Y seguimos esperando que alguien demuestre que el campo gravitatorio de una esfera hueca de masa M, radio R, en su superficie exterior es:
\( g=\frac{GM}{R^2} \)
Al final de esta exposición te contexto a eso (esperando que esta vez te deje satisfecho la respuesta).
En el dibujo se tiene una esfera hueca, en azul marino, de radio R (en rojo) y tiene un espesor “e”.
Al lado, en azul más claro, añil, hay una esfera del mismo radio R pero maciza y con la misma masa que la azul marino; lo que supone una densidad menor.
Debajo, en marrón, se tiene una esfera maciza, de radio “e”, tal que también tiene la misma masa que la esfera azul marino; lo que supone una densidad mayor.
Por mi expresión de G (de la que te hablé en otras respuestas) llegamos a
\( g=\dfrac{4\pi R\rho G}{3} \).
Esta fórmula la podemos usar sin miedo para las dos esferas macizas y veremos que su gravedad no es igual; debido a que su masa es la misma, pero su radio no.
Es decir \( R\rho_{1}\neq e\rho_{2} \) pues tenemos \( R\cdot\dfrac{3M}{4\pi R^{3}}\neq e\cdot\dfrac{3M}{4\pi e^{3}} \).
Para que “g” fuera la misma, evidentemente, tendría que cambiar algo: por ejemplo, que las densidades fueran distintas debido a la materia con que estuvieran hechas las esferas.
Pero si consideramos esto, como vemos, no nos basta con usar la fórmula de la densidad \( \dfrac{3M}{4\pi R^{3}} \); pues el cambio en la densidad es debido también a las partículas o “esferitas” que componen las esferas; sus partículas están más juntas o más separadas, existe un “interespacio” más grande o más pequeño dentro de esas esferas.
En la esfera hueca se presentará el mismo dilema, si el material de la esfera hueca, hecha de una capa muy fina (o infinitesimal, como tú dices) es el mismo que el de una esfera central muy pequeña y con la misma masa, la gravedad no puede ser la misma debido a que la masa es la misma pero el radio es distinto.
Por eso, cuando se dice que la gravedad de la esfera hueca es “como si estuviera toda su masa en el centro”, no se está diciendo que sea la misma que la gravedad de la “esfera pequeñita”, sino que “funciona” con la misma fórmula que la maciza, \( \dfrac{MG}{R^{2}} \); es un “como si fuera”, no un “es”.
¿Cuál sería realmente la gravedad de la esfera hueca?
La fórmula sé cuál es, la que sale al operar la integral, pero el valor... no lo sé, no sé si hay planetas o astros huecos; y tampoco sé si, en caso de haberlos, alguien ha medido su gravedad. ¿Sería equivalente a la gravedad de la esfera añil, sería por el contrario la gravedad de la esfera marrón o ninguna de ellas?
Apartir de \( g=\dfrac{4\pi R\rho G}{3} \), lo que vemos es que si la densidad es muy baja, entonces, para que “g” tenga un valor normal (no cero o prácticamente nulo) el radio tiene que ser enorme, infinito; salvo que fantaseémos con un material irrealmente superdenso (de los que hablan los físicos muy teóricos o en películas de ciencia ficción) pero no me interesa eso, porque suponiendo que exista tal engendro, lo primero que habría que hacer sería decir “cómo” puede existir, con qué condiciones respecto del tiempo y el espacio; si no, no hacemos nada.
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Mi sensación es que en física no está dicha la última palabra en cuanto a la materia, debido a que no se puede estar seguro de si es constante o no en el tiempo; (yo ya te expuse mi teoría o creencia).
Recientemente, por desgracia, hemos visto cómo el batiscafo Titán ha implotado al llegar a una profundidad de unos cuatro km. Ya bajó antes y no pasó nada; también bajo el batiscafo Trieste (mucha más profundidad, 11 km) y tampoco implotó.
Spoiler
Creo que sería la palabra correcta y, de hecho, en mis tiempos la oí (aunque veo que no viene en el diccioario) pues se dice que una bomba “explota”, ella sola, o, en otro caso, se suele decir que es “explosionada” cuando explota debido a que un artificiero o alguien la hace explotar a propósito.
Cuando los buceadores suben muy deprisa a la superficie ocurre lo contrario: en la profundidad, el aire esta comprimido en sus pulmones, ocupa poco espacio, si suben deprisa a la superficie, ese aire se expande más rápido que si suben despacio y pueden morir (explicado muy básicamente).
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Al hilo de lo anterior, pensemos ahora en dos batiscafos exactamente iguales que bajan a la fosa de las Marianas.
¿Qué ocurriría si uno baja más deprisa que otro?
En principio, los dos batiscafos tendrían una columna de 11 km de agua encima independientemente de la velocidad de inmersión. Por tanto, si el aplastamiento fuera debido sólo a eso, los dos podrían acabar aplastados si no fueran lo bastante resistentes. Pero no sé si realmente pasaría eso ni tampoco si se ha comprobado. Mi intuición, al hilo de lo de los buceadores, es que si un batiscafo baja muy despacio no tiene por qué implotar pese a que a priori no resista lo téoricamente necesario.
Si eso fuera de ese modo, la implosión no sería debida a la gravedad tal como la intuimos, no sería por el peso del agua o no sólo.
Si la masa del Universo se expandiera a una cierta velocidad (
para una persona en reposo o que va a una velocidad normal, no a la de la luz ni nada así) eso podría justificar lo que digo (suponiendo que ocurriera, suponiendo que se hiciera el experimento con dos batiscafos iguales bajando uno más deprisa que otro y pasara lo que he mencionado).
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Analizado esto, contestando a la pregunta de la cita te digo que no es lo mismo calcular una gravedad que hallar una formula para esa cierta gravedad. Una fórmula matemática puede ser correcta y no dar un valor numérico o, ni siquiera, describir lo que ocurre. Pareciera que para ti la matemática es exactamente lo mismo que la física; ése es el motivo de esta larguísima discusión, que piensas que con solo matemática se puede dar respuesta a cualquier cuestión física.
La discusión o charla podría ser interesante si te olvidaras de la integral, que no tiene nada que ver con lo que pueda pasar en el mundo físico; o a lo mejor sí (habría que encontrar un planeta hueco e “infinitesimal para comprobarlo) pero no podemos saberlo con seguridad.
Así lo veo yo por todo lo que argumentado; pero ya sé que va a dar igual y que vas a seguir erre que erre con la integral.
Entonces, sí, la respuesta a la cita es afirmativa, no podemos saber con seguridad cuál sería la gravedad de esa “cosa”; podemos deducir una fórmula, simplemente, y es ésta \( \dfrac{MG}{r^{2}} \), no ésta \( \dfrac{MG}{R^{2}} \); ésta sería siempre la de una esfera maciza de radio R (porque ya has visto el dilema insalvable que hay con los radios, la masa constante y la densidad; considerando un mismo material)
Saludos.
