[Richard R Richard]

   Por último por favor, coger la página dónde indiqué el cálculo de la gravedad  y supongan desde el principio que el punto de cálculo está en R.  Verán que la integral existe, está acotada y sale lo que yo os estoy diciendo.

Hola, DCM, nadie duda que la integral da lo que tu dices que da, relee el hilo,  todos concluimos  tarde o temprano en ese resultado.


Lo que sí nadie está de acuerdo es con las conclusiones que sacas porque asumes que ese resultado tiene sentido físico.


Cuando todos sabemos que estas analizando una discontinuidad, y te da un valor entremedio de 0 y el valor de la gravedad fuera del cascarón.


Has visto como he atacado el mismo problema físico con otra integral integral y no tengo ese problema?

Ya he debatido sobre el sentido de utilizar la masa concentrada en la superficie, en ese debate se hizo un aporte importante ...¿has probado tender los limites del modo que te dice Carlos Ivorra? ...para cada forma diferente de hacer tender el limite del espesor a cero obtienes un valor de gravedad distinto, para cada tasa de acercamiento  hay otro resultado , luego puedes preguntarte ¿cual es el valor correcto?, pues en realidad ninguno, y eso es lo que intentamos que comprendas, que si bien obtienes un valor numérico, no tiene sentido físico, es un sin sentido  sacar conclusiones para cada valor distinto según como hagas la cuenta.

Lo físico es lo que realmente debe preocupar e interesar ,es que fuera de la esfera hueca \( g=\dfrac{M_hG}{r^2} \) ,dentro cero y en el limbo, es irrelevante el valor que tomes.

Sobre  la esfera maciza fuera tienes \( g=\dfrac{M_mG}{r^2} \) y dentro \( g=g_{sup}\dfrac{r}{R}=\dfrac{GM_m r}{R^3}=\rho_{vol}\pi\dfrac43 G r \) crece linealmente con el radio.

Saludos

[Carlos Ivorra]

En Física se diseñan y utilizan modelos geométricos para simplificar la complejidad de los elementos físicos reales. Se usan densidades homogéneas, radios y superficies perfectas, para como elementos de 1 ,2 o 3 dimensiones, todo esto es para poder obtener resultados matemáticos  que se pueden analizar y extrapolar a otros modelos más complejos. Esto se utiliza en toda la física, en Mecánica de rotación, en electromagnetismo, en campos gravitatorios, etc.   Esto es el día a día de la física y se utiliza desde la época de Newton quien descubrió el cálculo diferencial y el cálculo integral.

  Como ejemplo esto se puede observar y estudiar en el siguiente enlace, donde vienen modelos de masas lineales, masas en forma de circunferencias lineales, masas en superficies, para calcular  el campo de elementos de complejidad superior.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elelin.html

    Por lo tanto, esto no es un problema para que salgan cosas raras en las esferas huecas de espesor infinitesimal.

Totalmente de acuerdo hasta ahí.

      Ahora con un ejemplo  voy a tratar de explicar la potencia de esto que he dicho anteriormente, para el cálculo de la gravedad que crea un casquete esférico  comprendidos entre los radios Rint y Rext.

 a)  Vamos a suponer que r es un punto exterior a la esfera r>Rext, para este caso:

          \( dg=-\frac{G dm}{r^2} \)  es la gravedad que genera una esfera hueca de espesor infinitesimal en el punto r que dista del centro de la esfera.

\( g\left ( r \right )=\int_{Rint}^{Rext}dg=\int_{Rint}^{Rext}-\frac{G dm}{r^2}=-\frac{G}{r^2}\int_{Rint}^{Rext} dm=-\frac{G M}{r^2},, M=M_{total esfera} \)
 
   El cálculo es enormemente rápido y sencillo, no hay que hacer integrales triples y el resultado es el mismo. Aquí queda demostrado la potencia de utilizar este tipo de elementos matemáticos ideales.

Ciertamente es rápido y sencillo. Además, yo añadiría que el cálculo no tiene ningún sentido, ni físico ni matemático, pero, como el resultado final es correcto, no merece la pena discutir tu cálculo, al menos de momento.

b)  Vamos a suponer que r es un punto  donde r= Rext y esto sirva como ejemplo para cualquier punto \( r\geq{Rint} \) y \( r\leq{Rext} \):

    Aquí tenemos que:\( dg=-\frac{G dm}{2R_ext^2} \)  para la esfera elemental r=Rext

                              \( dg=-\frac{G dm}{r^2} \) para  el resto de las esferas elementales  \( Rint\leq{r}< Rext \)

 Como vemos en  la primera esfera, en r=Rext, dg tiene el valor la mitad que el resto de esferas elementales que están comprendidas en Rint y Rext. Por lo tanto:


\( \color{red}g\left ( r \right )=\int_{Rint}^{Rext}dg=-\frac{GM}{R_{ext}^2}+ \frac{G dm_{esferaR_{ext}}}{2R{ext}^2}, \)

donde \( dm_{esferaR_{ext}}=\rho4\pi R_{ext}^2 dR \)

 Sustituyendo:\( g\left ( r \right )=-\frac{GM}{R_{ext}^2}+ \frac{G \rho4\pi R_{ext}^2 dR}{2R{ext}^2}=-\frac{GM}{R_{ext}^2}+ 2\pi G \rho dR \)

 \( \color{blue}\rho dR=\sigma_{\rm esfera Rext} \)

 sustituyendo:

\( g\left ( r \right )=-\frac{GM}{R_{ext}^2}+ 2\pi G \sigma_{esferaRext} \)

  Como saben en matemáticas 2 cosas son iguales si son totalmente iguales y por ello vemos que el resultado no es el oficial pues hay un término adicional con lo cual me ratifico que  los resultados de la integración de esferas de espesores finitos oficiales tienen un error también.

Es difícil discutir esto, porque tus cuentas no tienen ni pies ni cabeza, pero, afortunadamente, el error esencial en el que incurres no depende de la inexactitud de todo lo demás, así que te lo puedo señalar igualmente.

Imagina que quieres calcular una integral sencilla, como la de la función \( g_1(r)= r^2 \) en el intervalo \( [1, 5] \). Es fácil:

\( \displaystyle \int_1^5g_1(r)\,dr = \int_1^5 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}3\right]_1^5 = \frac{125}3-\frac13 = 41.33\ldots \)

Pero entonces vienes y me dices, ¡eh!, que no es ésa la función que hay que integrar. La correcta es:

\( \displaystyle g_2(r) = \cases{r^2&si $r\neq 4$,\cr 8&si $r=4$,} \)

de modo que para \( r=4 \) vale justo la mitad de lo que has considerado tú. Por lo tanto la integral está mal.

Y yo te respondo ¡no! ¡Da igual! También se cumple que

\( \displaystyle \int_1^5g_2(r)\,dr = \int_1^5 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}3\right]_1^5 = \frac{125}3-\frac13 = 41.33\ldots \)

porque un principio fundamental del cálculo integral dice que:

Si modificamos un integrando en un número finito de puntos, la integral no se ve alterada.

Por lo tanto, da igual, a la hora de calcular la integral, que la función \( g(r) \) valga \( 8 \) o \( 16 \) para \( r=4 \), porque el resultado será el mismo.

Lo mismo sucede con tu ejemplo. Que el valor de \( dg \) sea distinto en \( r= R_{\rm ext} \) no altera el valor de una integral en el intervalo \( [R_{\rm int}, R_{\rm ext}] \).

En particular, la igualdad que te he puesto en rojo está mal (entre otras muchas cosas), porque no puedes traducir que un integrando tome un valor distinto en un punto en que la variación en ese punto añada un término nuevo al resultado. Variar el valor de un integrando en un punto no suma nada a una integral, no la modifica.

Aunque todos tus cálculos están llenos de incoherencias, la más relevante en lo que nos ocupa es lo que te he puesto en azul: a la izquierda tienes una expresión "infinitesimal", con un \( dR \), mientras que a la derecha tienes un valor finito. Necesitas hacer una pirueta así para deshacerte del sumando "infinitesimal" que te ha quedado después de haber calculado ya la integral, pero es es una trampa muy gorda, que no se nota mucho porque es un sinsentido en medio de un mar de sinsentidos.

No te puedo concretar más tu error porque eso requiere entrar en los cálculos que haces que, como digo, no tienen sentido alguno. Lo máximo que puedo hacer es hacer bien tus cálculos, es decir, calcular el campo determinado por un cascarón esférico a partir del campo de una esfera sin grosor que das por conocido. Richard R Richard ha hecho el cálculo en un mensaje anterior partiendo de cero, pero si prefieres hacerlo a partir del campo de una esfera sin grosor, también se puede hacer como a ti te gusta, y sale lo mismo, pero para ello hay que ser cuidadoso al combinar la distribución tridimensional de masa del cascarón con las distribuciones bidimensionales de las esferas en que pretendes descomponerlo (cosa que tú no haces). Vamos a ello:

El resultado bidimensional del que quieres partir, enunciado correctamente, es éste:

\( \displaystyle \int_{S_R}\frac{Gdm}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)=-\frac{GM}{r^2}\bar u \),

donde \( S_R \) es la esfera de radio \( R \) con centro en el origen de coordenadas, \( \bar p \) es un punto situado a una distancia \( r>R \) del centro de la esfera y \( \bar u=\bar p/\|\bar p\| \) es el vector radial unitario. Si \( r<R \) la integral da \( 0 \) y si \( r=R \) la integral da lo mismo salvo por que hay que poner un \( 2 \) adicional en el denominador, aunque eso no hace falta para nada.

