórmulas que se utilizan son muy similares a la de la gravedad, pero van asociadas a un globo de radio R variable.

Llevo muchíssmos años con la idea que te dije en los otros comentarios y la tengo muy interiorizada, comprendo que cuando hablo no se me entienda o se piense que estoy de broma. Pero no pasa nada, por eso precisamente también entiendo que tu guerra es otra.

No obstante, en mi opinión, las unidades en física son muy importantes, hay que respetarlas. Del mismo modo que una línea de puntos no tiene espesor, porque los puntos no tienen dimensión, una superficie, matemáticamente hablando, no tiene densidad, porque es una capa de puntos sin dimensión, no un volumen. Me da igual lo que digan los físicos teóricos y que teoricen con cosas que nunca han experimentado (tampoco es reprochable, por eso se llama física teórica). Con el campo electromagnético (que implica una fuerza muy, muy, distinta) tiene sentido lo de la esfera hueca, se puede experimentar, pero nunca será infinitesimal tampoco; un valor infinitesimal no se diferencia humanamente de cero; si se diferencia, es que no es infinitesimal.

Saludos.

[feriva]

   a) Vamos a suponer el caso que propones de un planeta macizo de radio R,  densidad volumétrica \rho, masa M,      \( t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{6hR^2}{G\rho 4\pi R^3}}=\sqrt{\frac{3h}{G\rho 2\pi R} } \)    y despejando G tenemos
    \( G =\frac{3h}{2\pi\rho t^2 R}   \)     
    Esta es la ecuación general pero ahora en tu mensaje  creo que haces h=R.  Lo cual no se puede hacer pues hemos dicho inicialmente que g=constante y hemos supuesto que es el de la superficie del planeta, pero a una distancia o altura R en caída libre,

No, no.

Cómo que no se puede hacer, es lo único que se puede hacer. Vamos a ver.

Sea

\( \dfrac{MG}{R^{2}}=g \)

M la masa de la esfera y R su radio, entonces:

\( \rho=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}} \); \( t^{2}=\dfrac{2R}{g} \);

con lo cual, sutituyendo

\( \dfrac{MG}{R^{2}}=\dfrac{M(\dfrac{3}{2\pi\rho t^{2}})}{R^{2}}\Rightarrow \)

\( \dfrac{MG}{R^{2}}=\dfrac{M(\dfrac{3}{2\pi(\dfrac{3M}{4\pi R^{3}})\dfrac{2R}{g}})}{R^{2}}=g \)

Es una identidad, no se puede discutir; se ve manejando álgebra básica, deja por un momento esos cálculos de integrales tan enjundiosos y ten la bondad de pararte a comprobar esta humilde cuenta.
Poniendo “h” no funciona (funciona de forma particular, con un tiempo particular, dejando caer un objeto particular... pero no es una forma general, como dices).
La constante G, repito, está ligada al radio y la densidad del cuerpo esférico, sea un asteroide irregular o lo que sea, pues funciona un radio medio.

Dicho lo cual, tu ecuación se puede escribir con mi versión de G y queda así

\( g=2\pi G\sigma \)

\( g=2\pi\cdot\dfrac{3}{2\pi\rho t^{2}}\cdot\dfrac{M}{4\pi R^{2}}= \)

\( g=\dfrac{3}{\rho t^{2}}\cdot\dfrac{M}{4\pi R^{2}}= \)

\( g=\dfrac{3}{(\dfrac{3M}{4\pi R^{3}})t^{2}}\cdot\dfrac{M}{4\pi R^{2}}= \)

\( g=\dfrac{R}{t^{2}} \)

donde \( t^{2}=\dfrac{2R}{g} \) y entonces

\( g=\dfrac{R}{(\dfrac{2R}{g})} \)

\( g=\dfrac{g}{2} \)

\( 1=\dfrac{1}{2} \)

y "funciona", como ves.



Saludos.

[Carlos Ivorra]

    Creo que debo de recalcar un punto sobre los modelos a que  me estoy refiriendo siempre y se trata de que en todos los casos son modelos de espesor infinitesimal, planos infinitos, discos y esferas huecas de espesor infinitesimales. El concepto de espesor infinitesimal indica que siempre hay dos superficies en el objeto pero su espesor es tan pequeño que podemos considerar que toda la masa está distribuida en una superficie, es decir,  \( \sigma = \frac{M}{S_{total}} \).

Eso no tiene ningún sentido. Las fórmulas demostradas en las páginas que tú mismo has citado corresponden a esferas de grosor nulo, cero patatero. Los espesores infinitesimales no existen. O consideras un cascarón de grosor muy pequeño, o consideras una superficie bidimensional de espesor nulo. Cualquier otra cosa es un invento tuyo y de nadie más.

    En lo físico hay modelos semejantes a estos como es la estructura del grafeno, que debido a su espesor atómico se considera al grafeno como una estructura bidimensional con una densidad de \( 0,77\frac{mgr}{m^2} \). En este caso, una parte de átomo de carbono hace la pared izquierda y la otra parte del átomo forma la pared derecha. 

