Yo entré en este hilo en la respuesta #22, para matizar la respuesta previa de Richard, y sólo leí por encima las intervenciones anteriores que no venían directamente al caso, y me acabo de dar cuenta de que hay algunas muy relevantes que nadie ha comentado (salvo DCM, para decir tonterías de las suyas, pero me refiero a nadie que sepa de lo que habla). Se trata de esto:
DCM no está mal calculada, es que para \( r=R \) la integral es impropia. Se puede ver esto al observar que si \( r=R \) entonces
\( \displaystyle{
\int_{R\mathbb{S}^2}\|d\mathbf{F}\|=K\int_{0}^{\pi}\frac{\operatorname{sen}\theta }{1-\cos \theta }\,d \theta =+\infty
} \)
para una constante \( K \) positiva que no nos interesa. Por tanto la integral cuando \( r=R \) debe tomarse como el límite cuando \( r\to R \) de la integral \( \int_{R\mathbb{S}^2}d \mathbf{F} \), que debería dar el resultado esperado de \( -GmM/R^2 \).
Corrección.
La integral \( \int_{R\mathbb{S}^2}d\mathbf{F} \) para \( r=R \) no existe como tal, por eso decía que podía, en todo caso, asumirse como impropia. El tema aquí es que no puedes plantear ninguna integral iterada derivada de la original, con ningún tipo de coordenadas, cuando el integrando no es absolutamente integrable en la integral original, que es lo que ocurre en este caso.
Pero si tomas \( r=R \) y defines \( U_\epsilon :=\{p\in R\mathbb{S}^2: \|p-q\|\leqslant \epsilon \} \) para \( \epsilon >0 \) y \( E_\epsilon :=R \mathbb{S}^2\setminus U_\epsilon \) entonces el integrando vuelve a ser absolutamente integrable en \( E_{\epsilon } \) y tienes que
\( \displaystyle{
\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{E_\epsilon }d\mathbf{F}=-\frac{GmM}{2R^2}\boldsymbol{\hat z}
} \)
que es el resultado que obtienes chuscamente al sustituir directamente \( r \) por \( R \) en la integral del enlace que dejas.
Lo repito por intentar ser más claro. La integral que define la fuerza gravitacional sobre un punto de la esfera, es decir \( \int_{R \mathbb{S}^2}d\mathbf{F} \) para \( r=R \), no existe, no es que sea la mitad, el triple o un cuarto de otro valor... si no que no existe, no se le puede adjudicar un valor. Esto es consecuencia de la definición de la integral, ya sea la integral de Riemann generalizada a funciones vectoriales, o la integral de Bochner.
Hola a todos
En primer lugar decir que cuando calculamos la gravedad en cualquier punto de la superficie de la esfera hueca, la integral que tenemos que resolver es una integral impropia, pues aunque la función a integral es continua en el intervalo de integración, pero en uno de los límites la función a integral diverge.
El cálculo de las integrales impropias de este tipo está totalmente claro cómo hacerlas y el resultado tiene 2 opciones: o diverge o tiene un valor finito.
Les adjunto un enlace donde se explica muy bien y sencillo este tipo de integrales impropias y cómo calcularlas.
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En efecto, la integral que debería definir la intensidad del campo gravitatorio en un punto de una esfera hueca es impropia y es divergente, así que matemáticamente no existe y físicamente mucho menos, como bien dijo Masacroso, aunque no le hicimos ningún caso.
En realidad había llegado por mí mismo a esta conclusión y luego me he dado cuenta de que lo que iba a decir ya lo había dicho Masacroso, pero voy a poner mis cuentas por si le interesan a alguien.
Por definición, la intensidad del campo gravitatorio de una esfera hueca \( S \) de densidad (superficial) \( \rho \) en un punto \( \vec P \) es
\( \displaystyle \vec E = \int_S\frac{ G\rho}{\|\vec x-\vec P\|^3}(\vec x-\vec P)\,d\sigma \).
Como bien predico en el desierto Masacroso, si \( \vec P \) está en \( S \) y \( \rho \) es constante, esa integral es impropia y divergente. No tiene ningún valor asignado desde un punto de vista matemático.