Lo primero que necesitamos aclarar, para que se entienda qué es esa integral, es que \( dm = \rho_R\,d\bar x \), donde \( \rho_R \) es la densidad superficial de la esfera de radio \( R \), que suponemos constante, y \( d\bar x \) es el elemento de área. Similarmente, la masa \( M \) la podemos expresar como \( M = \rho_R V_R \), donde \( V_R \) es la superficie de la esfera de radio \( R \). Explícitamente:

\( \displaystyle \int_{S_R}\frac{G\rho_Rd\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)=-\frac{G\rho_R}{r^2}4\pi R^2\bar u \),

y, simplificando:

\( \displaystyle \int_{S_R}\frac{d\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)=-\frac{1}{r^2}4\pi R^2\bar u \).

Con esta integral podemos calcular el campo generado por el cascarón \( C \) de centro el origen de coordenadas y radios \( R_1<R_2 \):

\( \displaystyle \int_C\frac{G\,dm}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p) \),

donde ahora \( dm \) es un elemento de masa tridimensional, que podemos expresar como \( dm = \rho\,d\bar x \), donde \( \rho \) es la densidad (tridimensional) del cascarón, que suponemos constante, y ahora \( d\bar x \) es el elemento de volumen. Así nos queda

\( \displaystyle \int_C\frac{G\rho\,d\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p) \).

Ahora usamos una versión del teorema de Fubini para variedades diferenciales por la que la integral sobre un cascarón se puede descomponer así:

\( \displaystyle \int_C\frac{G\rho\,d\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)= G\rho\int_{R_1}^{R_2}\int_{S_R}\frac{d\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)\,dR \).

Aquí \( R \) varía en el intervalo \( [R_1, R_2] \) y, para cada \( R \), la \( \bar x \) varía ahora en la esfera de radio \( R \), de modo que el integrando es una de las integrales de las que hemos hablado antes.  Si el punto \( \bar p \) está a una distancia \( r \) del centro del cascarón y \( R_1\leq r\leq R \), tenemos que el integrando vale \( 0 \) siempre que \( r<R \), por lo que queda:

\( \displaystyle \int_C\frac{G\rho\,d\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)= G\rho\int_{R_1}^r\int_{S_R}\frac{d\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)\,dR \).

Y si usamos el valor de la integral interior que hemos obtenido antes, queda:

\( \displaystyle \int_C\frac{G\rho\,d\bar x}{\|\bar x-\bar p\|^3}(\bar x-\bar p)= -G\rho\int_{R_1}^r\frac{1}{r^2}4\pi R^2\bar u\,dR = -\frac{G\rho 4\pi}{r^2}\int_{R_1}^r R^2\,dR\, \bar u \).

Y éste es el punto donde tú tendrías que decir ¡No! ¡Está mal!, porque cuando has sustituido la integral interior por su valor, lo que haces es correcto si \( R<r \), pero para \( R=r \) te falta un \( 2 \) en el denominador. Y aquí es donde te digo que eso da igual: si queremos calcular la integral en el intervalo \( [R_1,r] \) de la función

\( g(R)=\frac{1}{r^2}4\pi R^2\bar u \),

da igual el valor que asignemos a \( g(r) \), porque el valor de una integral no se altera si modificamos el integrando en un único punto \( R= r \). En particular, no falta ningún "término adicional".

Por simplificar, voy a considerar, concretamente, que el punto \( \bar p \) está en el borde exterior del cascarón, es decir, que \( r= R_2 \), que es el caso que tú considerabas. Entonces, el módulo del campo gravitatorio queda

\( \displaystyle \frac{G\rho 4\pi}{r^2}\int_{R_1}^{R_2} R^2\,dR= \frac{G\rho 4\pi}{r^2}\left[\frac{R^3}3\right]_{R_1}^{R_2}=\frac{G\rho}{r^2}\frac43\pi(R_2^3-R_1^3)= \frac{GM}{r^2} \), que es el resultado que puedes ver en cualquier parte, sin ninguna presunta alteración, en contra de lo que pretendes.

Si haces el cálculo para \( R_1<r<R_2 \) sale la expresión dada por AlbertR en un mensaje anterior:

\( \displaystyle \frac{G\rho 4\pi}{r^2}\int_{R_1}^r R^2\,dR = \frac{G\rho 4\pi}{r^2}\frac{r^3-R_1^3}3 = \frac{G\rho}{r^2}\frac{4\pi}{3}(R_2^3-R_1^3)\frac{r^3-R_1^3}{R_2^3-R_1^3}=\frac{GM}{R_2^3-R_1^3} \frac{r^3-R_1^3}{r^2} \)

y si hacer tender \( R_2 \) y \( R_1 \) a un valor \( r \) común, el resultado que obtienes es distinto según cómo lo hagas. Por ejemplo, si haces \( R_1 = r-a\epsilon \) y \( R_2 = r+b\epsilon \), la intensidad del campo gravitatorio del cascarón en un punto que dista \( r \) del centro, cuando \( \epsilon \) tiende a \( 0 \), se aproxima a

\( \displaystyle\frac{GM}{\color{red}r^2}\frac a{{\color{red} a+}b} \), Corregidas DOS erratas.

que puede ser cualquier cosa, según como elijas \( a, b \). Por eso no tiene sentido físico atribuir una intensidad al campo gravitatorio de una esfera sin grosor en un punto de su superficie, porque en cualquier caso real la esfera tendrá un grosor, por pequeño que sea, y el resultado será muy distinto si el punto de la "superficie" que tomas está en su cara interna (ahí será \( 0 \)) en su cara externa (donde será \( GM/r^2 \)) o bien en un punto intermedio, donde podrá tomar cualquier valor intermedio.

   ¿Qué pasa si hacemos que Rint lo hacemos tender a Rext, es decir, que se hace el espesor menor (pero con la misma masa M de la esfera)?    Lo que ocurre es que  cada circunferencia elemental va ganando en masa, debido a que la masa se está concentrando y esto provoca que el término adicional vaya ganando en importancia. de tal forma que  cuando Rint=Rext lo que pasa es que toda la masa está toda incluida en la esfera  de radio Rext y espesor infinitesimal, con una superficie  \( S=4\pi R_{ext}^2 \) y una  \( \sigma=\frac{M{totalesfera}}{4\pi R_{ext}^2} \)

  Con ello en el límite Rext=Rint

      \( g\left ( r \right )=-\frac{GM}{R_{ext}^2}+ \frac{GM}{2R_{ext}^2}=- \frac{GM}{2R_{ext}^2} \)

   La masa no ha desaparecido, se ha reconcentrado en la superficie de la esfera hueca de espesor infinitesimal y el resultado de la gravedad en su superficie sale lo que ya llevo diciendo durante estos días.

No, nada de eso tiene sentido. No puedes jugar tan alegremente con densidades tridimensionales y densidades superficiales. El "término adicional" directamente no existe y, si bien puedes, efectivamente, considerar cascarones cada vez más finos siempre con la misma masa, el valor del campo gravitatorio no tenderá a un valor fijo, sino que puedes hacer que tienda a cualquier cosa según la proporción con la que se acercan a \( r \) los dos radios.

   Por último por favor, coger la página dónde indiqué el cálculo de la gravedad  y supongan desde el principio que el punto de cálculo está en R.  Verán que la integral existe, está acotada y sale lo que yo os estoy diciendo.

   He realizado esta cálculo en coordenadas cartesianas y ocurre lo mismo  siempre la integral se  calcula  normalmente y el valor es el de la gravedad que genera un plano infinito de espesor infinitesimal. 

La integral es correcta y da lo que tú dices, pero:

1) Ese valor es irrelevante para el cálculo del campo de un cascarón (por las razones que te he explicado), como lo es para cualquier otro cálculo.

y

2) Ese valor no tiene una interpretación física, porque sólo puedes considerar un modelo bidimensional cuando éste aproxima a los modelos tridimensionales de grosor despreciable, pero en este caso no es así, sino que al sustituir la esfera bidimensional por un cascarón, el valor del campo en lo que era un punto de la esfera dependerá sustancialmente de su posición en el cascarón.

[Richard R Richard]

Partiendo de la ecuación de la gravedad producida por un cascarón de espesor finito , la que obtuvo, Albert previamente y Carlos Ivorra en el post anterior  Manteniendo la masa , que se distribuirá en un volumen cada vez mas pequeño hasta ser similar a una masa distribuida en esa superficie.