Nada de izquierda y derecha. Si consideras una estructura bidimensional, entonces el espesor es \( 0 \) y cualquier otra forma de verlo es charlatanería pura. Por poner un ejemplo:

Considera los puntos del espacio que cumplen la ecuación

\( x^2+y^2+z^2 = 1 \)

que corresponde a una esfera de un metro de radio. Imagina que esa esfera está hecha de grafeno y que tiene una densidad de \( 0.77 mg/m^2 \). Sorprende que hayas estudiado física y no sepas cómo se abrevia "miligramo". En esas condiciones, te pregunto: ¿cuál es la intensidad del campo gravitatorio determinado por la esfera en el punto \( (1, 0, 0) \)?

Se trata de un único punto del espacio (que está en la esfera), y tienes que asignarle un único vector de campo gravitatorio. No puedes asignar dos vectores al mismo punto. Si llamas \( S \) a la esfera, el campo gravitatorio tiene que ser un campo \( \vec E: \mathbb R^3\longrightarrow \mathbb R^3 \) y no puede tomar dos valores en un mismo punto \( (1, 0, 0) \). ¿Cuánto dices que vale \( \vec E(1, 0, 0) \)? Tienes que dar UNA respuesta, no DOS. Veamos qué tal se te da contar hasta uno.

   
 Los modelos que he utilizado son los que he comentado al principio del mensaje, en ellos, siempre tenemos 2 superficies, en el caso dela esfera hueca de espesor infinitesimal tenemos  la superficie interior y la exterior, las 2 están a la misma distancia del centro, R, debido a que su espesor es infinitesimal.

Pues si están a la misma distancia del centro, no son dos, son una. Los infinitésimos no existen (salvo que te metas en análisis no estándar, con lo cual tendrías que tener en cuenta muchas cosas que no estás teniendo en cuenta y, en cualquier caso, no puedes llegar con análisis no estándar a probar nada que no puedas probar sin él). Los modelos esos que dices que los físicos llevan no sé cuánto tiempo calculando mal no tienen nada que ver con espesores infinitesimales, se refieren a esferas como

\( x^2+y^2+z^2=1 \)

donde no hay más que una superficie esférica. El punto \( (1, 0, 0) \) es uno y no dos, y en ese punto tiene que haber definido un campo y no dos (al menos según tú, que dices que tiene que haber un campo en la esfera, porque el resto de la humanidad sabemos que el campo sobre la esfera está mal definido, por las razones que ya te hemos explicado y que no has entendido).

En ambas superficies la gravedades siempre con dirección radial  y sentido hacia cada superficie.     El hecho que para puntos exteriores de la esfera, la solución de la integral obtiene mayor valor de gravedad a puntos más alejados de la superficie, esto es imposible en la Física y  es indicativo que el método de integración no refleja lo que ocurre en la realidad para este caso particular.   

Es indicativo de que no entiendes nada, porque lo que se demuestra en la página que tú mismo has citado y que no te crees es que, en el exterior de la esfera, el campo decrece con el cuadrado de la distancia:

\( \displaystyle g = \frac{GM}{r^2} \)

Si no entendes que esta función representa un campo que disminuye con el cuadrado de la distancia, no sé qué puedes haber entendido. ¿Estás diciendo que está mal una fórmula que obviamente no entiendes?

Por lo tanto este método debe abandonarse para el estudio de estas esferas y utilizar otro más adecuado que al final  explicaré.

¿Por qué tanto? Lo que se demuestra para esferas sin grosor es que su campo gravitatorio es nulo en el interior y viene dado por la fórmula precedente en el exterior, mientras que en la propia superficie no está definido porque si consideras un caparazón de grosor muy pequeño, el campo en los puntos de su corteza varía rápidamente de 0 a \( GM/R^2 \), por lo que no tiene sentido asignar un valor en concreto cuando despreciamos el grosor, es decir, el intervalo en el que se produce el cambio.

     Yo te he intentado  hacer ver cuál es el problema de la integración en estas esferas, paso a paso,s iguiente el desarrollo mental que he realizado en el mensaje anterior.

No has intentado nada. En las páginas que tú mismo citaste tienes las demostraciones de cuánto vale el campo gravitatorio dentro y fuera de la esfera. Son impecables y, si consideras que tienen algún fallo, di qué está mal en ellas. Como diría el maestro Yoda: No lo intentes, hazlo.

      Para mí,  el punto crucial es asegurarse que en el caso  \(  r=R \)    \( g= 2\pi G \sigma \)  sí tiene un sentido físico,  y su significado es:   
    Que la gravedad en la superficie exterior sea el de un plano infinito de espesor infinitesimal, se ha visto de 3 formas: con un poco de imaginación, luego numéricamente con las aportaciones de los anillos en x=0y en x=2R y  además en integración sale también eso (es lo que me dio la pista para hacer el puzzle).
     Si tenéis dudas estudiar la función f(x,r) haciendo variar el valor de r desde r=R hasta r=10^{-20}, para un esferade  R= 10^7m. 

    Una vez que aceptamos que \( g= 2\pi G \sigma \)  las  consecuencias son directas  y las que te he explicado en mi mensaje anterior entre ellas que existía un rango de distancias r donde \( g\neq\frac{GM}{r^2} \) y deberían ser menor a este valor.   

Pero es que no aceptamos nada. Tienes los cálculos bien hechos en las páginas que tú mismo has citado. Mientras no encuentres ningún problema en ellos (para los casos \( r<R \) y \( r>R \), en el caso \( r=R \) da igual lo que digas, porque sólo te importa a ti) no tienes ninguna base para proponer ninguna alternativa lunática, y mucho menos basada en tus analogías cogidas por los pelos.