Para verlo parametrizamos la esfera como superficie de revolución del arco \( (Rx, R\sqrt{1-x^2}) \), es decir, mediante la carta:
\( \vec X(x, \theta) = (Rx, R\sqrt{1-x^2}\cos \theta, R\sqrt{1-x^2}\sen \theta),\qquad (x, \theta)\in [-1, 1]\times [0, 2\pi] \)
(o con intervalos abiertos si uno es tiquismiquis).
Entonces, el elemento de superficie es \( d\sigma = R^2dx\,d\theta \) y, considerando el punto \( \vec P = (R, 0, 0) \), calculando rutinariamente obtenemos que
\( \|\vec X-\vec P\|^2 = 2R^2(1-x) \).
Lo que dice Masacroso en el primer mensaje que he citado es que la integral del módulo del integrando es infinita. En efecto:
\( \displaystyle \int_S\frac{G\rho}{\|\vec x-\vec P\|^3}\|\vec x-\vec P\|d\sigma = \int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{G\rho R^2}{2R^2(1-x)}d\theta\,dx =G\pi \rho\int_0^1\frac{dx}{1-x} \),
y esta integral es divergente, luego el integrando no es integrable en la esfera.
Ahora voy a tratar de poner un poco de orden y verdad en todo lo que ha dicho Carlos en su último mensaje.
Lo primero que quiero que quede muy claro es que en nuestro caso se cumple lo siguiente:
\( \int_{R\mathbb{S}^2}\|d\mathbf{F}\|\neq \|\int_{R\mathbb{S}^2}dF \|=\|F_{total} \|
\) Es decir el módulo de la fuerza gravitatoria resultante, en cualquier punto ,P, exterior o incluso en su superficie, de la esfera hueca no es igual a la suma de todos los módulos de las infinitas fuerzas diferenciales que crean las infinitas partículas que forman la esfera en ese punto P.
Por lo tanto la integral \( \int_{R\mathbb{S}^2}\|d\mathbf{F}\| \) es un cálculo matemático como otro cualquiera, pero no tiene ninguna consecuencia sobre el valor de la fuerza resultante en ese punto, pues son 2 cosas completamente distintas. Carlos lo sabe esto perfectamente.
Masacroso también y la evidencia de ello es que sólo tardó sólo 6 horas en modificar su primer mensaje calculando la integral impropia que existía y obteniendo el mismo valor que me salía a mí \( E=\frac{GM}{2R^2} \) Para ver esto anterior más claro pongo un esquema:
DIBUJO DE COMPOSICION DE FUERZAS:
Tenemos 2 masas puntuales iguales,dm, de la esfera hueca dispuesta simétricamente y queremos calcular la fuerza de la gravedad en el punto P de estas 2 masas puntuales.
En general un punto P tenemos 2 fuerzas cada una de ellas con 3 componentes, F1= (Fx,Fy,Fz) y F2= (Fx,-Fy,-Fz)
entonces el vector \( F_{total} \)=(2 Fx,0,0) y su módulo es \( \|F_{total}\| \)=2 Fx. ya que las componentes del eje Y y del eje Z se anulan entre sí.
Pero si calculamos\( \|F1\|+\|F2\|= 2 \|F1 \|=2\sqrt{F^2x+F^2y+F^2z} \) vemos claramente que se cumple
\( \|F1\|+\|F2\| > \|F_{total}\| \)
Si esto lo hacemos para los infinitos pares de partículas que forman una esfera hueca, no es extraño que \( \int_{R\mathbb{S}^2}\|d\mathbf{F}\| \) salga infinito, pero esto no quiere decir nada sobre el módulo del vector \( F_{total} \).
Por lo tanto lo que ocurre en una esfera hueca, es que para cada punto de la esfera tiene otro en la otra semiesfera que refuerza la componente x, pero anula las otras 2 componentes (y,z).
Esto es lo que la física nos dice y es lo que desde el punto de vista matemático se debe obtener. Pero ahora Carlos intenta demostrar que esto no es así y hace el cálculo con trampa.