\( g=\displaystyle \frac{GM}{R_2^3-R_1^3} \frac{r^3-R_1^3}{r^2}  \)

tomemos límites y vayamos disminuyendo el espesor de la siguiente manera


corregido

\( \color{blue}R_{ext}=R_2=r+\beta \epsilon \)

\( \color{blue}R_{int}=R_1=r-\alpha \epsilon \color {\black} \)



haciendo que  \( \epsilon \) tienda a cero llegaremos a espesor nulo justo sobre el radio \( r=R \)

\( \lim\limits_{\epsilon\to 0}g=\displaystyle \lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{GM}{(r+\beta \epsilon)^3-(r-\alpha \epsilon)^3} \frac{r^3-(r-\alpha \epsilon)^3}{r^2}  \)

\( \lim\limits_{\epsilon\to 0}g=\dfrac{GM}{r^2}\displaystyle \lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{r^3-(r-\alpha \epsilon)^3}{(r+\beta \epsilon)^3-(r-\alpha \epsilon)^3}   \)

desarrollamos

\( \lim\limits_{\epsilon\to 0}g=\dfrac{GM}{r^2}\displaystyle \lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{\cancel{r^3-r^3}+3\alpha \epsilon r^2-3\alpha^2\epsilon^2+\alpha^3\epsilon^3}{(\cancel{r^3}+3\beta \epsilon r^2+3\beta^2\epsilon^2+\beta^3\epsilon^3    \cancel{-r^3}+3\alpha \epsilon r^2-3\alpha^2\epsilon^2+\alpha^3\epsilon^3}   \)

\( \lim\limits_{\epsilon\to 0}g=\dfrac{GM}{r^2}\displaystyle \lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{3\alpha \epsilon r^2-3\alpha^2\epsilon^2+\alpha^3\epsilon^3}{3\beta \epsilon r^2+3\beta^2\epsilon^2+\beta^3\epsilon^3   +3\alpha \epsilon r^2-3\alpha^2\epsilon^2+\alpha^3\epsilon^3}   \)

sacamos factor común \( \epsilon \)

\( \lim\limits_{\epsilon\to 0}g=\dfrac{GM}{r^2}\displaystyle \lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{\cancel{\epsilon}}{\cancel{\epsilon}}\frac{3\alpha r^2-3\alpha^2\epsilon+\alpha^3\epsilon^2}{3\beta r^2+3\beta^2\epsilon+\beta^3\epsilon^2   +3\alpha  r^2-3\alpha^2\epsilon+\alpha^3\epsilon^2}   \)

aplicamos el límite

\( g_{(r)}=\dfrac{GM}{r^2}\displaystyle \frac{3\alpha r^2}{3\beta r^2+3\alpha r^2} \)

\( g_{(r)}=\dfrac{GM}{r^2}\dfrac{\alpha}{\beta+\alpha} \)

ahora bien , si te fijas cuando tu calculaste  la integral implícitamente hiciste que \( \alpha=\beta=1 \)

luego  \( K=\dfrac{\alpha}{\beta+\alpha}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2} \) oh!!!! sorpresa!!!! mira de donde viene ese valor

así \( g_{(r,1,1)}=\dfrac{GM}{2r^2}  \)  como habías obtenido

pero en general

\( g_{(r,\alpha,\beta)}=\dfrac{GM}{r^2} \dfrac{\alpha}{\beta+\alpha}=K\dfrac{GM}{r^2} \) y según como escojas \( \alpha \in(0,\infty) \) y \( \beta \in(0,\infty) \) el resultado de

\( K=\dfrac{\alpha}{\beta+\alpha} \in (0,1) \)

Así que cualquiera de esos valores dentro de cada rango tiene la misma validez, es tan bueno como el de  \( \alpha=\beta=1 \) , ese resultado no es mejor que otro ni representa nada en particular, menos físicamente.

Tu prefieres \( \alpha=\beta \) de cualquier valor no necesariamente 1 resultando  \( K=\dfrac12 \) y  yo \( \alpha=\text{cualquier valor o }\infty \wedge \beta=0 \) dando \( K=1 \)  y será cuestión de gustos no de ciencia.

Saludos

[AlbertR]

\( \displaystyle\frac{GM}{2r}\frac a{{\color{red} a+}b} \), Corregida una errata.

Hola @Carlos Ivorra, nota un gazapo tipográfico, como deduce @Richard R Richard en la Respuesta #32, debe ser:

\( \displaystyle\frac{GM}{{\color{red} r^2}}\frac a{{\color{red} a+}b} \), Corregida una errata.

Saludos cordiales.

[Carlos Ivorra]

Hola @Carlos Ivorra, nota un gazapo tipográfico, como deduce @Richard R Richard en la Respuesta #32, debe ser:

\( \displaystyle\frac{GM}{{\color{red} r^2}}\frac a{{\color{red} a+}b} \), Corregida una errata.

Cierto, ¡qué desastre! Trate de copiar, pegar y modificar una fórmula, y en lugar de borrar el coeficiente borre el exponente. Ya lo he corregido, gracias.

[DCM]

Hola a todos de nuevo y  en primer lugar les doy las gracias por todo lo que me han aportado en este hilo.

    Para centrar el tema, se trataba de analizar el  modelo ideal  de  una esfera hueca de espesor infinitesimal de radio R y masa M,  analizar si los resultados oficiales de  la gravedad  eran correctos para todos los puntos exteriores  de la esfera incluidos los de su superficie. Analizando este tema con el propio modelo sin entrar, por el momento,  sistemas más complejos que conllevan espesor  finito por el motivo que veremos al final. Debemos aclarar este sistema simple por sí solo y luego lo que obtengamos debemos de expandirlo a sistemas más complejos.

    Haciendo el cálculo integral de esta esfera tenemos que el resultado matemático es:

    r > R    \( g=\frac{GM}{r^2} \)

   r = R      \( g=\frac{GM}{2R^2} \)

   Por lo tanto ya tenemos que para r=R   una diferencia con lo que oficialmente se sabía, sale la mitad de lo esperado.

     Pero ¿esto tiene realmente  significado físico?.  Pues aquí está el problema que yo creo que sí y Vds creen que no.

           Lo primero y muy importante es  indicar que  para r = R   \( g=\frac{GM}{2R^2}=2\pi G\sigma \)

         \( g=2\pi G\sigma \) es la gravedad que genera un plano infinito de espesor infinitesimal.
     
     El significado físico de esto es que  la gravedad que existe en la superficie exterior de esta esfera es  igual que la que genera un  plano infinito de espesor infinitesimal.

   Pero ¿Este resultado es coherente con todo lo que conocemos con sistemas de espesores infinitesimales?  Para mí es coherente y el resultado  no podía ser otro.

          Para mí existe una conexión entre los planos infinitos   y las esferas huecas, ambos de  espesor infinitesimales.  Si hacemos crecer el radio de la esfera enormemente llegando  a  la situación que el radio de la esfera  fuera la anchura de nuestra sistema solar multiplicado por 1000 y pusiéramos un punto en la superficie exterior  de esa esfera, en estas circunstancias el punto va a observar la  gravedad igual al de un plano infinito y los anillos restantes están tan alejados  del punto que su valor es totalmente insignificante con respecto al valor de la gravedad del  plano infinito (insignificante como la gravedad que afecta  desde Júpiter, a una persona que esté en la superficie de la tierra) y podemos hacer esta esfera tan grande como queramos hasta que estemos seguros de que lo que digo es aceptado por todos. En estas circunstancias diremos que :

    La gravedad en ese punto de esa macroesfera es : \( g=2\pi G\sigma=\frac{GM}{2R^2} \)  donde M es la masa de la esfera y R su radio.  Pero la expresión matemática de la gravedad  es la misma para cualquier esfera por lo que esta expresión debe ser válida para todas las esferas de cualquier radio.   Por lo tanto  la gravedad en un punto en la superficie exterior de la esfera de radio R, será:

             \( g=\frac{GM}{2R^2} \)   es decir la mitad de lo que dice la oficialidad.

        Por lo tanto lo que nos ha salido en el proceso de integración es lo que debería ser.

      Consecuencias:

        1)  Si la gravedad en su superficie exterior es la de arriba,  sabemos  que al ir alejándonos de la superficie , el valor de la gravedad será menor que en la superficie   \( g\left ( r \right )<\frac{GM}{2R^2} \).

        2) Es decir habrá puntos más o menos cercanos a la superficie exterior que su gravedad no puede ser descrita con la expresión oficial\( g\left ( r \right )=\frac{GM}{r^2} \)  , puestos son mayores a la gravedad de la superficie.

           Para estos puntos  \( g\left( r \right )=f\left(r\right)< \frac{GM}{2R^2} \)

        3) ¿Cuántos puntos son los que no se rigen por   la expresión  \( g=\frac{GM}{r^2} \)  ?.  Pues como mínimos todos los puntos r,  que cumpla que   \( g\left ( r \right )=\frac{GM}{r^2}> \frac{GM}{2R^2} \).  Es decir como mínimo  \(  r=\sqrt{2}R \)

        Entonces como mínimo hay un intervalo de  distancias  r  \( \epsilon \left [ R,\sqrt{2}R \right ] \)  donde la gravedad \( g\left ( r \right )\neq \frac{GM}{r^2} \)

        4) Entonces  cualquier integración matemática de esta función de la gravedad  para distancias r tal  \( R\leq r\leq \sqrt{2}R \)   en sistemas más complejos de espesor no se puede hacer  ya que hay una función desconocida en ese intervalo y  por supuesto no va a coincidir en absoluto con las ecuaciones oficiales, pues sabemos que  en este  intervalo de integración la gravedad  \( g\left ( r \right )\neq \frac{GM}{r^2} \) .

