Hola
Me parece que aquí no se han dado argumentos para rebatir el resultado de esta integral:
Considera la función
\( f(x, y) = \cases{\phantom-1/y^2&si $0<x<y<1$,\cr -1/x^2&si $0<y<x<1$,\cr 0& en otro caso.} \)
Vamos a calcular:
\( \displaystyle\int_{[0, 1]\times[0, 1]}f(x, y)\,dxdy \).
Para ello calculamos primero
\( \displaystyle \int_0^1f(x y)\, dx = \int_0^y\frac1{y^2}\,dx+\int_y^1-\frac1{x^2}\,dx = \frac1{y^2[x]_0^t}+\left[\frac1x\right]_y^1 = \frac1y+1-\frac1y=1 \),
de donde
\( \displaystyle\int_{[0, 1]\times[0,1]}f(x, y)\,dx dy = \int_0^1\int_0^1f(x, y)\,dxdy = \int_0^11\,dy = 1 \).
Ahora bien, también podemos calcular
\( \displaystyle \int_0^1f(x, y)\,dy = \int_0^x-\frac1{x^2}\,dy+\int_x^1\frac1{y^2}dy = -\frac1{x^2}[y]_0^x-\left[\frac1y\right]_x^1 = -\frac1x-1+\frac1x = -1 \),
por lo que
\( \displaystyle\int_{[0, 1]\times [0,1]}f(x, y)\, dxdy = \int_0^1\int_0^1f(x, y)\,dydx = \int_0^1-1\,dx = -1 \).
Cualquiera con dos dedos de frente ve esto y concluye que la integral en cuestión no existe (la función \( f \) no es integrable). Una forma directa de probarlo es ver que \( |f| \) tiene integral infinita.
Pero DCM lo toma de otro modo: él concluye que, como los cofurcios sincronizantes del ectoplasma sinticial son colindantes, esa integral tiene que valer \( 1 \), y si alguien le muestra que también podría ser \( -1 \), responde que no, que así no se puede calcular, y la prueba de ello es que así da \( -1 \), cuando los cofurcios colindantes prueban que da \( 1 \), y si alguien le hace ver que la integral en módulo da infinito, su respuesta es que esa integral en módulo está bien calculada, pero que no tiene cofurcios, por lo que no importa para nada.
ni esta otra:
Hola Manooooh, te contesto a continuación, aunque ya estaba contestado en mi mensaje
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123119.msg514535#msg514535 , intento hacerlo mejor:
1) Esta integral Carlos demostró que no cumple el Teorema de Rubini, y por lo tanto no es integrable y no se puede dar un valor de resultado final a esa integral.
En cambio la integral que yo he propuesto en este hilo es de una función continua, definida en un intervalo, sólo que en un extremo del intervalo la función diverge. Debido a que la función es continua, el teorema de Rubini se cumple y no ocurre como el caso de la función que ha propuesto Carlos.
La función a integral que he propuesto es una función integrable impropia de Riemann de 2 ª especie, que es integrable debido a que su integral es finita , no es integrable en Lebesgue debido a que la integral de su módulo es infinito. En definitiva la función es integrable con un único valor de la integral.
Os pongo de nuevo el esquema de los tipos de funciones integrables y su interrelación :
diagrama de tipos de integrales
Por ejemplo, considera esta función:
\( f(t,x) = \cases{\displaystyle\frac{e^{-t/x}}x& si $x>0$,\cr 0&si $x=0$} \)
DCM dirá que, fijado un valor de \( t> 0 \), esta función vale 0 en infinito, y es cierto si lo entendemos como que
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{-t/x}}x=0 \)
Pero de ahí, en su ingenuidad infantil, DCM concluirá que si "sumamos" para todo \( t>0 \), es decir, si calculamos
\( \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t/x}}{x}\,dt \)
esta función también valdrá \( 0 \) en infinito, porque, claro, "si sumamos infinitos ceros, tiene que dar cero". Pero sucede que los niños no vienen de París: Esa función vale \( 1 \) para todo \( t>0 \), por lo que en infinito también vale 1 (si entendemos que su valor en infinito es su límtie). Y eso DCM no lo concibe. Todos los "razonamientos" de DCM están sembrados de meteduras de pata de este estilo, de jugar con infinitos tratando de imitar a las personas mayores, como el niño que conduce su caja de cartón y dice que está participando en una carrera de fórmula 1. De hecho, cuando Richard le hizo ver que esos infinitos eran límites, DCM le contestó que los límites no tenían nada que ver con esto. Si ya partimos de ese nivel de necedad... qué podemos esperar.
Para ti, ¿cuánto valen esas integrales?
Saludos
2) Adjunto un diagrama para que se entienda mejor lo que estoy diciendo, sobre el cálculo de la gravedad que genera una esfera hueca con una \sigma, de radio infinito, en un punto P de la superficie exterior o un punto que está infinitamente cerca de la superficie.
Dibujo esfera hueca de radio infinito.
Cualquier masa fuera del plano infinito que se observa en P, está a una distancia infinita, y no es a un distancia muy grande que tiende a infinito, es en el infinito, no hay que hacer ningún límite. Cada una de estas partículas están en el infinito y por lo tanto la aportación a la gravedad en el punto P es nula.
Por ello, la gravedad en el punto P, será:
\( g=g_{plano-infinito}+\int_{superficie\neq plano-infinito} g(\infty )dS \) y como \( g(\infty )= 0 \)
resulta:
\( g=g_{plano-infinito}= 2\pi G \sigma
\)
Daros cuenta que lo que estamos aquí analizando es un modelo matemático, el cual es muy fácil de calcular la gravedad en su superficie como habéis visto.
Lo importante de este resultado es que la ecuación de la gravedad que hemos calculado para esta esfera, es válida para cualquier esfera de cualquier radio, pues la expresión algebraica es la misma.
Y por lo tanto para cualquier radio de la esfera se cumple \( g=2\pi G \sigma= \frac{GM}{2R^2} \)
Ahora volvemos sobre la función que Carlos ha apuntado, para ello voy a utilizar un ejemplo t=5 y voy a suponer que esta función es la expresión de la gravedad que crea una partícula puntual a una distancia x, para distancia x>0:
\( g(x) = \frac{e{\frac{-5}{x}}}{x} \)
Y supongamos que nos planteamos igualmente el cálculo de la gravedad que genera una esfera hueca de radio infinito, entonces, para los puntos de materia que distan infinito, igual que en el caso 1)
Esta función en el infinito \( g(\infty )= \frac{e^{-5/\infty}}\infty = 0 \).
Si nos planteamos igualmente el cálculo de la gravedad que genera una esfera hueca de radio infinito, entonces, para los puntos que distan infinito su integral:
\( \int_{Superficie\neq plano-infinito}^{}\frac{e{\frac{-5}{\infty }}}{\infty }dS = 0, \) porque cada uno de sus infinitos términos a integrar o a sumar son cero.
La integral que pone Carlos para cualquier valor finito de x, se obtiene:
\( \int_{0}^{\infty }\frac{e^{-t/x}}{x}dt=-e^{\frac{-t}{x}}\left| \right|_0^{\infty }=1
\)
Pero si\( x=\infty \) y t > 0 entonces \( \frac{e^{-t/\infty}}\infty = 0 \). Resolviendo obtenemos:
\( \int_{0}^{\infty }\frac{e^{-t/\infty}}{\infty}dt= \int_{0}^{\infty } 0 dt = 0
\)
Lo importante es entender que cuando estamos analizando la esfera hueca de radio infinito, estamos con R=\infty y no es que R--->\infty