Insisto por enésima vez: ¿qué está mal en los cálculos del campo gravitatorio de una esfera sin grosor para  \( r<R \) y \( r>R \)? Esos cálculos los hizo ya Newton. Supongo que tendrá mucho morbo para ti llevarle la contraria a Sir Isaac, pero si quieres llevarle la contraria tendrás que explicar qué fallo hay en los cálculos que tú mismo has citado. Y encontrar fallos no es vendernos la moto de tus teorías, es decir qué está mal. Si me dices que \( 2+2=5 \) te diré que eso está mal, y para ello no tendré que inventarme ninguna teoría marciana. Sólo tendré que hacerte contar bien con los dedos. ¿Puedes tú decir qué falla en los cálculos que tú mismo has citado en los casos  \( r<R \) y \( r>R \)?

     Yo creo que la integración no funciona correctamente para  obtener la gravedad que genera  una esfera hueca con espesor infinitesimal, para r>R,  mientras tengamos unas diferencias de valor "grandes" entre las contribuciones de los anillos elementales., entre x=0 y x=2R. cuando estos valores sean semejantes, lo cual va a pasar cuanto más nos alejemos de la superficie, entonces la integración dará un resultado correcto. Lo importante es que la integración no puede explicar lo que ocurre según las leyes de la física, por lo anterior dicho.

¿Y desde cuándo las integrales funcionan unas veces sí y otras no? No puedes decir que esos cálculos no están bien porque usan integrales y "tú crees" que las integrales se atascan a veces. Las integrales no son coches que a veces no arrancan y te dejan tirado. No puedes decir: aquí tenemos una integral, pero ¿es de fiar o no? Así no puedes ir por la física.

           No es que esté algo mal realizado en el proceso de cálculo de la integral, sino que el hecho que aparezca la discontinuidad en la gravedad en la superficie exterior en r=R, y para puntos r> R en la integración,  indica que éste método no va a reflejar lo que ocurre realmente  con la gravedad en estas esfera huecas de espesor infinitesimal.

Bien, pues si crees que eso no puede ser, explica en qué falla el cálculo, pero no vale decir que falla porque usa integrales. Por otro lado, ya te hemos explicado por qué aparece esa discontinuidad: es el efecto de suponer que la esfera tiene grosor nulo. Si consideras una esfera de un grosor muy pequeño, en ella el campo varía rápidamente de 0 en la superficie interior a \( GM/R^2 \) en la superficie exterior (donde R es el radio exterior) y eso hace que si reduces ese intervalo en el que el campo varía a un único punto (a una única distancia al origen) entonces no tiene sentido asignarle un valor al campo, porque tienes un intervalo de valores que ahora deberían ocupar un mismo punto y eso es imposible. Si no lo entiendes, el problema no está en las integrales, sino en ti.

       Por ello hay que buscar otro método y yo el único que conozco es el Teorema de Gauss. 

El teorema de Gauss no es "otro método", es otra forma de calcular lo mismo. Más fácilmente en el caso de una esfera, pero lo mismo. Si crees que puedes obtener una cosa integrando y otra con el teorema de Gauss, es como si crees que puedes obtener una cosa con \( 3+3+3+3+3 \) y otra con \( 3\cdot 5 \).

Partiendo de que tanto en la superficie interior como la exterior de la esfera la gravedad es  g=2\pi G \sigma, siempre en sentido hacia cada superficie. Partimos de una esfera de radio R de espesor infinitesimal y masa M,  a la que le hemos realizado un pequeño orificio de diámetro infinitesimal  (con lo que el campo que crea lo consideramos igual a una esfera completa).     

  Vamos a analizar con el teorema de Gauss  los campos que se crean en 2superficies cerradas:

1)    Una superficie cerrada ,doblemente esférica, que cubre tanto la superficie interior como la exterior de la esfera, teniendo \( S_{1 total}= 4\pi R^2+4 \pi R^2 \)
2)     Otra superficie cerrada, doblemente esférica,  que está a una distancia  r’   tanto de la superficie interior como de la superficie exterior, siendo \( S_{2 total} =4 \pi (\left ( R+r` \right )^2 +4 \pi \left( R-r` \right )^2 \).
  Debido a que ambas superficies cerradas S_1 y S_2 envuelven a toda la masa de la esfera, por el teorema de Gauss, el flujo de la gravedad a través de S_1 es igual al flujo de la gravedad en S_2. 
   definimos  \( g_o=2 \pi G \sigma= \frac{GM}{2R^2} \)
Flujo a través de \( S_1 = 2 g_o 4 \pi R^2 \)
Flujo a través de \( S_2=  g_{ext}4\pi \left( R+r'\right )^2 +g_{int}4\pi \left( R-r'\right )^2 \)

  Igualando y reduciendo obtenemos las ecuaciones fundamentales para estudiar la gravedad en estas esferas huecas de espesor infinitesimal.
  \( 2go R^2 = g_{ext} \left( R+r'\right)^2+ g{int} \left( R-r'\right)^2 \)      (1) 
 Donde \(  g_{ext}\left(R+r'\right)< g_o \)   y   \(  g_{int}\left(R-r'\right) < g_o  \)    (2)     
     Estas  inecuaciones  son debido a que los puntos en r´ están alejados de las superficies de la esfera.