          Por lo tanto, todos los resultados oficiales de gravedad de esferas con espesor obtenidos con integración u otro método que no tenga en cuenta  estos resultados que he obtenido, no son correctos.

         Por ello el siguiente paso es calcular esta f(r), pero ya hay que utilizar otro método distinto a la integración y el camino debe ser por el teorema de Gauss, partiendo de lo que hoy he presentado.


      Un saludo y muchas gracias por todo.

[Carlos Ivorra]

Hola a todos de nuevo y  en primer lugar les doy las gracias por todo lo que me han aportado en este hilo.

Es un tanto desconsiderado por tu parte que agradezcas las aportaciones. Lo educado cuando te explican algo sería que, en lugar de agradecimientos, dejaras claro si estás de acuerdo con lo que te hemos demostrado o si tienes algo que objetar y, en tal caso, que indicaras qué cálculos de los que te hemos hecho te parece incorrectos. Nada en tu nuevo mensaje dice nada a este respecto.

    Para centrar el tema, se trataba de analizar el  modelo ideal  de  una esfera hueca de espesor infinitesimal de radio R y masa M,  analizar si los resultados oficiales de  la gravedad  eran correctos para todos los puntos exteriores  de la esfera incluidos los de su superficie. Analizando este tema con el propio modelo sin entrar, por el momento,  sistemas más complejos que conllevan espesor  finito por el motivo que veremos al final. Debemos aclarar este sistema simple por sí solo y luego lo que obtengamos debemos de expandirlo a sistemas más complejos.

    Haciendo el cálculo integral de esta esfera tenemos que el resultado matemático es:

    r > R    \( g=\frac{GM}{r^2} \)

   r = R      \( g=\frac{GM}{2R^2} \)

   Por lo tanto ya tenemos que para r=R   una diferencia con lo que oficialmente se sabía, sale la mitad de lo esperado.

¿Lo que se sabía?, ¿lo esperado? He buscado en internet y todas las páginas que he encontrado hablan del campo gravitatorio en el interior y en el exterior de una esfera hueca, pero no mencionan el caso de los puntos de la propia esfera. La página que citaste en tu primer mensaje no llega a aclarar que considera \( r>R \), pero eso sólo es una omisión. Debería aclararlo, pero eso es todo.

Y la razón por la que no consideran el caso \( r=R \) es porque no tiene sentido físico (cosa que podrían explicar, pero eso es otro asunto).

     Pero ¿esto tiene realmente  significado físico?.  Pues aquí está el problema que yo creo que sí y Vds creen que no.

Eso es inexacto: tú crees que sí y nosotros te hemos demostrado que no. ¿Has entendido los argumentos que te hemos dado? Si es así y crees que hay algo mal en ellos, abstente de agradecerlos desconsideradamente y plantea tus objeciones. Nada de lo que dices en este mensaje es una objeción a nada de lo que te hemos explicado.

           Lo primero y muy importante es  indicar que  para r = R   \( g=\frac{GM}{2R^2}=2\pi G\sigma \)

         \( g=2\pi G\sigma \) es la gravedad que genera un plano infinito de espesor infinitesimal.
     
     El significado físico de esto es que  la gravedad que existe en la superficie exterior de esta esfera es  igual que la que genera un  plano infinito de espesor infinitesimal.

   Pero ¿Este resultado es coherente con todo lo que conocemos con sistemas de espesores infinitesimales?  Para mí es coherente y el resultado  no podía ser otro.

Para ti.

          Para mí existe una conexión entre los planos infinitos   y las esferas huecas, ambos de  espesor infinitesimales.  Si hacemos crecer el radio de la esfera enormemente llegando  a  la situación que el radio de la esfera  fuera la anchura de nuestra sistema solar multiplicado por 1000 y pusiéramos un punto en la superficie exterior  de esa esfera, en estas circunstancias el punto va a observar la  gravedad igual al de un plano infinito y los anillos restantes están tan alejados  del punto que su valor es totalmente insignificante con respecto al valor de la gravedad del  plano infinito (insignificante como la gravedad que afecta  desde Júpiter, a una persona que esté en la superficie de la tierra) y podemos hacer esta esfera tan grande como queramos hasta que estemos seguros de que lo que digo es aceptado por todos.

No, por muy grande que hagas la esfera su campo gravitatorio va a ser esencialmente distinto del de un plano infinito. No puedes despreciar los puntos lejanos. Imagina que estás sobre una superficie y tu vista no alcanza a distinguir si es plana o esférica. Hay una forma muy sencilla de comprobarlo en dos pasos sin necesidad de que compres un telescopio:

Paso 1: da un salto. Si no caes, es que estás en una superficie esférica, concretamente en su cara interior. Si caes:
Paso 2: haz un agujero en el suelo y tírate por él: si no dejas de caer, es que estabas en la cara exterior de una esfera. Si caes a tierra, es que estás en un plano infinito.

Además, la gravedad de un plano infinito no decrece con la distancia, mientras que la de una esfera (por su cara exterior) sí que decae, luego no puedes despreciar los puntos alejados, no son como Júpiter a la hora de describir la gravedad en la Tierra, sino que son esenciales para determinar el comportamiento local del campo gravitatorio. Los puntos alejados (sean del plano o de la esfera) hacen que la gravedad sea o no nula en una parte y que sea constante o que decrezca con el cuadrado de la distancia en la otra parte, luego la gravedad de una esfera se parece a la de un plano como un huevo a una manzana.

En estas circunstancias diremos que :

Dirás que.

    La gravedad en ese punto de esa macroesfera es : \( g=2\pi G\sigma=\frac{GM}{2R^2} \)  donde M es la masa de la esfera y R su radio.

Por el mismo argumento podrías decir que la gravedad en la cara interior de una esfera también tendría que tomar ese valor, ya que, en la medida en que una esfera de radio grande se parece a un plano, el parecido es el mismo por sus dos caras, luego, si tu analogía fuera válida (que no lo es) la gravedad en la cara interna de una esfera hueca no sería nula, pero lo es.

Pero la expresión matemática de la gravedad  es la misma para cualquier esfera por lo que esta expresión debe ser válida para todas las esferas de cualquier radio.   Por lo tanto  la gravedad en un punto en la superficie exterior de la esfera de radio R, será:

             \( g=\frac{GM}{2R^2} \)   es decir la mitad de lo que dice la oficialidad.

        Por lo tanto lo que nos ha salido en el proceso de integración es lo que debería ser.

1) La "oficialidad" no dice nada del caso \( r=R \) porque carece de significado físico, como ya te hemos demostrado y tú has agradecido tan desconsideradamente (los argumentos se aceptan o se rebaten, no se agradecen).

2) Tu argumento vale igual para "demostrar"  cuál "debería ser " el campo gravitatorio en la cara exterior de una esfera como en la interior. Puesto que en la interior falla espectacularmente, tampoco es de fiar en el caso exterior.

      Consecuencias:

        1)  Si la gravedad en su superficie exterior es la de arriba,  sabemos  que al ir alejándonos de la superficie , el valor de la gravedad será menor que en la superficie   \( g\left ( r \right )<\frac{GM}{2R^2} \).

No. Ahí, además de suponer (en contra de lo que te hemos demostrado y tú no has refutado) que no tiene sentido hablar de la gravedad en la superficie de la esfera, supones también que la gravedad descenderá de forma continua, pero sucede que lo que demuestra "la oficialidad" es que el campo gravitatorio de una esfera hueca es discontinuo: pasa de 0 en el interior a \( GM/r^2 \) en el exterior. Esa discontinuidad no tiene ningún significado físico, y desaparece en cuanto dejas de considerar una esfera sin grosor y le admites un grosor, por pequeño que sea. Entonces el campo pasa de forma continua de valer 0 en la cara interior a valer \( GM/r^2 \) en la cara exterior, pasando por tu valor favorito \( GM/2r^2 \) en cierto punto intermedio.

        2) Es decir habrá puntos más o menos cercanos a la superficie exterior que su gravedad no puede ser descrita con la expresión oficial\( g\left ( r \right )=\frac{GM}{r^2} \)  , puestos son mayores a la gravedad de la superficie.

           Para estos puntos  \( g\left( r \right )=f\left(r\right)< \frac{GM}{2R^2} \)

Esto es original. En tu primer mensaje citaste una página que contiene un cálculo más o menos estándar (más o menos chapucero con sus infinitésimos, pero formalizable) en el que calcula el campo gravitatorio de una esfera para \( R>r \). Tú remites a ese mismo cálculo para señalar que si \( r=R \) hay que añadir un \( 2 \) (lo cual es cierto, aunque no le importa a nadie más que a ti, porque no tiene significado físico, como tú has agradecido y no rebatido), y ahora cuestionas el mismo cálculo que has visto en esa página para \( r>R \). ¿Y qué está mal según tú en ese cálculo? ¿También vas a agradecer al autor de esa página que haya puesto el cálculo que cuestionas en lugar de indicar qué paso te parece incorrecto?

