Me refería concretamente a poner integrales similares a la que DCM plantea como errónea; las que en física aparecen y que en un punto presenta problemas.
Un resultado fundamental sobre gravitación es que la divergencia del campo gravitatorio generado por una distribución de masas con función de densidad \( \rho \) es \( \mbox{div}\, E = -4\pi G\rho \). En particular, en los puntos donde no hay masa (densidad \( \rho = 0 \)) la divergencia es nula, pero DCM niega que esto sea cierto.
Si tuviera dos dedos de frente, lo que haría sería tomar la demostración de este hecho fundamental y encontrar el fallo del razonamiento. Pero no puede hacer eso porque no entendería nada. DCM no sabe nada de integrales (más de lo que pueda saber un alumno de bachillerato, y aun así por los pelos). Si su teoría fuera cierta, la fórmula anterior sería falsa. No es que Newton estaría equivocado, es que lo estaría Gauss y todo matemático o físico que conoczca estos hechos básicos.
Pero no es que haga falta apelar a la autoridad de Gauss o de nadie. Es que ese resultado tiene una prueba estándar que puede entender cualquiera que sepa lo que hay que saber sobre cálculo diferencial e integral de varias variables.
Similarmente, si DCM tuviera razón, sus mismos "argumentos" probarían el resultado análogo para el campo eléctrico de una esfera, y tendríamos que también es falsa la ecuación \( \mbox{div}\, E = \rho/\epsilon_0 \) que relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga \( \rho \). Pero sucede que esta ecuación es una de las ecuaciones de Maxwell. Si DCM tiene razón, las ecuaciones de Maxwell en las que se basa todo lo que sabemos sobre electromagnetismo, estarían mal.
Y la teoría especial de la relatividad se diseñó precisamente para justificar que las ecuaciones de Maxwell son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. Si DCM tuviera razón, todo el trabajo de Einstein sería un despropósito.
Pero insisto en que no hace falta apelar a la autoridad de Newton, Gauss, Maxwell, Einstein, etc. para justificar que DCM está equivocado. Lo que pasa es que estas fórmulas que te digo y que contradicen de lleno la "teoría" de DCM según la cual puede haber divergencia no nula donde no hay masas (o cargas) tienen una demostración estándar nada conflictiva en la que no aparecen para nada esferas huecas ni no huecas, ni nada a lo que DCM pudiera hincarle el diente.
Nota
En realidad las ecuaciones de Maxwell no se "demuestran" sino que postulan la relación exacta que hay que suponer entre el campo eléctrico y el magnético para que las cosas sean como se observa que son, por lo que tendría que matizar mi afirmación anterior, pero no es éste el lugar para ahondar en esto. La ecuación de Maxwell puede probarse en el caso de la electrostática y Maxwell postuló que no deja de ser cierta en electrodinámica, cuando el movimiento de las cargas genera campos magnéticos. Otras ecuaciones de la electrostática sí que tienen que ser modificadas para incluir los campos magnéticos, pero ésta no.
Antes de nada indicar que yo no tiro por tierra todo sobre la divergencia del campo que sabemos, sólo es indicar que hay una excepción a " si no hay masa encerrada en una superficie cerrada la divergencia de campo es cero o el flujo es cero en esta superficie". Y esta excepción es cuando tenemos objetos huecos. En este caso particular estamos hablando de una esfera hueca de espesor infinitesimal.
También quiero indicar que con mi teoría sólo se modifican las ecuaciones de la gravedad en la cercanía, tanto interior como exterior de la esfera no afecta más allá del radio de la esfera hueca. Igualmente a este nivel afectará a nivel de campo eléctrico y resultando que para cargas macizas no afectará en nada, tanto fijas como en movimiento.
Ahora paso a estudiar el flujo del campo gravitatorio que crea una esfera hueca de espesor infinitesimal de radio R y masa M a través de una superficie gaussiana formada por 2 esferas unidas por un cilindro de radio infinitesimal coincidentes con la superficie interior y exterior de la esfera hueca . Y después demostrar que el flujo del campo en ambas superficies son iguales.