 Ahora vamos a tratar de analizar estas ecuaciones y sacar unas conclusiones:
 1)     Supongamos que en un punto r’ se cumple que g{int}\left(r'\right)=0.     
        Sustituyendo en (1) obtenemos  \( 2go R^2 = g_{ext} \left ( R+r' \right )^2   \)y despejando

 \( g{ext}= \frac{2goR^2}{\left( R+r'\right)^2} =  \frac{GM}{\left(R+r'\right)^2} \)  para cualquier punto que dista r' de la superficie exterior y \( g{int}\left(r'\right)=0 \)

   Es decir, cuando en un punto del interior dela esfera, que dista r' de la superficie interior la gravedad es cero, el punto homólogo en la zona exterior que dista r` de la superficie exterior, tiene la expresión de la gravedad que conocemos oficialmente En este caso todo el flujo de la gravedad fluye a través de la superficie exterior de radio  R+r’.

2)     Esto tiene una consecuencia para puntos cercanos a la superficie de la esfera. Supongamos  r’-> 0 pero  r´> 0. En estos casos la gravedad no puede caer drásticamente de valor para pasar a  \( g_{int}=0 \) debido a que esto produce que en el punto r'  exterior  respecto de la superficie,  la\(  g_{ext}= \frac{GM}{\left(R+r'\right)^2} \) y entonces produciría que la gravedad sería mayor a \( g_o \), existente en la superficie, lo cual no es posible físicamente.
 Al eliminar el flujo de la gravedad por la superficie interior todo el flujo fluirá por la superficie exterior  aumentando drásticamente la gravedad en el punto homólogo  que dista r` de la superficie exterior de la esfera y provoca que su gravedad aumente más de lo permitido. 
   Por lo tanto la caída de valor de la gravedad, conforme nos alejemos de la superficie interior va a ser tranquila y no brusca.

3)     Pero al final en el interior habrá una distancia  que llamo \( r'_o \)  que es donde \( g_{int}\left(r'_o\right)=0  \)y  a partir de ella hasta llegar a r'=R todos estos puntos también \( g_{int}\left(r'\right)=0 \).   
    Entonces en los puntos que distan r'  de la superficie de la esfera interior con la condición\(  r_o<r'\leq R \) entonces  \( g_{ext}= \frac{GM}{\left(R+r'\right)^2} \), que es lo sabemos oficialmente. 

     Por lo tanto sólo se verán modificados las ecuaciones  oficiales de la gravedad para las distancias entre\(  0 \leq r'<r'_o  \)  mientras para distancias    \(  r'\geq r_o  \)   la ecuación de la gravedad  permanece invariante.


4) Despejando \( g_{ext} \) de la ecuación (1) y después sustituyendo en la ecuación \( g_{int} \)  por \(  g_o \), la ecuación se transforma en una inecuación que pongo a continuación:   

\( g{ext}> g_o\left(1 - \frac{2r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right) \).   
uniendo esta inecuación con la (2) obtenemos:

\( g_o>g_{ext}> g_o\left(1 - \frac{2r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right)  \)    (3)

´   De igual forma despejando \( g_{int} \) de la ecuación (1) y después sustituyendo en la ecuación \( g_{ext} \) por \( g_o \), la ecuación se transforma en una inecuación semejante a la anterior:

\( g{int}> g_o  \left(1 - \frac{2r´^2}{R-r´}^2\right) \) ´

 llegando a:
 \( g_o > g{int} > g_o >  \left(1 - \frac{2r´^2}{\left(R-r´\right)^2}\right) \).        (4)
    Vamos analizar varios casos:
  a) Supongamos que r'<< R   y   \( r'\rightarrow 0 \),   (puntos muy cercanos a las superficies) en este caso:
     \(  g_{ext}\to g_o \)       \( g_{int}\to g_o \)

         Esto segura que la función de la gravedad es continua en r'=0, tanto en el exterior como en el interior.

b)  supongamos que  a demás del caso a) radio de la esfera es muy grande y hacemos tender R--> infinito   
    Entonces obtenemos         \( g_{int} = g_o \)       \(  g_{ext}= g_o \)       
   La gravedad  que se obtiene en este caso es la generada por un plano infinito de espesor infinitesimal.

      En resumen la función  gravedad en las esferas huecas de espesor infinitesimal, parten de un valor \( g=2\pi G\sigma \) en ambas caras, exterior e interior, y bajan en valor de forma continua por ambos de la superficie de una forma suave, sin saltos, hasta que en el interior llega a alcanzar la  \( g_{int}\left(r'_o\right)=0  \)  a partir de donde la expresión de la gravedad  en el exterior , en  puntos \( r'\geq r'_o  \) es la que todos conocemos como oficial   
      \( g_{ext}=\frac{GM}{\left(R+r'\right)^2}  \)     

   Ahora debemos encontrar unas funciones \( g_{ext}\left(r'\right) \)  y  \( g_{int}\left(r'\right) \) que cumplan con las ecuaciones  (1) (2) este es el siguiente paso, teniendo en cuenta todo lo obtenido:

     \(  2go R^2 = g_{ext} \left( R+r'\right)^2+ g{int} \left( R-r'\right)^2 \)     (1) 
 
    \( [g_{ext}\left(R+r'\right)< g_o  \)  y   \(  g_{int}\left(R-r'\right) < g_o \)     (2)

     \(  g_o>g_{ext}> g_o\left(1 - \frac{2r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right) \)      (3)

    \(  g_o > g{int} > g_o >  \left(1 - \frac{2r´^2}{\left(R-r´\right)^2}\right) \).                 (4)

     \( r'=r_o'\Rightarrow g_{int}\left(r'_o\right)=0   \)                                  (5)

          \( r'=r_o'\Rightarrow g_{ext}\left(r'_o\right)= \frac{GM}{\left(R+r'_o\right)^2} \)  (6)       

      He puesto muchas ecuaciones espero no haber cometido errores en la transcripción.