        3) ¿Cuántos puntos son los que no se rigen por   la expresión  \( g=\frac{GM}{r^2} \)  ?.  Pues como mínimos todos los puntos r,  que cumpla que   \( g\left ( r \right )=\frac{GM}{r^2}> \frac{GM}{2R^2} \).  Es decir como mínimo  \(  r=\sqrt{2}R \)

        Entonces como mínimo hay un intervalo de  distancias  r  \( \epsilon \left [ R,\sqrt{2}R \right ] \)  donde la gravedad \( g\left ( r \right )\neq \frac{GM}{r^2} \)

Pues si piensas eso explica qué punto del cálculo de la propia página que citas está mal cuando \( r>R \).

Más aún, si tu "argumento" estuviera bien, igual que dices que el campo en los puntos exteriores próximos a la superficie tiene que parecerse al campo que tú asignas a la superficie basándote en una integral que a la vez afirmas no creerte, también podrías "argumentar" que el campo en los puntos interiores cercanos a la superficie tendría que parecerse a ese valor. Pero sucede que el campo en los puntos interiores es nulo ¿o eso tampoco te lo crees? ¿Estás dispuesto a aceptar que el campo interior es nulo y que, por lo tanto, la intensidad del campo es discontinua por la izquierda (como función del radio) en los puntos de la superficie, pero supones ptld (porque tú lo dices) que tiene que ser continuo por la derecha para llegar a tu "conclusión"? ¿Por qué supones que el campo gravitatorio, como función de \( r \) es continuo por la derecha en \( r=R \) y discontinuo por la izquierda y no al reves o, incluso, discontinuo por los dos lados (que es lo que pasa realmente si te empeñas en asignarle un valor cuando \( r=R \))?

        4) Entonces  cualquier integración matemática de esta función de la gravedad  para distancias r tal  \( R\leq r\leq \sqrt{2}R \)   en sistemas más complejos de espesor no se puede hacer  ya que hay una función desconocida en ese intervalo y  por supuesto no va a coincidir en absoluto con las ecuaciones oficiales, pues sabemos que  en este  intervalo de integración la gravedad  \( g\left ( r \right )\neq \frac{GM}{r^2} \) .

Desconocida para ti y "sabes" tú. La función "desconocida" está calculada, sin ir más lejos, en la propia página que citaste en tu primer mensaje. ¿Te has pasado varios mensajes insistiéndonos en que miremos el cálculo que allí se hace para insistir en que si \( r=R \) sale tu \( 2 \) favorito y ahora nos sales con que no te crees ese mismo cálculo cuando \( r>R \)?

¿Te basas en ella para argumentar que el caso \( r=R \) está mal y luego consideras que el caso \( r>R \) también está mal ptld?

          Por lo tanto, todos los resultados oficiales de gravedad de esferas con espesor obtenidos con integración u otro método que no tenga en cuenta  estos resultados que he obtenido, no son correctos.

¿Resultados que has obtenido? Lo único que has hecho ha sido plantear una analogía que hace aguas por todas partes y suponer ptld una continuidad por la derecha de una función que no puede más que ser discontinua. Frente a eso tienes el cálculo que supuestamente has tomado como referencia para tus delirios en los que se justifica debidamente el valor del campo para todo \( r>R \) (incluidos los valores que exceptúas ptld), y también el cálculo que te ha hecho Richard R Richard en el que te ha obtenido la expresión sin pasar por el caso de las esferas huecas y el cálculo que te he hecho yo en el que te he mostrado que, incluso aunque le des tu valor favorito al caso \( r=R \) eso no afecta al cálculo de una esfera con grosor. ¿Podrías dejar de agradecer esos cálculos y rebatirlos si crees que puedes?

         Por ello el siguiente paso es calcular esta f(r), pero ya hay que utilizar otro método distinto a la integración y el camino debe ser por el teorema de Gauss, partiendo de lo que hoy he presentado.

El teorema de Gauss te da los mismos resultados, mucho más fácilmente, por cierto. Si los cálculos que te hemos hecho dan una cosa y usando el teorema de Gauss o cualquier otro medio se obtuviera otra, la conclusión no sería que tú tienes razón. La conclusión sería que la matemática es contradictoria y todos tendríamos razón, porque cualquier cosa sería demostrable.

      Un saludo y muchas gracias por todo.

Las gracias están fuera de lugar. Lo que procedería es que rebatieras los cálculos que cuestionas, empezando por los de la página que tú mismo has citado (para \( r>R \)) y los que te hemos hecho aquí. Si crees que hay algo incorrecto en ellos, indica qué paso no te parece justificado. Pero si vas a "argumentar" usando expresiones incongruentes arrejuntadas a lo bruto, como hiciste en tu respuesta #29, tendremos que ponernos antes de acuerdo en lo que es "argumentar".

[Richard R Richard]

Ya sabía que esto iba a pasar. Son unos años por los foros....

Va por Newton el hombre, ese es mi punto de vista, quizá también a Liebniz.

Como un deja vu, el gráfico de Albert , me sonaba haberlo visto, se me ocurrió hojear otro foro, donde participamos, en un hilo  que no pude contestar a tiempo por estar de vacaciones y sin señal de teléfono, esas si son vacaciones, y bingo... la cosa va a dar para más.

Saludos

Hola, DCM ni te has molestado en rebatir ningún argumento de mi post #32 ya que tu exposición se basa en aplicar límites a la función gravedad sobre la superficie, yo he calculado correctamente ese límite,  te demostré que tu resultado partido en 2 es uno de los infinitos posibles entre 0 y 1,  irónicamente lo agradeces, pero lo ninguneas a la primer expresión. Espero que demuestres matemáticamente que es el único resultado posible justamente por la aplicación de límites que propusiste en tu mensaje #1 pero que no presentaste, sino que hiciste un cálculo directo 1/2. Hasta tanto la pelota en tu arco, y el resto del planeta sin enterarse de conflicto alguno con la gravedad.

Ahora tienes problemas con \( g \) para \( r>R \) bueno, vas por todo el conocimiento científico en un solo hilo. Suerte. Aquí  sigo esperando que te ilumines y nos lo demuestres, no has dicho nada nuevo , salvo que no te lo crees, pero no lo demuestras, y te ahorro el tiempo por si lo intentas, no lo podrás contrastar positivamente, eso si sería interesante.

En otro foro presentaste lo del plano infinito, y otras yerbas , como lo trajiste a cuanto te lo bajo con el mismo cañón usas para matar moscas,

1) Una esfera de radio infinito, la puedes idealizar como dos planos infinitos paralelos separados a una distancia 2R, infinita claro.

2) Basados en que son planos infinitos ya no puedes decir que la gravedad decae con el cuadrado de la distancia,es igual de intensa en la cercanía de la superficie que en el infinito  , es que es una constante, y tiene por supuesto la misma intensidad a ambos lados de la esfera.   Cosa similar se hace en electromagnetismo con las distribuciones de carga eléctrica superficial. Aquí el análogo es densidad de masa superficial.

3) Dado que la gravedad en una magnitud vectorial, tiene siempre la misma dirección y su sentido es siempre apuntando hacia la distribución masa, plano o superficie, y a ambos lados de cada superficie.

4) Las consecuencias,

• Entre medio de los dos planos los vectores gravedad provenientes uno de cada plano, por definición del problema tienen la misma dirección , el mismo módulo pero sentidos opuestos, luego al sumarse (principio de superposición) resultan en el vector nulo, como no puede ser de otra manera.  En el interior de cualquier casquete esférico la gravedad creada por él es nula.
• En la superficie de cada plano te hago caso  y digo que tiene \( 1/2 \) de lo que crees tiene afuera. Que  da igual,que no es el que crees provoca la superficie cercana sino el que viene de la mas lejana, pero como tu lo crees... .Estoy usando tu cañón...
• Pero analizando fuera de los dos planos o en el exterior de la esfera de radio infinito, ambos vectores se suman , dando por resultado la misma  expresión pero sin el famoso \( 1/2 \), ya que \( 1/2+1/2=1 \) o acaso lo tenemos que debatir.   Entonces llevados al límite cuando R ya no es infinito en la gravedad en el exterior el \( 1/2 \) ya ni pinta, ni hace falta, ni puede aparecer por ninguna magia. Aquí tienes la mosca muerta.

5) Para que aparezca el \( 1/2 \) tus argumentos fallan,  yo solo con un puñado de palabras te he rebatido, ni siquiera entrando en cálculo , que ni falta hace y ya aburre, lo que expones impones no es más que una serie de sin sentidos uno tras otro, esto ya se dilató más de la cuenta,  respeta el tiempo que se dedica en explicarte , dedicando el mismo a leer, entender, o rebatir.