Para ello elegimos un elemento de masa dm cualquiera y dividimos la esfera en los infinitos anillos de espesores infinitesimal que pasan por este elemento dm y el centro de la esfera.
Lo que pase en uno de esos anillos es lo que pasará en todos por simetría.
Igualmente lo que se obtenga para este dm, será para todos los infinitos dm que forman la esfera.
A continuación anexo un esquema de las fuerzas que actúan debido a esta dm en la dirección que pasa por el centro de la esfera por simplicidad, siendo el resultado semejante para todas las direcciones que definen el ángulo alfa, y para todo el anillo.
diagrama 1 de fuerzas.
En resumen:
1) Cada dm crea un flujo en el elemento de superficie de cada anillo, idéntico tanto en la superficie interior como exterior. Un flujo negativo ambos.
2) Cada dm crea por tanto un flujo de campo en toda la superficie interior y exterior idéntico y negativo.
3) Por lo tanto, el flujo que crea toda la esfera hueca a través de la superficie interior y exterior de radio R es idéntico y negativo.
4) Por lo tanto el flujo por cada superficie será \( flujo=- 2\pi G M \).
5) Lo anterior conlleva a que la gravedad en la superficie interior de la esfera es \( g=\frac{GM}{2R^2} \).
6) Si ahora utilizamos una superficie gaussiana de radio R centrada en el centro de la esfera, que coge a todo el hueco de la esfera, obtenemos que el
\( flujo = 2\pi GM \), como podemos ver ahora es positivo lo que indica por el teorema de la divergencia existe una divergencia positiva dentro del interior del hueco. Pero en el interior de esta superficie no hay masas.
Con esto está demostrado lo que vengo diciendo: Hay una excepción en la afirmación " sin masa dentro de una superficie cerrada, la divergencia es cero" ya que en el caso de esferas huecas de espesor infinitesimal, esto no se cumple, pues existe una "pseudo fuente" en el centro de la esfera que se crea por la actuación de las masas de la superficie, como si fueran "aspiradores gravitacionales".
Recordar lo que ya os compartí en un mensaje anterior del 20/09/23:
Un ejemplo de campo gravitatorio radial dentro del hueco de la esfera hueca con una masa M, radio R y \sigma:
\( g=g_o\left ( 1- \alpha \frac{\left ( R-r \right )^2}{r^2}\right ) \) \( R\leq r\leq r_o \) donde \( r_o \) >0 / g(ro)=0
g=0 \( r_o< r\leq 0 \) donde \( g_o= \frac{GM}{2R^2} \)
donde \( \alpha \varepsilon \Re \) y \( \alpha \) >0 / \( \alpha =\frac{r_o^2}{\left ( R-r_o \right )^2} \) (es el coeficiente que hace que se anule el campo para \( r_o \))
Si calculamos la divergencia de este campo (en coordenadas esféricas, en un sistema colocado su origen en el centro de la esfera hueca) en una superficie esférica gaussiana de radio \( R-\epsilon \) cuando \( \epsilon \) --> 0.
Si suponemos que\( r_o \) --> 0 (pa\( \)ra hacer coincidir el punto de campo nulo con el origen de la esfera) entonces \( \alpha --> 0 \). Con estas premisas
El resultado es: \( div g= 2\pi GM \) > 0 y esto es la mitad del flujo total gravitatorio total debido a la masa M de la esfera hueca. ¿Os suena esto?.
Con lo cual el puzzle está completo.
Por el contrario, todo lo que dice DCM está lleno de barbaridades que le hemos señalado, pero que parece que ni las ve, como Steve Martin no ve ninguna señal de su difunta esposa.