Todo esto está mal. Si tú puedes decir

     Yo creo que la integración no funciona correctamente para  obtener la gravedad que genera  una esfera hueca con espesor infinitesimal, para r>R,  mientras tengamos unas diferencias de valor "grandes" entre las contribuciones de los anillos elementales., entre x=0 y x=2R.

Entonces yo, aplicando tu peculiar concepción del método científico, te digo que todo lo que haces no funciona correctamente para obtener la gravedad que genera una esfera hueca porque usas letras latinas y las esferas requieren usar sólo letras griegas.

En resumen: tienes unos cálculos que dan resultados perfectamente coherentes para el campo gravitatorio de una esfera, pero tú dices que no te gustan porque no te gustan. Si tuvieras razón en que el cálculo estuviera mal, no bastaría con que dieras otro cálculo alternativo, porque con ello no habrías arreglado nada. Lo que habrías hecho con ello es demostrar que las matemáticas son contradictorias, porque un mismo hecho: el valor del campo gravitatorio de una esfera de radio \( R \) en puntos \( r>R \) o \( r<R \) da una cosa u otra según si se calcula de una forma (como tú lo haces) o de otra (como lo hace el resto de la humanidad). Por lo tanto, aunque tu cálculo estuviera bien, todavía tendrías pendiente explicar por qué el otro cálculo no está bien. Y para no malgastar esfuerzos inútilmente, mejor empezamos por la parte que seguro que no sabrás hacer, y es la que pretendes evitar: explica primero por qué está mal el cálculo que no te gusta, y cuando esté claro por qué está mal, ya tendrá sentido entrar en los detalles de tu cálculo alternativo, pero mientras tanto... mejor no perder el tiempo, que vale mucho.

Para empezar podrías calcularme el valor del campo de la esfera de grafeno que te he planteado antes, a ver si por ahí te das cuenta de que nada de lo que dices tiene sentido.

[feriva]

Ah, ya veo de dónde viene la cosa. Parece ser una tendencia, una moda de ésas que aparecen de vez en cuando; basta con ver un poco este vídeo que, por una oportuna casualidad, me ha recomendado esta mañana Youtube.

...

DCM, aparte de lo que se dice en el vídeo al final, tienes que tener en cuenta que el hecho de que dos fenómenos se parezcan en un aspecto (como el hecho de que entre en juego el cuadrado de la distancia) no quiere decir que sean “isomorfos”, ni muchísimo menos. La ley de Gauss es para campos eléctricos, aunque se pueda usar para llegar a que “g” tiene esa forma en cuanto a la fórmula.
No es lo mismo, entre otras cosas, porque las constantes físicas no son simples números sin más, como en matemáticas, las constantes físicas, al hilo de lo que ya he ido diciendo, tienen unas unidades; y la constante de gravitación tiene un significado (quizá no muy visualizable, pero lo tiene) y otras constantes, como las de permitividad, permeabilidad…  tienen otro.

Ya te he hablado muy por encima de mi teoría (la cual no intento que des por buena ni digo que sea “la verdad”, simplemente hablo de ella). Cuando se me ocurrió, yo sabía muy poca física, no sólo en cuanto a formulaciones (que sigo sabiendo poca) sino en cuanto a conceptos. Por ejemplo, había leído un libro introductorio a la relatividad especial, pero no sabía bien de qué iba la relatividad general todavía. 
Aun sin saber nada, no hace falta ser Einstein para darse uno cuenta de que el modelo de Newton no dice todo y presenta muchos interrogantes.
Uno observa que, visualmente, los objetos caen a velocidad constante (si se mide en una pantalla de televisión el avance de un objeto que cae) sin embargo, cuando uno mide eso mismo con tiempo (cosa que también hice en el laboratorio de facultad de la UNED) resulta que el movimiento es acelerado.
Ya en otro orden de cosas, la luz que pasa por dos rendijas, deja muchas bandas de luz marcadas en una pantalla y no sólo dos bandas…  Hay fenómenos que hacen pensar.

Si todo se estuviera expandiendo a un buen ritmo, hasta la propia materia, justificaría que se observara como constante, visualmente, una velocidad que, sin embargo, no lo es vista en el tiempo o vista desde “fuera”.
Si la luz llegara a todos los espacios que se han ido expandiendo al mismo tiempo (pero que nosotros registramos del mismo “tamaño” y a través de tiempos distintos)  también podría justificar esas innumerables bandas (lo que ocurre es que el tiempo no sería continuo, iría en pequeños “paquetes” de tiempo).