Así que por mi parte ,quedo a la espera y reitero, te invito a que reflexiones sobre todos lo errores que te han y he marcado, si estas en desacuerdo rebátelos con el mejor criterio científico que creas puedas aportar, no con suposiciones. Es decir, por favor deja el "para mi" de lado y convéncenos con un "para todos", o simplemente convéncete que estas equivocado, porque eso es lo único que tiene o puede que suceder...

P.D. No te desentiendas de lo que se te expone por la evasiva , no nos vamos a olvidar lo que te hemos escrito y por supuesto hazte cargo de las consecuencias o de las implicancias de lo que si escribes, luchar contra la corriente por gusto, es solo para el salmón.

[DCM]

    Hola de nuevo a todos, deciros que  llevo indicando desde el mensaje de Albert en el que expuso la gravedad de una cascarón esférico de espesor finito que esos cálculos eran erróneos pues la discontinuidad de la gravedad que salía en la integración para r=R era más importante de lo que podía  parecer. Luego, siguiendo la misma tesitura,   en todos sus explicaciones han utilizado el cálculo de integrales de esferas de espesor finito con los resultados oficiales y  ha hecho  límites para llegar a la esfera de espesor infinitesimal, entonces en mi último mensaje he tratado de que entendáis el por qué  vuestras deducciones de este tipo para mí no tienen sentido pues estáis utilizando funciones de gravedad que no son las que debieran ser. Ese era el sentido de mi último mensaje y en él estaba la contestación a todas las integrales que me habían enviado en los mensajes anteriores. Por otra parte,  decirles también que  el mensaje en el que expresé  que faltaba un término adicional diferencial para el cálculo de la gravedad para el punto r=R de una esfera de espesor finito, mi intención era que esa ecuación  doliera los ojos a nivel analítico aunque  sabía que a nivel numérico el valor de este término no suponía ninguna variación en la integración final,  Pero no conseguí nada, volvieron a esconder esta discontinuidad debajo de la alfombra por su valor numérico y no vislumbraron que podía haber algo más importante detrás de esa discontinuidad en la gravedad para r=R.

     Quizás hasta el  último mensaje, no había sido tan explícito sobre lo que pensaba de sus deducciones y debí hacerlo antes. Siento no haber sido más explícito, pero no quiero que os sintáis mal por ello.
    Respondiendo a todas las cuestiones planteada necesito ampliar un poco más en 2 puntos:
    1) Los planos infinitos de espesor infinitesimal.
 Estos planos infinitos  como tal lo imaginamos en nuestra mente pero  no existen en la realidad, no hay planos infinitos como tales de dimensiones infinitas. Pero no es necesario tener dimensiones infinitas para tener estos planos infinitos Esto se entiende muy bien cuando estudias  la gravedad que genera un  disco de espesor infinitesimal en su eje de simetría como he comentado en días anteriores, para  lo cual voy a utilizar la siguiente expresión:
                         \( g \left( z\right)= 2\pi G\sigma \left(1- \dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)
 \)
    - Para el caso de un disco de espesor infinitesimal, el observador puntual ve un plano infinito dependiendo de la relación entre la distancia y el tamaño del radio del disco.  Cuando más cerca está de su superficie más se parece la gravedad a la de un plano infinito. Por ello en el único lugar donde realmente la gravedad tiene  la expresión del plano infinito, y además, para cualquier radio del disco, es en  la superficie del disco, en su centro donde la distancia es cero (z=0). 
   -Si nos alejamos progresivamente de la superficie del disco, esta expresión matemática va indicando que cada vez se parece menos a la expresión de la gravedad del plano infinito.

    En definitiva, todo es relativo, si tenemos un disco de radio 1 Km, y  si estamos a 1 m de su superficie, en este lugar podemos decir que la gravedad es prácticamente la de un plano infinito, pero si el diámetro del disco es de 10m y a la misma distancia de 1m, la gravedad no tiene nada que ver con la gravedad de un plano infinito.      
    Esto que he explicado aquí del disco es lo que he tratado, en mi anterior mensaje ,de explicar para la esfera hueca de espesor infinitesimal.    Es decir, independiente del radio de la esfera, en los puntos de la superficie de la esfera, la gravedad es la de un plano infinito pero al ir alejándonos ya influye la relación distancia-radio de la esfera.  
   Pero debo dar un paso más para que esto quede más claro y es exponiendo a nivel numérico todo esto. Para ello voy a utilizar la expresión de la gravedad de una esfera hueca pero en coordenadas cartesianas. La esfera se integrará entre x= 0 y x=2R, siendo r la distancia a la superficie exterior de la esfera del punto de medida.
\( g\left( r\right)=2\pi G\sigma\int_{0}^{2R}\frac{R(x+r) }{ {\sqrt{r^2+2x(R+r) } }^3 } dx \)

 y vamos analizar la función   \( f\left( x,r\right)=\frac{R(x+r) }{ {\sqrt{r^2+2x(R+r) } }^3} \) ,,   la función f(x,r) representa el valor de la gravedad que aporta el anillo de la esfera que está en la posición x en un punto que dista r de la superficie exterior.

    Esta función f(x,r) es una función decreciente  cuyo máximo está en x=0 con valor  \( f_{max}=\frac{R}{r^2} \) y el mínimo se da en x=2R y su valor  \( f_{min} \propto  \frac{1}{R} \). Con esto vamos analizar varios casos.

  a) Supongamos una esfera de un radio enorme como dijimos   Ejemplo \( R=10^{+13}  \)m (aproximadamente el tamaño de nuestro sistema solar) y un punto situado a una distancia \( r=10^{-6} \) m (muy cerca de la superficie exterior)      En este caso \( f_{max}= 10^{+25}  \)y \( f_min \propto 10^{-13} \), es decir,   la gravedad que genera el  anillo de la superficie cercana al punto es \( 10^{+38} \) veces mayor que la gravedad de los anillos de la superficie que está en x=2R.    
     Esto indica que los anillos de  la superficie más alejada en x=2R nunca puede provocar un plano infinito. Si aún tenéis dudas, hacer la esfera mucho más grande, hasta que los anillos en x=2R  sean menor a la gravedad que genera Júpiter sobre un punto de la superficie de la tierra, pues se puede hacer todo lo grande que se quiera.      
    Con estos datos  numéricos, está claro  que la gravedad en su superficie de una esfera  es la de un  plano infinito de espesor infinitesimal. El otro "plano infinito" que está situado en x=2R, no está actuando como tal, pues como hemos dicho, es muy importante la relación de distancia y tamaño del objeto.

b) Supongamos ahora  la misma esfera anterior pero ahora  la distancia \( r= \sqrt {2}R \). En este caso \( f_{max}=\frac{1}{2R}=5x 10^{-14} \) y \( f_{min} \propto \frac{1}{\sqrt{2}R}=7 x10^{-14} \).   En esta caso vemos que los valores son semejantes  y además vemos como ya el anillo en x=0 ya no está creando el campo infinito, por lo pequeñísimo que es su valor.

  2)  Después de argumentar numérica que el campo de la esfera de espesor infinitesimal  en su superficie es igual a la de un plano infinito de espesor infinitesimal, en su superficie exterior, queda un tema más que habéis comentado que no cuadra, el puzzle no está completo y es que en la superficie interior de la esfera  hueca debería tener el mismo campo infinito.  bien pues vamos a saber si el puzzle lo terminamos o no.      Analicemos la gravedad que se genera en la cara interna de la  esfera hueca de espesor infinitesimal.

     El análisis de la integral para puntos dentro de la esfera es semejante a la del exterior.   Adjunto el enlace por si lo quieren ver:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Mechanics/sphshell2.html#wtls


  integral a resolver:
     \( g\left( r\right)=-\frac{GM}{4Rr^2}\int_{s=R-r}^{s=R+r} 1+ \frac{r^2-R^2}{s^2} ds
 \)
    Fijaros que la integral es semejante  a la integral para puntos en la zona exterior de la esfera.
    Si calculamos la integral para r=R,  obtenemos:                    \( g=\frac{GM}{2R^2} =2\pi G \sigma \)

   Es decir   vuelve a salir  también para puntos de la superficie interior de la esfera  que su gravedad es la de un plano infinito.
    También se puede obtener este resultado si hubiéramos utilizado el teorema de Gauss partiendo de que en la  misma superficie exterior  su gravedad es  \(  g=\frac{GM}{2R^2} \)  que obtuvimos en integración.

     Con esta pieza  el puzzle que estaba incompleto se ha completado.

