1) La integral de Lebesgue exige que para que una función sea integrable también debe serlo la integral de su valor absoluto. De acuerdo.
2) La integral de Riemann generalizada (Henstock-Kurzweil) no exige que la integral del valor absoluto de la función exista para que sea integrable. Adjunto evidencia:
Por lo tanto tu argumento de que la integral de la función que estamos estudiando en este hilo, no existe, es infundado, ya que como ya te he dicho en mensajes anteriores, la integral no existe en Lebesgue, pero es integrables en Riemann generalizada (Henstock-Kurzweil).
Pensé en hacer referencia a Henstock-Kurzweil, pero no pensé que serías tan fantasma como para tratar de agarrarte a ese clavo ardiendo. Esa "evidencia" que aportas es para funciones de una variable definidas en un intervalo acotado.
Hace tiempo leí algo sobre la integral de Henstock-Kurzweil para ver si merecía la pena incluirla en mis libros, pero lo descarté. La estudié con algo de detalle para el caso de una variable y hojeé algo sobre su generalización a varias variables, pero todo lo que recuerdo se refería a funciones definidas en cubos en \( \mathbb R^n \). A lo mejor resulta que tú sabes mucho más que yo sobre la integral de Henstock-Kurzweil y me puedes dar una referencia sobre su definición sobre variedades diferenciales, con los teoremas imprescindibles de cambio de coordenadas, Fubini, etc. para poder trabajar con ella. Yo no he encontrado referencias con este nivel de generalidad, que es el que necesitarías para aplicarlas a la integral que da el campo gravitatorio de una esfera hueca.
Si tienes una referencia sobre integración de Henstock-Kurzweil en variedades diferenciales lo suficientemente general como para aplicarla a integrales sobre esferas huecas y macizas, apórtala. En caso contrario, estás dándote el pegote.
Pero además tendrás que demostrar que el integrando que nos ocupa es integrable Henstock-Kurzweil, porque esto:
Y es integrable pues la función es contínua en todo el dominio de definición y su integral no diverge.
no sólo es una animalada, sino que es una prueba más (o dos, realmente) de tu supina ignorancia. Me estás diciendo que la integral
\( \displaystyle \vec E = \int_S\frac{G \rho}{\|\vec x-\vec P\|^3}(\vec x -\vec P)\,d\sigma \).
existe en el sentido de Henstock-Kurzweil porque el integrando es continuo, y hace un momento has dicho que no es integrable Lebesgue. ¡Pero toda función continua en una superficie compacta (subvariedad de \( \mathbb R^3 \)) es integrable Lebesgue (o integrable respecto de la medida "de Lebesgue" inducida desde \( \mathbb R^3 \))! Estás diciendo que una función continua en una variedad compacta no es integrable Lebesgue. ¿Hace falta más prueba de que no tienes ni idea de integración?
Pero esa era la animalada menor. La animalada mayor es que digas que el integrando es una función continua en la esfera en el caso que nos ocupa, que es el caso en que el punto \( \vec P \) está en la esfera. ¡Esa función no es continua en \( \vec P \)! Y que digas que lo es ya es la enésima evidencia incuestionable de que eres un charlatán.
Así pues, esto es pura fanfarronería por tu parte:
Por lo tanto, en la superficie de la esfera, la integral impropia que aparece es integrable pues su integral da un valor finito. Sólo si su valor diverge será cuando no exista la integral.
Si puedes demostrar que el integrando es integrable Henstock-Kurzweil en la esfera primero tendrás que aportar una definición de integral de Henstock-Kurzweil en variedades diferenciales con los teoremas necesarios para que los cálculos que haces estén justificados, y luego tendrás que demostrar que el integrando (discontinuo) es integrable.
Yo no conozco ninguna exposición de la integral de Henstock-Kurzweil a ese nivel de generalidad, pero si lo conoces tú, esperamos impacientes que nos ilumines con algo serio, por primera vez en este hilo.
Pero te voy a decir por qué me sorprendería mucho que esa función fuera integrable Henstock-Kurzweil en la esfera: porque tiene toda la pinta de ser esencialmente un análogo bidimensional de
\( \displaystyle \int_{-1}^1\frac1x\,dx \)
Y esa función no es integrable, ni Riemann, ni Lebesgue ni Henstock-Kurzweil en \( [-1, 1] \) ni en \( \left(0, 1\right] \).
El cálculo de la integral lo compartí en el mensaje
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123119.msg516019#msg516019
Recordad el esquema que os puse:
esquema de integrales
Hay funciones integrables impropias de Riemann que no son integrables en Lebesgue. El caso que estamos viendo en este hilo es de este tipo.