Para que te hagas una idea de la naturaleza de la metedura de pata fundamental de DCM, te pongo un problema análogo:
Considera la función
\( f(x, y) = \cases{\phantom-1/y^2&si $0<x<y<1$,\cr -1/x^2&si $0<y<x<1$,\cr 0& en otro caso.} \)
Vamos a calcular:
\( \displaystyle\int_{[0, 1]\times[0, 1]}f(x, y)\,dxdy \).
Para ello calculamos primero
\( \displaystyle \int_0^1f(x y)\, dx = \int_0^y\frac1{y^2}\,dx+\int_y^1-\frac1{x^2}\,dx = \frac1{y^2[x]_0^t}+\left[\frac1x\right]_y^1 = \frac1y+1-\frac1y=1 \),
de donde
\( \displaystyle\int_{[0, 1]\times[0,1]}f(x, y)\,dx dy = \int_0^1\int_0^1f(x, y)\,dxdy = \int_0^11\,dy = 1 \).
Ahora bien, también podemos calcular
\( \displaystyle \int_0^1f(x, y)\,dy = \int_0^x-\frac1{x^2}\,dy+\int_x^1\frac1{y^2}dy = -\frac1{x^2}[y]_0^x-\left[\frac1y\right]_x^1 = -\frac1x-1+\frac1x = -1 \),
por lo que
\( \displaystyle\int_{[0, 1]\times [0,1]}f(x, y)\, dxdy = \int_0^1\int_0^1f(x, y)\,dydx = \int_0^1-1\,dx = -1 \).
Cualquiera con dos dedos de frente ve esto y concluye que la integral en cuestión no existe (la función \( f \) no es integrable). Una forma directa de probarlo es ver que \( |f| \) tiene integral infinita.
Pero DCM lo toma de otro modo: él concluye que, como los cofurcios sincronizantes del ectoplasma sinticial son colindantes, esa integral tiene que valer \( 1 \), y si alguien le muestra que también podría ser \( -1 \), responde que no, que así no se puede calcular, y la prueba de ello es que así da \( -1 \), cuando los cofurcios colindantes prueban que da \( 1 \), y si alguien le hace ver que la integral en módulo da infinito, su respuesta es que esa integral en módulo está bien calculada, pero que no tiene cofurcios, por lo que no importa para nada.
Y así, concluye que todos los matemáticos calculan mal desde hace siglos una integral que ningún matemático calcula de ningún modo, porque no existe. Pero DCM no entiende que no exista. Cree que tiene un significado físico y que, por lo tanto, tiene que existir, con lo que demuestra que su visión de la física no la envidiaría un topo. La integral que le ha traumatizado no tiene significado físico, por los motivos que ya le hemos explicado y que no entiende.
En resumen, DCM no entiende que con las funciones que tienden a infinito en ciertos sitios no son aptas para niños, y que sólo pueden manejarlas las personas con cierta madurez, y no digamos ya las cosas infinitesimales. DCM está jugando como un niño con cosas de mayores que no entiende. No entiende que hay ciertas condiciones que tienen que cumplirse para que el cálculo de una integral sea válido, porque si no se cumplen, si aplicas teoremas de cálculo (tipo el teorema de Fubini que he aplicado yo antes) a funciones que no cumplen los requisitos necesarios que marcan los teoremas, puedes "calcular" una misma integral de formas distintas y que te salgan resultados distintos. Y decir que un cálculo es el bueno y los demás no, porque "así no se hace", es no entender nada.
Carlos la función a integral que has dado de ejemplo es bastante diferente a la función que estamos hablando en este hilo.
A continuación doy mi opinión sobre esto: La función f(x,y) que propones tiene discontinuidades y al no ser absolutamente integrable no es integrable en Lebesgue (tampoco es es integrable de ninguna otra forma) y por lo tanto el teorema de Fubini no se cumple, provocando que la integral salga distinto cuando cambiamos el orden de integración de las variables.