En realidad yo había hecho otra cosa, y es calcular la intensidad del campo gravitatorio en la semiesfera superior \( S^+ \), lo que supone considerar \( (x, \theta)\in [-1, 1]\times [0, \pi] \). Si nos fijamos concretamente en su componente \( z \), resulta ser:
\( \displaystyle \vec E_z = \int_{-1}^1\int_0^\pi\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\int_0^\pi\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \)
\( \displaystyle \frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{1}{(1-x)^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1-x})^3}\,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx \)
Nuevamente, la integral es impropia en \( x=1 \), y una primitiva me la ha dado Mathematica:
\( \displaystyle \vec E_z =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\sqrt{8} \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right)=+\infty \)
porque el argumento de la tangente hiperbólica tiende a \( +\infty \) en \( 1 \) por la izquierda.
Esto significa que el campo gravitatorio en un punto del borde de una semiesfera es infinito, exactamente igual que el campo gravitatorio de una masa puntual es infinito donde está la masa puntual. Si uno integra sobre toda la esfera y dice que \( \vec E_z = 0 \) está cancelando dos infinitos opuestos, y eso es una barbaridad. No tiene sentido matemático porque la esfera se puede poner como unión numerable de superficies de modo que las intensidades \( (\vec E_z)_n \) tiendan a cualquier valor prefijado (cancelando infinitos adecuadamente), por lo que no hay un valor objetivo para la integral
Ahora voy a armonizar lo que dice la física y las matemáticas, en contra de lo que Carlos has explicado:
1)
Para ello voy a calcular la componente Ez pero correctamente y demostrar que Ez=0.
Para ello parto de las mismas integrales, pero en vez de calcular el Ez para una semiesfera hueca lo voy a calcular para toda la esfera, eso se hace cambiando el límite de la integral de 0, \( \pi \) a los límites 0, 2 \( \pi \).
ahora cambia todo pues ahora tenemos \( \int_0^{2\pi}\sen\theta\,d\theta\ = 0 \) entonces resulta que
\( \displaystyle \vec E_z = \int_{-1}^1\int_0^{2\pi}\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\int_0^{2\pi}\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \)
\( \displaystyle \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{0}{(1-x)^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1-x})^3} 0 \,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} 0 \,dx \)
\( \displaystyle \vec E_z =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} 0 \,dx = 0
\)
2) Ahora voy a calcular la \( Ez_{z2} \) de la otra semiesfera inferior que te faltaba por hacer a Carlos para ver qué sale:
Partimos de lo obtenido por Carlos \( E_{z1}= \frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx \)
Para ello, la integración de \( \theta \) debe ser entre \( \pi \) y \( 2\pi \) y el resultado es:
\(
\vec E_{z2} = \int_{-1}^1\int_\pi^{2\pi}\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\int_\pi^{2\pi}\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \)
\( \displaystyle \frac{- G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{1}{(1-x)^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{-G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1-x})^3}\,dx =\frac{-G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx
\)
Como ves si sumamos \( Ez= E_{z1} + E_{z2} = \frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx + \frac{-G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx= 0 \)
De esta otra forma, vemos que Ez, también sale 0, pues es exactamente una diferencia entre el mismo infinito, diferencia entre dos expresiones algebraicas iguales.
En definitiva, se obtiene de nuevo que la componente Ez es nula, como debe ser.El cálculo análogo proporciona \( \vec E_y = 0 \) (como tenía que ser, por simetría), pero esto es engañoso, porque la integral correspondiente también es impropia y divergente, pues si integramos sobre un cuarto de esfera volvemos a obtener un valor infinito.
3) En el caso de Ey se calcula de la misma forma y se obtiene el mismo resultado. Ey=0. Aquí la diferencia en el cálculo es que tenemos que integrar el coseno en vez del seno.
Pero como tenemos que \( \int_{0}^{2\pi}cos(x)dx=0 \)
\( \displaystyle \vec E_y = \int_{-1}^1\int_0^{2\pi}\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\cos\theta\,d\theta\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\int_0^{2\pi}\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\cos\theta\,d\theta\,dx =
\)
\( \displaystyle \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{0}{(1-x)^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1-x})^3} 0 \,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} 0 \,dx
\)
\( \displaystyle \vec E_y =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} 0 \,dx = 0 \)
y por lo tanto se obtiene que la componente Ey=0.4)
¿Por qué Carlos ha escogido para calcular la componente Ey, integrar sólo un cuarto de esfera?. Está claro que es para que los límites de integración sea entre 0 y \( \frac{\pi}{2} \) para que la \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos(x)dx \neq 0 \) y así decir que diverge.