Porque tú lo digas. Mientras no me hagas referencia a una definición de Henstock-Kurzweil válida para esferas (con los teoremas de cambio de variable necesarios para hacer cálculos) y no me demuestres que esa función es integrable Henstock-Kurzweil (y para eso no vale "calcular" la integral) estás vendiendo crecepelos milagrosos.
3) Sobre la integrabilidad de las componentes de la gravedad E_y e E_z:
Partamos de lo siguiente:
pantallazo integracion punto interior
Esto se cumple siempre que no exista ninguna relación algebraica entre el resultado de las 2 integrales de la suma de arriba.
Si no existe ninguna relación, estaríamos sumando un valor infinito con un número o con otro +infinito o - infinito, con lo cual, no hay forma de saber un resultado final.
Pero qué pasa cuando tenemos que las 2 integrales están relacionadas algebraicamente, pues se puede hacer el cálculo algebraico y saldrá una expresión final que es la que hay que valorar su resultado.
Para el cálculo de las componentes Ez y Ey Carlos nos ha dicho que al realizar la integral sólo en una semiesfera la integral diverge y que esto provoca que la integral en toda la esfera diverge también.
Pero esto es falso, pues existe una relación algebraica entre las 2 integrales de una semiesfera y su opuesta. Eso es precisamente lo que aquí expliqué en mi mensaje,https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123119.msg512983#msg512983
2) Ahora voy a calcular la \( Ez_{z2} \) de la otra semiesfera inferior que te faltaba por hacer a Carlos para ver qué sale:
Partimos de lo obtenido por Carlos \( E_{z1}= \frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx \)
Para ello, la integración de \( \theta \) debe ser entre \( \pi \) y \( 2\pi \) y el resultado es:
\(
\vec E_{z2} = \int_{-1}^1\int_\pi^{2\pi}\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\int_\pi^{2\pi}\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \)
\( \displaystyle \frac{- G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{1}{(1-x)^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{-G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1-x})^3}\,dx =\frac{-G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx
\)
Como ves si sumamos \( Ez= E_{z1} + E_{z2} = \frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx + \frac{-G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx= 0 \)
De esta otra forma, vemos que Ez, también sale 0, pues es exactamente una diferencia entre el mismo infinito, diferencia entre dos expresiones algebraicas iguales.
En definitiva, se obtiene de nuevo que la componente Ez es nula, como debe ser.
Citas un teorema que prueba que la integral de la que hablas NO existe, pero luego dices que eso no vale porque "existe una relación algebraica entre el resultado de las dos integrales" (que no tienen resultado porque no existen en nuestro caso). Bien. Deja de lado esa referencia al teorema que según tú no se aplica y dame una referencia con demostración del "teorema de descomposición de integrales con relación algebraica entre los resultados de las integrales que no existen". Tu "cálculo" tiene el mismo rigor que éste otro:
\( \displaystyle \int_{-1}^1\frac1x\,dx = \int_{-1}^0\frac1x\,dx +\int_0^1\frac1x\,dx = -\int_0^1\frac1t\,dt+\int_0^1\frac1x\,dx = 0, \)
donde hemos hecho el cambio \( t = -x \) en la primera integral. ¡Eso es una animalada! Esa función no es integrable Riemann, ni Lebesgue, ni Henstock-Kurzweil, ni nada de nada. Solo es unicorniorrosaintegrable. Éste es tu nivel de cálculo integral. No tienes ni idea de lo que dices ni mucho menos de lo que haces.
He calculado la misma integral de la esfera completa en una calculadora de integrales y el resultado ha sido igual al mío, la integral se anula. Os lo muestro.
Por lo tanto, Carlos estás utilizando un argumento que no es general en un caso particular en el cuál no se cumple.
Esa integral da 0, en efecto, pero basta con que inviertas las integrales para que no exista, y eso implica que la integral doble no existe. El problema es que —en nuestro contexto— necesitas justificar que la función de dos variables es integrable en \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \) antes de que puedas aplicar el teorema de Fubini para calcularla mediante dos integrales sucesivas. Y resulta que el integrando NO es integrable en \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \). No es integrable Lebesgue ni integrable Riemann con ninguna extensión razonable de la extensión de Riemann en dos variables para funciones no acotadas. Y si crees que es integrable Henstock-Kurzweil, sigo expectante a la espera de tu argumento, pero te recuerdo que el integrando no es continuo. Si dominas la integral de Henstock-Kurzweil, ilústranos, pero si sólo la has nombrado para darte el pegote, no cuela.
Menos mal que no se cumple lo que dice Carlos, pues lo que sí estamos seguros los físicos es que las componentes Ez y Ey se anulan, por la simetría de la esfera.
"Los físicos estamos seguros". Tú tienes de físico lo que yo de astronauta. En efecto, si la integral existiera, Ez, Ey se anularían por simetría, pero es que no existe.