Encontré un diagrama que adjunto de los tipos de integrales y su relación entre ellas:
dibujo de tipo de integrales
La función f(x,y) mostrada, tiene cada función \( f_x\left ( y \right ) \) y \( f_y\left ( x \right ) \) tiene 1 discontinuidad en x=y y por lo tanto f(x,y) podemos decir que el conjunto de discontinuidades no es de medida nula. Diríamos que la función f(x,y) es de las malas que es difícil que funcione la integración.
Pero la función que tenemos que integrar en el caso del cálculo de la gravedad en la superficie de la esfera hueca es una función continua en todo el intervalo de integración pero sólo tiene un problema y es que en el límite inferior de integración la función diverge.
En definitiva es una integral Rieman impropia de 2º especie. Las cuales ya hemos dicho cómo se calculan, y el resultado de la integral es finita y su valor es \( g= \frac{GM}{2R^2} \).
Claro está que esta función no es integral de Lebesgue, pues la integral de su módulo no es finita, pero sí se puede calcular su valor como he dicho en el video que envié.
Además con esta forma de hacer la integral con el límite acercándonos, pero sin llegar al límite inferior, todas las integral se le puede aplicar el teorema de Fubini, como ya hizo Masacroso en su mensaje
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123119.msg497934#msg497934 En definitiva en este caso, el que la integral del módulo salga infinita no quiere decir que la integral no exista.
En este caso la integral existe y su valor es \( g= \frac{GM}{2R^2} \). y no veo posible otro valor.
Otro ejemplo de ingenuidad de DCM se da cuando afirma rotundamente que si sumas infinitos ceros, el resultado es cero y no hay vuelta de hoja. Teniendo en cuenta que dice "suma" cuando quiere decir integral, y que además habla de ceros en infinito, eso es una barbaridad.
Por ejemplo, considera esta función:
\( f(t,x) = \cases{\displaystyle\frac{e^{-t/x}}x& si $x>0$,\cr 0&si $x=0$} \)
DCM dirá que, fijado un valor de \( t> 0 \), esta función vale 0 en infinito, y es cierto si lo entendemos como que
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{-t/x}}x=0 \)
Pero de ahí, en su ingenuidad infantil, DCM concluirá que si "sumamos" para todo \( t>0 \), es decir, si calculamos
\( \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t/x}}{x}\,dt \)
esta función también valdrá \( 0 \) en infinito, porque, claro, "si sumamos infinitos ceros, tiene que dar cero". Pero sucede que los niños no vienen de París: Esa función vale \( 1 \) para todo \( t>0 \), por lo que en infinito también vale 1 (si entendemos que su valor en infinito es su límite). Y eso DCM no lo concibe. Todos los "razonamientos" de DCM están sembrados de meteduras de pata de este estilo, de jugar con infinitos tratando de imitar a las personas mayores, como el niño que conduce su caja de cartón y dice que está participando en una carrera de fórmula 1. De hecho, cuando Richard le hizo ver que esos infinitos eran límites, DCM le contestó que los límites no tenían nada que ver con esto. Si ya partimos de ese nivel de necedad... qué podemos esperar.
Carlos , las preguntas que hay que contestar son preguntas teóricas con modelos teóricos y situaciones teóricas y son las siguientes, y no tiene nada que ver con hacer límites ni nada, sólo usar la teoría básica de física se requiere:
1)¿Cuánto vale el campo gravitatorio que crea una partícula puntual de masa en el infinito?
2)¿Cuánto vale el campo gravitatorio que crea un plano infinito de espesor infinitesimal, en sus superficies?
3)Con las anteriores respuestas ¿Cuánto vale el campo gravitatorio que crea una esfera hueca de radio infinito, de espesor infinitesimal en sus superficies?
4) Con las anteriores respuestas ¿Cuánto vale el campo gravitatorio que crea una esfera hueca de radio finito, de espesor infinitesimal en sus superficies?
Estas son las cuestiones teóricas que he pedido resolver teniendo en cuenta que el infinito es donde la energía potencial y el potencial es cero. No hay que realizar ningún límite.
Ya sabéis mis respuestas a todas estas preguntas anteriores.
Un saludo