En fin. No quiero alargarme con más ejemplos ni seguir contando mi vida. La cuestión es que, independientemente de que sea así o no sea así, uno trata de buscar cómo podrían ser las cosas que necesitan explicarse desde el punto de vista físico. Y, en mi opinión, es completamente absurdo dar explicación a “por qué caen las cosas”. Piensa que tuvieras una pelota de tenis en la mano y uno de los pelillos de la pelota, que te está mirando, se hiciera esta pregunta: ¿por qué no cae ese señor hacia a mí, aquí a la pelota? No tiene sentido dar explicación a eso, el pelillo es parte integrante de la materia de la pelota igual que tú eres parte integrante de la Tierra. Del mismo modo que tú te podrías “caer hacia fuera”, se podrían caer las piedras, las casas… Pero eso no es “caer”, es desintegrarse, perder su identidad como objeto. Un objeto es algo con entidad, compuesto de partículas o macroparticulas que están entre ellas a una distancia no muy grande; las que están a un distancia muy grande, ya, pertenecen a otras entidades, como puede ser la Luna. 

La gravedad es una ley que da coherencia a las entidades materiales, nada más, no hay que explicar cosas absurdas. No puedes pensar en un campo gravitatorio porque, que se sepa, no existe tal cosa.

Para Eistein, el espacio-tiempo se curva, él lo dice así y con eso da explicación a algunos fenómenos; para mí (salvando las distancias) la materia se expande. En cualquier caso, para ninguno de los dos (y vuelvo a repetir, salvando las distancias) la gravedad es una fuerza ni existe un campo gravitatorio ni cosas semejantes.
La gravedad es algo muy distinto de otras fuerzas, como pueda ser la del magnetismo, por ejemplo, pues “atrae” todo tipo de materiales y no sólo metales, como un imán. Es cierto que la Tierra tiene un campo magnético, pero esa no es la causa de la gravedad; es cierto que con la ley de Gauss podemos llegar a la fórmula de la gravedad, pero entender que eso es una implicación... es simplemente un grave error de lógica.

Hay muchas cosas que se pueden pensar, muchas a las que se puede intentar dar una explicación (con más acierto o menos o ninguno) pero intentar explicar por qué las cosas “caen”, creo que a estas alturas de la historia de la humanidad debería de estar superado. 
Es como lo del terraplanismo (independientemente de que se puedan hacer muchísimas observaciones que dejan muy claro que la Tierra no es plana): ¿qué soluciona la Tierra plana, qué explica? ¿Quizá el que no nos “caigamos”? Y, en ese caso, ¿caer hacia dónde, hacia el Sol, hacia Andrómeda, qué es “caer”, hay alguna definición no ambigua de semejante idea?

En fin… medita un poco mejor y dentro de un tiempo, si sigues pensando igual, vuelves al ataque.

Saludos.

[DCM]

Hola a todos, perdón por mi tardanza en las respuestas, pues se me están acumulando más de lo que yo deseo.  Pendiente de revisar el  último mensaje de Feriva, paso a contestar los anteriores.    
      Hola Feriva,  estoy de acuerdo en que las unidades se deben respetar, pero cada ecuación la podemos ver desde varias perspectivas dependiendo del proceso físico que tengamos en estudio.

   Las unidades de G son  \( \frac{m^3}{Kg s^2} \)  y representa lo que tú nos ha explicado para una esfera de densidad volumétrica, pero también   G podemos agrupar de otra forma :     \(  \frac{m}{s^2}\frac{m^2}{Kg} \)--> es decir es una aceleración partido por una densidad superficial de masa. Que es caso de la esfera hueca de espesor infinitesimal  con una M distribuida en una densidad de masa superficial \( \sigma \). 

      Ahora sobre el 1º desarrollo que has realizado, en el que has obtenido que g=g, indicar que si en vez de utilizar tu definición de G utilizamos la mía con la variable h        \( G=\frac{3h}{2\pi\rho t^2R}  \) y   \( t^2=\frac{2h}{g} \)
     obtenemos igual g=g, igual a  lo que has obtenido tú.
Por lo tanto  todo bien tanto con tus fórmulas como con las mías. Sólo que aún no sé qué significa el tiempo de  tu ecuación \( t^2 =\frac{2R}{g} \). 

   En tu 2º desarrollo,  has cometido un error y es que has mezclados 2 tipos de gravedad, la gravedad de la esfera hueca y la gravedad de la esfera maciza pero la has identificado como  la misma letra  y por eso sale esa incongruencia.

      Para explicarlo consideremos  \( g_h \) la gravedad  que genera  la esfera hueca de espesor infinitesimal, sea \( g_m \) la gravedad generada por la esfera maciza de densidad volumétrica\(  \rho \)   y   \( t_m^2=\frac{2R}{g_m} \).

           Has deducido que \( g_h=\frac{R}{t_m^2} \)  (pues este tiempo proviene de la definición de G con la densidad \( \rho \) y el tiempo \( t_m \))       sustituyendo se obtiene que: 
              \( g_h= \frac{g_m}{2} \)  --->       \( g_m=2 g_h  \)   lo cual es totalmente correcto, pues:

   \(  g_m=\frac{GM}{R^2}  \)   y  \( g_h=\frac{GM}{2R^2} \)  como sabemos.

     Por lo tanto no hay ninguna incongruencia en mis ecuaciones.

    Cambiando de tema deseo que profundicemos en el concepto de esfera hueca de espesor infinitesimal.