         Bueno esto sólo corrobora lo que estoy diciendo, es decir la superficie de la esfera se comporta como un plano infinito para los puntos de la propia superficie tanto exterior como interior (que es la parte que faltaba por cuadrar en el puzzle).
         Por lo tanto todas las consecuencias que obtuvimos en el mensaje anterior de la gravedad en la zona exterior, se pueden trasladar para la zona interior de la esfera.
          Por lo tanto, la gravedad de una esfera hueca infinitesimal debería ser, según todo lo explicado antes, de la siguiente forma, pongo los módulos el sentido es siempre hacia la superficie que consideremos, decir antes que esto que he expuesto aquí sólo va a afectar a puntos cercanos a la superficie y las ecuaciones para el resto de distancias se mantienen como las conocíamos, diríamos que esto afecta localmente en la zona cercanas a las superficies de la esfera:

    En Puntos exteriores:

      \( g(R) = 2\pi G\sigma =g_o  \)       En su superficie exterior
    \( g \left ( r \right )=g_o\left ( 1-f\left ( r \right ) \right ),, f\left ( R \right )=0 ,, g\left ( r_o \right )=\frac{GM}{r_o^2},,, R<  r<  r_o \)
    \( g \left ( r \right )= \frac{GM}{r^2},,  r_o\leq r< \infty \)

  En puntos interiores:

   \( g(R) = 2\pi G\sigma =g_o   \)      En su superficie interior
   \( g \left ( r \right )=g_o\left ( 1-h\left ( r \right ) \right ),, h\left ( R \right )=0 ,, g\left ( r_1 \right )=0,,,  R> r\leq r_1
 \)
    \(  g\left ( r \right )=0 ,,, r_1\geq  r\geq  0 \)

    El cálculo de f(r) y g(r) es algo que se debe hacer con el teorema de Gauss pero partiendo de las premisa que en ambas superficies (interior y exterior) la gravedad es la de un plano infinito es decir            \( g=2\pi G\sigma \)

      Espero haber aclarado un poco mis deducciones y  resultados  aunque entiendo que no lo acepten, pero eso es lo que he obtenido al intentar completar el puzzle que se presentó.

        Antes de terminar deseo hablar sobre  un punto que Richard ha comentado sobre un tema de otro foro, en el cual yo plantee una incongruencia que tenía que ver con el tema que nos atañe aquí. En aquel foro, la información que estaba tratando de explicar fue censurada,  el hilo fue cerrado sin tener oportunidad de explicar los temas pertinentes. Ante lo ocurrido, inicié otro hilo respondiendo a estas últimas afirmaciones que habían hecho en el anterior hilo y que no tuve la oportunidad de rebatir en el anterior hilo. Bien pues  a las 2 horas  la publicación desapareció  y fue eliminada, todo lo que expuse estaba  formalizado matemáticamente  pero sin embargo decidieron que la censura era lo más apropiado. Richard no sé si tuviste algo que ver con esto, pero si así lo fue decirte que la ciencia se hace con el contraste de ideas y nunca con la censura.

     Por ello, en cada mensaje doy las gracias de verdad por vuestras respuestas, para mí es muy importante que se pueda hablar sin censura de cualquier tema de la ciencia.

    De verdad muchas gracias por todo y espero que no os molestéis por esta frase, pues lo digo de verdad.
     Un saludo.

[Carlos Ivorra]

    Hola de nuevo a todos, deciros que  llevo indicando desde el mensaje de Albert en el que expuso la gravedad de una cascarón esférico de espesor finito que esos cálculos eran erróneos pues la discontinuidad de la gravedad que salía en la integración para r=R era más importante de lo que podía  parecer.

No. Carece de importancia. Y que tú digas lo contrario no hace que sea verdad. La integral para \( r=R \) determina el valor en un punto de la función que se integra en el intervalo \( [R_{\rm min}, R_{\rm max}] \) y el valor de una función en un punto no altera el valor de una integral, te guste o no, las integrales son como son y no son como tú quieres que sean.

Luego, siguiendo la misma tesitura,   en todos sus explicaciones han utilizado el cálculo de integrales de esferas de espesor finito con los resultados oficiales y  ha hecho  límites para llegar a la esfera de espesor infinitesimal, entonces en mi último mensaje he tratado de que entendáis el por qué  vuestras deducciones de este tipo para mí no tienen sentido pues estáis utilizando funciones de gravedad que no son las que debieran ser.

Si crees que los valores "oficiales" para las esferas de espesor finito no son correctos, tendrás que indicar qué punto de los cálculos consideras que está mal, y hasta ahora no has dicho nada serio al respecto. Lo único que has hecho ha sido poner en duda los cálculos de la propia página que tú mismo aportaste como prueba que que la integral para \( r=R \) da la mitad que para \( r>R \), cosa que es tan cierta como irrelevante. ¿Te crees el cálculo para \( r=R \) y reniegas del cálculo para \( r>R \)? Tendrás que explicar por qué te parece que el valor para \( r=R \) es el que sale y a la vez no te crees el mismo cálculo para \( r>R \). Mientras no aclares eso, estás diciendo vaguedades sin valor.

Ese era el sentido de mi último mensaje y en él estaba la contestación a todas las integrales que me habían enviado en los mensajes anteriores.

No. Ahí no has contestado a nada. Si crees que el cálculo de la página que tú mismo citaste está mal cuando \( r>R \), tendrás que indicar qué paso o qué parte del planteamiento te parece incorrecto. No has dicho nada al respecto. Dices que "no es lo que debería ser" sin más contenido que si dijeras "no es lo que a mí me gusta".

Por otra parte,  decirles también que  el mensaje en el que expresé  que faltaba un término adicional diferencial para el cálculo de la gravedad para el punto r=R de una esfera de espesor finito, mi intención era que esa ecuación  doliera los ojos a nivel analítico aunque  sabía que a nivel numérico el valor de este término no suponía ninguna variación en la integración final,  Pero no conseguí nada, volvieron a esconder esta discontinuidad debajo de la alfombra por su valor numérico y no vislumbraron que podía haber algo más importante detrás de esa discontinuidad en la gravedad para r=R.

Ese cálculo era una mera chapuza sin sentido por tu parte, y te demostré que, si lo haces bien, el valor para \( r=R \) no afecta en nada al cálculo de la gravedad para una esfera de grosor finito. Si crees que algo es incorrecto, di qué paso crees que está mal. Lo de "no es lo que debería ser" no cuela.

     Quizás hasta el  último mensaje, no había sido tan explícito sobre lo que pensaba de sus deducciones y debí hacerlo antes. Siento no haber sido más explícito, pero no quiero que os sintáis mal por ello.

No nos sentimos mal. Simplemente constatamos que no tienes argumentos y no sabes de lo que hablas. Si crees que cualquiera de los cálculos que hemos hecho para la gravedad de una esfera de grosor finito está mal, indica qué paso te parece incorrecto. Ya has dicho que lo que te parece incorrecto es el valor que atribuimos a la gravedad de una esfera sin grosor para \( r>R \), que es el que aparece en la página que tú mismo diste como referencia (y en mil páginas y libros más). En tal caso tendrás que explicar dónde dices que hay un error en dicho cálculo. Mientras barras debajo de la alfombra y te limites a decir vaguedades, tendremos que dar el cálculo por correcto y tenerte por un iluminado.

    Respondiendo a todas las cuestiones planteada necesito ampliar un poco más en 2 puntos:
    1) Los planos infinitos de espesor infinitesimal.
 Estos planos infinitos  como tal lo imaginamos en nuestra mente pero  no existen en la realidad, no hay planos infinitos como tales de dimensiones infinitas. Pero no es necesario tener dimensiones infinitas para tener estos planos infinitos Esto se entiende muy bien cuando estudias  la gravedad que genera un  disco de espesor infinitesimal en su eje de simetría como he comentado en días anteriores, para  lo cual voy a utilizar la siguiente expresión:
                         \( g \left( z\right)= 2\pi G\sigma \left(1- \dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)
 \)
    - Para el caso de un disco de espesor infinitesimal, el observador puntual ve un plano infinito dependiendo de la relación entre la distancia y el tamaño del radio del disco.  Cuando más cerca está de su superficie más se parece la gravedad a la de un plano infinito. Por ello en el único lugar donde realmente la gravedad tiene  la expresión del plano infinito, y además, para cualquier radio del disco, es en  la superficie del disco, en su centro donde la distancia es cero (z=0). 
   -Si nos alejamos progresivamente de la superficie del disco, esta expresión matemática va indicando que cada vez se parece menos a la expresión de la gravedad del plano infinito.

    En definitiva, todo es relativo, si tenemos un disco de radio 1 Km, y  si estamos a 1 m de su superficie, en este lugar podemos decir que la gravedad es prácticamente la de un plano infinito, pero si el diámetro del disco es de 10m y a la misma distancia de 1m, la gravedad no tiene nada que ver con la gravedad de un plano infinito.   

Cierto. Y me sorprende que esos cálculos te parezca que son "lo que deberían ser" cuando son de la misma naturaleza que los cálculos para las esferas sin grosor de los que ahora reniegas.

       Esto que he explicado aquí del disco es lo que he tratado, en mi anterior mensaje ,de explicar para la esfera hueca de espesor infinitesimal.    Es decir, independiente del radio de la esfera, en los puntos de la superficie de la esfera, la gravedad es la de un plano infinito pero al ir alejándonos ya influye la relación distancia-radio de la esfera. 

No, aquí ya empiezan tus meteduras de pata. El campo de una esfera sin grosor no se parece al de un plano infinito porque es nulo por una parte y no lo es por la otra, mientras que el del plano es no nulo por ambas partes.