Con estos 2 puntos, dejo claro que las integrales sobre la superficie todas son finitas y como tal, tiene sentido matemático y físico su cálculo.
Con esos 2 puntos has dejado claro que no sabes nada de integración.
3) Siempre será necesario conocer cómo es la gravedad de una esfera hueca con una \( \sigma \), en cada punto del espacio, para poder construir la gravedad que crea una esfera hueca de espesor finito. No es, al contrario.
El campo gravitatorio en puntos interiores y exteriores de una esfera hueca lo tienes calculado en la misma página que tú citaste al principio de este hilo y en la análoga para los puntos interiores:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Mechanics/sphshell2.html#wtlsSi tienes algo que objetar a ambos cálculos, tendrás que decir qué paso no te convence. Y no vale que hagas un cálculo alternativo. Tus cálculos están llenos de barbaridades y es inútil tratar de que las entiendas. Dinos qué paso está mal en cualquiera de los dos cálculos.
Otra cosa es que lo que digas para el caso en que el punto está en la propia esfera hueca. Tú dices que da una cosa y la realidad es que ese campo no tiene significado físico ni matemático. Pero da igual. Si discrepas, dinos en qué influye tu discrepancia a la hora de calcular el campo generado por un cascarón de espesor finito. Ése sí que está definido en todos los puntos, sobre el cascarón, en su interior o en su exterior. Lo tienes calculado en la
respuesta #31 a partir de los cálculos para las esferas huecas, sin que importe el caso del punto en la esfera (está acabado para un punto en el propio cascarón, pero se simplifica en el caso de un punto interior y sale que es nulo). Si opinas lo contrario, dinos qué punto de ese cálculo está invalidado por tus unicornios rosas sobre el campo de una esfera hueca en un punto de la esfera.
No se trata de que des tu cálculo alternativo. En tus cálculos simplemente está todo mal. De lo que se trata es de que digas qué crees tú que está mal en el cálculo correcto. Y no vale una enmienda a la totalidad. ¿Está bien planteada la integral inicial? ¿Si?, ¿no?, ¿por qué? Y si está bien planteada, ¿en qué paso del cálculo hay algo que no consideres aceptable?
Mientras no respondas a eso, todos tus cálculos alternativos no son más que charlatanería. Es muy fácil decir que "lo correcto es esto" y decir un montón de barbaridades juntas. Lo difícil es que aclares qué paso está mal en los cálculos correctos. Tú empezaste diciendo que el cálculo de la gravedad de una esfera hueca en un punto de la propia esfera está mal hecho, y te hemos respondido que nadie hace ese cálculo porque ese campo no existe. Ahora dinos qué importa eso al calcular el campo de un cascarón. Lo tienes hecho en la referencia que te he dado. ¿En qué paso falla algo según tú por culpa de tu obcecación con las esferas huecas?
Y lo que obtenga en esta esfera hueca elemental va a influenciar sobre lo que se obtenga en las esferas de espesor finito.
Lo dijo el que no sabe nada de cálculo integral. Pues no es así.
Como la física oficial parte de algo erróneo, llega a conclusiones erróneas sobre las esferas huecas de espesor finito, como que en su interior la gravedad es cero.
Todas vuestros resultados que partís de esferas huecas de espesor finito son erróneos y por lo tanto, todos los análisis que hagáis son igualmente erróneos.
En mi caso, he llegado al mismo resultado sobre la gravedad en la superficie de la esfera hueca, mediante el uso de que la gravedad en el infinito es cero, mediante el análisis del flujo neto sobre las 2 superficies esféricas que encierra a la esfera hueca y mediante el cálculo de la integración.
Importante, no estamos haciendo límite a infinito estamos con modelos matemáticos que necesitan que posición de las partículas están en el infinito respecto al punto que queremos calcular la gravedad.
Todo esto ya son meras tonterías. En resumen: cualquier lector de este hilo tiene elemento suficientes para comprender que no sabes de lo que hablas. Citas resultados que luego retuerces para decir lo contrario, haces referencia a cosas que te quedan más que grandes, restas infinitos con alegría, crees que son continuas funciones que no lo son, das por integrables funciones que no lo son...
Por cierto, no estaría de más que pusieras un ejemplo concreto:
Toma la esfera \( x^2+ y^2+z^2 = 1 \), supón en ella una distribución de masa de \( 1 \) kg/m\( ^2 \) y dinos cuánto vale el campo gravitatorio generado en los puntos de la forma \( (a, 0, 0) \), para \( a\neq \pm 1 \). Para \( a=\pm 1 \) no existe, y no tengo interés en conocer tu resultado de tu mundo de unicornios. Lo que me interesa es saber cuánto dices que vale en los puntos donde sí que existe. Por ejemplo, si \( |a|<1 \), yo te digo que el campo es nulo. ¿Cuánto dices tú que vale?