           Definición de infinitesimal que he sacado de wikipedia:       
      Lo infinitesimal o infinitésimo se refiere a una cantidad más cercana a cero que cualquier   número real estándar pero diferente de cero. 
     Bueno esto es para acercarnos al significado de lo que buscamos.         
     Si partimos de una esfera hueca de un espesor finito, d,  de radio  máximo R y masa M, tendremos una \( \rho= \frac{M}{V_{corteza esferica}} \). Si hacemos disminuir el espesor sin cambiar la masa,  el volumen de la corteza  va a ir disminuyendo y \( \rho \) irá aumentando. Cuando tengamos un espesor muy muy pequeño, el volumen de la corteza se hará muy pequeño y esto provocará que la \( \rho \)  llegue a valores enormes.
Ejemplo de esto supongamos 1 \( m^2 \) de grafeno que su masa son 0,77 mg  y veamos qué pasa con \( \rho \) conforme disminuimos el espesor hasta valor muy muy pequeños tendiendo a lo infinitesimal

       espesor(m)                \( \rho \) \( \frac{kg}{m^3} \)
 1,55x10^{-10}                  5x 10^3   
 1,54x10^{-19}                  5x10^12
 1,54x10{-28}                    5x10^21

     y así sucesivamente nos iríamos acercando al concepto de  infinitesimal, y en ese caso todo lleva a que en este caso la densidad \( \rho \) sería un número enorme y tan grande como queramos. Con lo cual este tipo de objetos no se pueden manejar con una \(  \rho \) y debido a esto se utiliza una densidad superficial \( \sigma \).
      En definitiva,  una esfera hueca de espesor infinitesimal es una  esfera hueca  de un espesor distinto de cero pero es tan pequeño que podemos considerar que la masa de la esfera está  localizada en su superficie, es decir,  \(  \sigma =\frac{M}{4\pi R^2 } \).

     Ahora quiero recordar cómo se hizo el cálculo integral , en algún momento del hilo, en coordenadas esféricas de la gravedad que se genera en un punto exterior ,r,  de un cascarón esférico con un espesor finito, pongo el resultado a partir del cual quiero comentar lo siguiente:

\( g=\frac{\pi G\rho}{r^2}\int_{Rint}^{Rext}\int_{R+r}^{R-r}R\left(\frac{r^2+s^2-R^2}{s^2}\right) ds dR \)

\( g=\frac{\pi G\rho}{r^2}\int_{Rint}^{Rext}R\left(4R\right)dR    \)   reagrupando obtenemos:

 \( g=\int_{Rint}^{Rext}\frac{4\pi R^2 G}{r^2}\rho dR   \)

    Viendo la integral como la suma infinitas de las aportaciones de la  gravedad que produce los sistemas elementales en que hemos descompuesto el casquete esférico, vemos que \( g=\int_{Rint}^{Rext}\frac{G}{r^2} 4 \pi R^2 \rho dR  \) donde  identificamos  \(  4 \pi R^2 \rho dR \)  es un diferencial de masa, dM, y por su expresión es el de una esfera hueca de espesor infinitesimal, dR, y cuyo \( g=\frac{G}{r^2}dM \)  que es la expresión que obtenemos en la página de donde ha partido todo este tema.

   De esta forma podemos calcular la gravedad de un cascarón esférico hueco de espesor finito como la suma de las infinitas aportaciones de gravedad que tiene cada una de las infinitas esferas huecas de espesor infinitesimales que descomponemos el cascarón original.  En el proceso de integración de elementos complejos, se calculan  los elementos más simples primero y luego se utiliza para hacer la integración  más fácil de estos elementos más complejos.    Fijaros en la página inicial de dónde todo ha partido y veréis que para hacer la integral de la esfera hueca, se ha dividido la esfera en anillos circulares  de anchura infinitesimal. Aquí en el casquete esférico de espesor finito, el casquete se divide en esferas huecas de espesor infinitesimales.

  Bueno,  la única diferencia que existe entre las anteriores esferas huecas de espesor infinitesimales  y la que estamos analizando es que la masa ahora tiene una masa, M, finita y no una masa infinitesimal como las anteriores.    
    
         Carlos por  esto decirte que no todo es blanco o negro hay grises, hay espesores cero, espesores finitos y espesores infinitesimales. La característica de estas esferas de espesor infinitesimales  de masa M, es la  \sigma y nunca podrá  ser una  \( \rho \).

       Por lo tanto, en esta esfera hueca de espesor infinitesimal tendremos 2 superficies, la exterior y la interior, igual  que pasa si al grafeno  hacemos  el ejercicio anterior de reducir su espesor hasta llegar a valores infinitesimales.

      Este es el reto, fíjate que siempre he estado hablando de  espesores infinitesimales en todos los objetos que me he referido.
   Con ello, volviendo a la página de la que partimos este hilo,  veo que la condición del cálculo de la esfera hueca es que tenga una masa M, un radio R y una densidad superficial \( \sigma \), no se especifica que el espesor tenga que ser nulo, como ya he dicho esto no es la única condición para tener una densidad\(  \sigma \).  Más aún en la otra página que hace el cálculo de la gravedad en el interior aparece el comentario de "Capa de masa esférica uniforme" refiriéndose a las esfera hueca que está analizando, lo cual  está más cerca del concepto de infinitesimal que de espesor cero. Aunque lo importante del cálculo es que  la esfera hueca  tenga una \( \sigma \).

    En estas condiciones todo el cálculo que se ha realizado allí es válido también para  la esfera hueca de espesor infinitesimal.