   Pero debo dar un paso más para que esto quede más claro y es exponiendo a nivel numérico todo esto. Para ello voy a utilizar la expresión de la gravedad de una esfera hueca pero en coordenadas cartesianas. La esfera se integrará entre x= 0 y x=2R, siendo r la distancia a la superficie exterior de la esfera del punto de medida.
\( g\left( r\right)=2\pi G\sigma\int_{0}^{2R}\frac{R(x+r) }{ {\sqrt{r^2+2x(R+r) } }^3 } dx \)

 y vamos analizar la función   \( f\left( x,r\right)=\frac{R(x+r) }{ {\sqrt{r^2+2x(R+r) } }^3} \) ,,   la función f(x,r) representa el valor de la gravedad que aporta el anillo de la esfera que está en la posición x en un punto que dista r de la superficie exterior.

    Esta función f(x,r) es una función decreciente  cuyo máximo está en x=0 con valor  \( f_{max}=\frac{R}{r^2} \) y el mínimo se da en x=2R y su valor  \( f_{min} \propto  \frac{1}{R} \). Con esto vamos analizar varios casos.

  a) Supongamos una esfera de un radio enorme como dijimos   Ejemplo \( R=10^{+13}  \)m (aproximadamente el tamaño de nuestro sistema solar) y un punto situado a una distancia \( r=10^{-6} \) m (muy cerca de la superficie exterior)      En este caso \( f_{max}= 10^{+25}  \)y \( f_min \propto 10^{-13} \), es decir,   la gravedad que genera el  anillo de la superficie cercana al punto es \( 10^{+38} \) veces mayor que la gravedad de los anillos de la superficie que está en x=2R.   
     Esto indica que los anillos de  la superficie más alejada en x=2R nunca puede provocar un plano infinito. Si aún tenéis dudas, hacer la esfera mucho más grande, hasta que los anillos en x=2R  sean menor a la gravedad que genera Júpiter sobre un punto de la superficie de la tierra, pues se puede hacer todo lo grande que se quiera.       
    Con estos datos  numéricos, está claro  que la gravedad en su superficie de una esfera  es la de un  plano infinito de espesor infinitesimal. El otro "plano infinito" que está situado en x=2R, no está actuando como tal, pues como hemos dicho, es muy importante la relación de distancia y tamaño del objeto.

b) Supongamos ahora  la misma esfera anterior pero ahora  la distancia \( r= \sqrt {2}R \). En este caso \( f_{max}=\frac{1}{2R}=5x 10^{-14} \) y \( f_{min} \propto \frac{1}{\sqrt{2}R}=7 x10^{-14} \).   En esta caso vemos que los valores son semejantes  y además vemos como ya el anillo en x=0 ya no está creando el campo infinito, por lo pequeñísimo que es su valor.

  2)  Después de argumentar numérica que el campo de la esfera de espesor infinitesimal  en su superficie es igual a la de un plano infinito de espesor infinitesimal, en su superficie exterior, queda un tema más que habéis comentado que no cuadra, el puzzle no está completo y es que en la superficie interior de la esfera  hueca debería tener el mismo campo infinito.  bien pues vamos a saber si el puzzle lo terminamos o no.      Analicemos la gravedad que se genera en la cara interna de la  esfera hueca de espesor infinitesimal.

     El análisis de la integral para puntos dentro de la esfera es semejante a la del exterior.   Adjunto el enlace por si lo quieren ver:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Mechanics/sphshell2.html#wtls


  integral a resolver:
     \( g\left( r\right)=-\frac{GM}{4Rr^2}\int_{s=R-r}^{s=R+r} 1+ \frac{r^2-R^2}{s^2} ds
 \)
    Fijaros que la integral es semejante  a la integral para puntos en la zona exterior de la esfera.
    Si calculamos la integral para r=R,  obtenemos:                    \( g=\frac{GM}{2R^2} =2\pi G \sigma \)

   Es decir   vuelve a salir  también para puntos de la superficie interior de la esfera  que su gravedad es la de un plano infinito.
    También se puede obtener este resultado si hubiéramos utilizado el teorema de Gauss partiendo de que en la  misma superficie exterior  su gravedad es  \(  g=\frac{GM}{2R^2} \)  que obtuvimos en integración.

     Con esta pieza  el puzzle que estaba incompleto se ha completado.

En efecto, si calculas la integral para \( r=R \) sale \(  g=\frac{GM}{2R^2} \), pero si la calculas para \( r<R \) da \( 0 \). Eso significa que si estás en la superficie interior de una esfera sin grosor y das un salto, no caes, mientras que si estás en cualquiera de las superficies de un plano y das un salto, caes. Por lo tanto, el campo gravitatorio de un plano infinito no se parece en nada al de una esfera, porque es constante por ambos lados (apuntando hacia el plano), mientras que el de una esfera es nulo por una parte y no nulo por la otra, y decrece con la altura.

         Bueno esto sólo corrobora lo que estoy diciendo, es decir la superficie de la esfera se comporta como un plano infinito para los puntos de la propia superficie tanto exterior como interior (que es la parte que faltaba por cuadrar en el puzzle).

Eso sólo corrobora que no entiendes nada.

         Por lo tanto todas las consecuencias que obtuvimos en el mensaje anterior de la gravedad en la zona exterior, se pueden trasladar para la zona interior de la esfera.
          Por lo tanto, la gravedad de una esfera hueca infinitesimal debería ser, según todo lo explicado antes, de la siguiente forma, pongo los módulos el sentido es siempre hacia la superficie que consideremos, decir antes que esto que he expuesto aquí sólo va a afectar a puntos cercanos a la superficie y las ecuaciones para el resto de distancias se mantienen como las conocíamos, diríamos que esto afecta localmente en la zona cercanas a las superficies de la esfera:

    En Puntos exteriores:

      \( g(R) = 2\pi G\sigma =g_o  \)       En su superficie exterior
    \( g \left ( r \right )=g_o\left ( 1-f\left ( r \right ) \right ),, f\left ( R \right )=0 ,, g\left ( r_o \right )=\frac{GM}{r_o^2},,, R<  r<  r_o \)
    \( g \left ( r \right )= \frac{GM}{r^2},,  r_o\leq r< \infty \)

  En puntos interiores:

   \( g(R) = 2\pi G\sigma =g_o   \)      En su superficie interior
   \( g \left ( r \right )=g_o\left ( 1-h\left ( r \right ) \right ),, h\left ( R \right )=0 ,, g\left ( r_1 \right )=0,,,  R> r\leq r_1
 \)
    \(  g\left ( r \right )=0 ,,, r_1\geq  r\geq  0 \)

Con eso contradices los cálculos de la propia página que citas. El campo es nulo para todo \( r<R \) y no sólo a partir de un \( r\leq r_1<R \), como parece que quieres decir con esos galimatías sin sentido.

Si crees que el campo en el interior de la esfera no es nulo para todo \( r<R \) explica qué está mal en el cálculo de la propia página que citas como referencia. Si no encuentras ningún error de cálculo o de planteamiento, lo que dices no tiene sustancia.

    El cálculo de f(r) y g(r) es algo que se debe hacer con el teorema de Gauss pero partiendo de las premisa que en ambas superficies (interior y exterior) la gravedad es la de un plano infinito es decir            \( g=2\pi G\sigma \)

El teorema de Gauss da los mismos resultados, a saber, que el campo es nulo en todos los puntos interiores de la esfera y que es el que dice "la oficialidad" que dices tú, en el exterior. No hay funciones misteriosas f(r) y g(r).

      Espero haber aclarado un poco mis deducciones y  resultados  aunque entiendo que no lo acepten, pero eso es lo que he obtenido al intentar completar el puzzle que se presentó.

Has aclarado perfectamente que no tienes ni idea de lo que hablas. Citas unos cálculos correctos y a continuación dices que son falsos y que hay unas funciones misteriosas f(r) y g(r). Si consideras que los cálculos que citas (para \( r>R \) y para \( r<R \)) están mal, explica qué paso o qué punto del planteamiento te parece incorrecto. Decir que están mal porque "no son lo que debería salir" o porque un hecho irrelevante "podría esconder algo relevante" es no decir nada.

     Por ello, en cada mensaje doy las gracias de verdad por vuestras respuestas, para mí es muy importante que se pueda hablar sin censura de cualquier tema de la ciencia.

¿Y entonces por qué no hablas de verdad sobre temas de ciencia? Aún no has indicado qué consideras que está mal en los cálculos que tú mismo citas para la gravedad de una esfera sin grosor cuando \( r\neq R \) en los que no aparecen tus funciones misteriosas f(r) y g(r). Mientras no encuentres fallos en los cálculos explícitos detallados y sólo hables de "lo que debería ser" y de analogías insostenibles, no estás hablando de ciencia. No hay diferencia entre lo que dices y el terraplanismo o la astrología.

    De verdad muchas gracias por todo y espero que no os molestéis por esta frase, pues lo digo de verdad.

Si no nos molestamos. Sólo te digo que es una grosería por tu parte (y un total desprecio al método científico) agradecer en lugar de responder. No es "científico" que digas que un cálculo detallado está mal y no especifiques qué consideras que falla en él. Supongo que será porque en realidad no entiendes nada de los cálculos, ni de integrales en general, pero barrer eso debajo de la alfombra no serio.