Pero si se hubiera escogido los límites de integración entre 0 y \( \pi \) (cálculo para una semiesfera) o entre 0 y \( 2 \pi \) (cálculo de la esfera completa) entonces ocurre que
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos(x)dx = \int_{0}^{2\pi}cos(x)dx=0 \) y esto provoca que en el cálculo Ey=0 (el cálculo es el mismo del punto 3 anterior) y no infinito como él dice.
En resumen Carlos ha estado haciendo trampa, eligiendo los límites de integración para hacer aparentar una cosa que no es cierta.
Los cálculos hay que hacerlo siempre sobre toda la esfera completa que es lo que queremos calcular y no hay más.
La única componente convergente es \( \vec E_x = -G\pi \rho \), y si hacemos \( \rho = M/(2\pi R^2) \) (donde \( M \) es la masa de la semiesfera), resulta
\( \displaystyle \vec E_x = -\frac{G M}{2R^2} \),
que es el valor que le ha sorbido los sesos a DCM —como dice Cervantes sobre don Quijote y los libros de caballerías— (en una esfera completa sería el doble, pero es que \( 2M \) sería la masa de la esfera, y queda la misma expresión, con el fatídico \( 2 \) abajo que tan trascendental le parece a DCM, pese a que no significa nada).
Insisto en que esto es sólo una observación que me ha parecido interesante por destacar por una parte lo que había dicho Masacroso y a lo que nadie —sensato— le había respondido nada, y en parte porque el hecho de que la integral es impropia y divergente es relevante para entender lo que pasa con la integral dichosa desde un punto de vista matemático.
Dicho más claramente: esto NO es nada parecido a un intento de convencer a DCM de nada ni me interesa lo que pueda decir, pero para ahorrarme otro mensaje:
Respuesta a lo que vaya a responder DCM:
1) No has entendido nada de lo que he dicho.
2) Toda tu respuesta no son más que fantasías locas de las tuyas, sin fundamento alguno y no merece la pena refutarte nada, porque hasta que no te pongas a estudiar en serio cálculo diferencial e integral (y límites, y todas esas cosas que tú dices que aquí no hacen falta para nada), no vas a entender nada de lo que te diga, y nadie puede hacerte estudiar lo que tú crees que no necesitas estudiar.
5)
En definitiva sólo queda distinta de cero la componente \( Ex \) de la gravedad y su resultado es como todos sabemos \( Ex= \frac{GM}{2R^2} \). En resumen , en nuestro caso, realizando el cálculo como se debe, tenemos que de las 3 componentes de la gravedad, 2 de ellas se anulan, \( Ez \), \( Ey \), pero hay otra componente ,\( Ex \) ,que vale \( Ex= \frac{GM}{2R^2} \), como ya había dicho desde el principio.
Daros cuenta que yo sólo he partido de 2 cosas para obtener mi teoría sobre la gravedad de las esferas huecas de espesor infinitesimal:
- El cálculo de la integral impropia de forma correcta, según he comentado en el video de arriba. En lo cual, creo que todos estamos de acuerdo que esta es la forma correcta de hacerlo.
- El campo gravitatorio que genera una partícula puntual de masa en el infinito es cero. Lo cuál es básico en la física como he explicado en mis anteriores mensajes.
El problema es que los resultados obtenidos les provoca una ruptura total con todo lo que conocen, pero eso es lo que se obtiene y nada más.
.
Yo pasé por esto hace un tiempo y me costó aceptarlo hasta que vi que el puzzle encajaba perfectamente , mientras lo que decía la física oficialmente era un saco de incongruencias. Carlos me he enterado de todo lo que has explicado, espero que tú te pares a leer lo que he escrito y darte cuenta que has cometido un error en tu exposición. Masacroso se dió cuenta en la suya y en menos de 6 horas nos compartió sus cálculos de nuevo.
Un saludo.