     Con ello, el resultado final que se obtiene con la integración es el siguiente:

       zona exterior de la esfera   
   \( r = R -->  g=\frac{GM}{2R^2}  \)   En la superficie exterior

    \(  r>R -->   g=\frac{GM}{r^2} \)

  zona interior de la esfera 
  \( r=R -->  g=\frac{GM}{2R^2} \)   

  En la superficie Interior    r<R ---> g= 0

         Este es mi resultado.

             La integración está bien hecha, no hay errores en la ejecución, pero este resultado no es posible en la Física, no puede haber  estos saltos tan bruscos  en la gravedad ni tampoco que la gravedad en puntos más alejados de la superficie sea mayor que la gravedad en la  superficie (espero que ahora haber sido más claro que en lo dicho en mi mensaje anterior del hilo).  Por lo tanto, por el motivo que sea,  la integración no está sirviendo para expresar cómo es  la gravedad que genera una esfera de espesor infinitesimal. 
        Yo he intentado explicarte cuál es el motivo pero bueno tampoco es importante ya, cuando este método hay que desecharlo por completo para el análisis de estas esferas huecas de espesor infinitesimal.  
  
       Como bien sabes el Teorema de Gauss es  un método sencillo que debe llegar al resultado bueno. Ya has visto mi análisis y ya has visto los resultados tan coherentes y estos sí están de acuerdo a la física.

       Lo único que te falta es aceptar que la gravedad en ambas superficies de un plano infinito de espesor infinitesimal es igual a la gravedad que hay en ambas superficies de una esfera hueca de espesor infinitesimal de radio infinito.  Pero esto es tan claro, con un poco de imaginación y luego numéricamente como te he comentado estudiando la función elemental de la gravedad de los anillos en x=0 y x=2R que no hubiera sido necesario ni siquiera que por integración saliera ese resultado. Bueno al final también coincide y  los 3 caminos indican lo mismo.

     Me parece que el problema no es que no  veas esta similitud sino que tu mente no lo quiere aceptar, pues sabe que el momento que lo aceptes, todo el desarrollo que hice en el mensaje anterior con el método de Gauss tendrás que aceptarlo y supondrá una ruptura total con toda tu creencia. Y esto te lo digo por experiencia, a mí me pasó esto que te comento.

    Quiero haceros una pregunta de nuevo: Antes de comenzar este hilo ¿Qué hubieras dicho del valor de la gravedad en la superficie exterior de la esfera hueca y de dónde salió esta información?.       
    Yo os doy mi respuesta pero de lo que pensaba  antes de estos años atrás cuando no sabía nada del tema que estoy exponiendo Para mí en  para r=R, la gravedad en la superficie de una esfera hueca  era  \(  g={GM}{R^2} \). Este resultado lo obtuve con el método de Gauss, no con integrales. Este método hace los cálculos muy fáciles. Os  adjunto un enlace dónde viene realizado esto, para campos eléctricos como prueba de que  este valor de la gravedad en la superficie era el que oficialmente se daba como bueno.

https://www.google.com/amp/s/www.fisicalab.com/amp/apartado/campo-electrico-esfera-cargada

    Pero esto, supone una incongruencia con respecto al resultado de la integración para r=R, pues bajo ningún concepto por integración se obtiene que \( g={GM}{R^2} \) para r=R, sino que \( g={GM}{2R^2} \).  Me parece que el puzzle desde el punto de vista oficial no está terminado de cuadrar nada, de nada.

   Por último, me preguntas sobre el campo gravitarorio de una esfera hueca de grafeno.  Pues al ser un espesor finito, aunque muy pequeño, aún no tengo las ecuaciones que rigen la gravedad de una esfera hueca de espesor finito. Es el siguiente paso una vez que se obtengan  las ecuaciones de la gravedad en una esfera hueca de espesor infinitesimal. Pero en mi opinión si el radio R de la esfera es grande, el resultado va ser muy semejante a la esfera hueca de espesor infinitesimal.

    Lo que sí te puedo decir que la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal va comportarse como ya he dicho en mi anterior mensaje:

      Tiene  un valor       \( g=2\pi G\sigma=\frac{GM}{2R^2} \)  en ambas caras, exterior e interior, y decrecen  de forma continua por ambos de la superficie de una forma suave, sin saltos, hasta que en el interior de la esfera, en \( r'_o \), llega a alcanzar   \(  g_{int}\left(r'_o\right)=0 \) a partir de donde la expresión de la gravedad  en el exterior , en  puntos \( r'\geq r'_o  \) es la que todos conocemos como oficial    \( g_{ext}=\frac{GM}{\left(R+r'\right)^2} \)  

      Fijaros que el paso que nos queda es encontrar la expresiones matemáticas  de \( g_{ext}\left(r'\right) \) y   \( g_{int}\left(r'\right) \), os muestro una expresión sugestiva para \(  g_{ext}\left(r'\right) \), para un punto r' que dista de la superficie de la esfera :

     \(  g_o>g_{ext}> g_o\left(1 - \frac{2r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right)  \)     (3)

  bien esta se puede ver como sigue:

\( g_o\left(1 - \frac{{ {\color{Blue} 0}}r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right)>g_{ext}> g_o\left(1 - \frac{{\color{Blue} 2}r'^2}{\left(R+r'\right)^2}\right) \)

   Un saludo.