[feriva]

Hola, DCM. Aquí tienes un vídeo donde se realiza el cálculo de esa integral paso a paso por un profesor muy divertido que además explica muy bien.
Míralo y a ver en qué momento de las operaciones decides hacer r=R; pon el minuto del vídeo aquí y la cuenta tal como esté según el momento del proceso.
Porque si insistes en qué esa integral está mal calculada, tienes que decir dónde exactamente crees tú que está mal, en qué paso y por qué.

Saludos.

[DaniM]

En definitiva deciros que yo era un Físico que he convivido toda mi vida con lo dicho por la oficialidad con este tema de la gravedad de las esferas huecas y no huecas. Que de forma accidental  me encontré con algo que me hizo plantearme todo desde la base y de esta forma poder componer perfectamente el puzzle que con la oficialidad no había forma.

Es una manera romántica de verte a ti mismo y es respetable que te ilusione la idea de pensar que eres el Galileo del siglo XXI, que eres un visionario incomprendido y que un día el mundo aceptará tu verdad, pero como todo en la vida, la realidad no suele ser tan novelera.

Yo lo que creo es que tienes una disonancia cognitiva del copón y que tienes una autoestima tan frágil que te aterra la idea de que puedas estar equivocado y que todo tu mundo se venga abajo. Te pasa lo mismo que a los terraplanistas: a ellos en el fondo les da igual la ciencia de fondo, pues ellos por lo que verdaderamente luchan es por su propia identidad como personas, ya que han hecho de sus creencias disparatadas parte de su propia identidad, y da igual que les des mil y un argumentos que apoyen la Tierra esférica, porque aunque te los lleves a una nave espacial y ya en el espacio les empotres la cara contra la ventana para que vean la Tierra con sus propios ojos, siempre van a encontrar un argumento para negar la evidencia. ¡Si es que hasta hablas igual que ellos ("la oficialidad", "la ciencia oficial", etc.)! Y quien habla de terraplanistas habla de antivacunas, de testigos de Jehová, etc.

En este caso, llevas trece páginas de post defendiendo una cosa, has hecho una inversión de tiempo, de energía y de ego muy grande como para rendirte ahora y aceptar que estabas completamente equivocado desde el principio y que tú, como físico que presumes ser, cometes errores que no cometería un estudiante competente de primero de carrera. Como no quieres caer en esa inseguridad de "si me he equivocado en esto, ¿en qué muchas otras cosas más podría haber estado equivocado o seguir equivocándome en el futuro?", no te la vas a jugar dándole la razón a Richard y sentir que te has fallado a ti mismo, o peor aún, a tu hijo, sobre todo cuando no has parado de repetir lo de "llevamos 300 años haciendo mal una integral" ad nauseam. Yo no pienso que una persona se falle a sí misma o a los demás por el hecho de equivocarse, pero sí por ser intelectualmente deshonesta y no molestarse ni a plantearse la posibilidad de que tal vez pueda estar equivocada.

Mi apuesta es que este post llegará a las páginas que tenga que llegar y que al final Richard, Feriva y compañía abandonarán el hilo por puro hastío y que tú seguirás en tus trece, reafirmándote y citándote a ti mismo una y otra vez (porque lo de citar los argumentos de los demás para rebartirlos, como que no) y autoconcibiéndote como el único ser humano que ha tenido la valentía de contradecir a Newton. Si ese es el techo al que quieres llegar, vale, pero pienso sinceramente que si esa tenacidad obstinada que has mostrado en este hilo la invirtieras en aprender honestamente de lo que te dicen por aquí, no sé hasta dónde llegarías como físico, pero como mínimo escribirías mensajes más interesantes de leer.

[DCM]

Hola de nuevo a todos,\sig

  Richard, Hay una cosa que no entiendo que no entiendes:

  1)  ¿Cómo aceptas que una esfera hueca de espesor cero puede tener una masa M, y sin embargo una esfera hueca de espesor infinitesimal no?
  Son 2 modelos matemáticos que se hacen para obtener una expresión de la gravedad para luego poder utilizarlo para sistemas más complejos.
   Y  ambos modelos tienen  una masa genérica M.
   Y como tienen una masa genérica M, implica que sólo pueden tener, ambas, una densidad \( \sigma \).
    Si aceptas que la esfera hueca de espesor cero puede tener una masa M genérica,  tienes que aceptar que la esfera hueca de espesor infinitesimal tiene una masa M genérica, cuando se trata de obtener la expresión general de  la gravedad de este modelo.  Si no tienes la expresión general de estos modelos simples, no podrás realizar ninguna integral luego, pues primero hay que conocer estas expresiones y luego sustituir su masa por la que corresponda según el sistema que estudie más complejo.

 2)  Después de lo dicho en el punto anterior, dónde pone en la página que el espesor es cero?.
      No lo pone sólo dice que tiene una densidad \( \sigma \). 
    Entonces  en principio puede estar hablando de ambos modelos: 
     -  la esfera hueca de espesor cero y la de espesor infinitesimal.
    Y el resultado matemático es válido para los 2 modelos, pero recalco aquí se está refiriendo a las cáscaras con que forma una esfera de espesor finito y eso lo único que puede ser son las esfera hueca de espesor infinitesimal.
   En un artículo de una universidad Americana que está en Internet, revisado por decenas de físicos importantes antes de publicarla, no cabe decir que la frase es desafortunada. No,  la página  está diciendo lo que es realmente y tú no quieres verlo. 
       Ahora te pregunto, ¿ Según, tú  Richard, cómo se calcularía la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal?.  No hay  otra forma más que con la que aparece en la página.

3) Feriva,  hay una diferencia muy importante entre ambas situaciones:

   a) En  el cálculo de la función de la gravedad para r>R de la página,  es la propia función g(r) la que no tiene sentido poner r=R. 
   b) Pero en el cálculo que yo realizo para el caso de r=R, en este caso es un elemento diferencia de la integral el que tiene a infinito, y cuando haces la integral resulta que la función final  de la gravedad g(R) es un valor finito con lo cual no hay ningún problema.

    Además habrá  visto que en el cálculo de la integral para r=R realizado por mí, en ningún momento se llega a  la singularidad pues es una integral con la variable \( \epsilon  \) que tiene a cero. Este cálculo es totalmente correcto y el que en todo los libros y profesores de matemáticas enseñan en universidades e institutos.

   Y no hay problema de meter los dedos en el enchufe, pues así es la forma que hay que hacerlo en matemática.
     Por último nadie me ha demostrado aún cómo se demuestra que  la gravedad en r=R  para estas esferas huecas de espesor infinitesimal vale
 \(  g=\frac{GM}{R^2} \).

   Si intentáis hacerlo entenderéis mejor lo que os intento explicar.

   Un saludo.   

[Richard R Richard]

Hola de nuevo a todos,\sig

  Richard, Hay una cosa que no entiendo que no entiendes:

  1)  ¿Cómo aceptas que una esfera hueca de espesor cero puede tener una masa M, y sin embargo una esfera hueca de espesor infinitesimal no?

Acepto ue una esfera hueca de espesor cero puede tener una masa M porque es un modelo matemático que se ajusta a las predicciones, si bien no es cierto que exista una superficie que pueda tener masa.
Puedes suponer que ese modelo reemplaza a la integral para espesor determinado (finito de finitud ) de cascaron , integrando el diferencial de gravedad creado por sucesivas capas de espesor infinitesimal, cuya masa sea equivalente a la del cascaron de espesor cero supuesto. 

cada pequeña capa de espesor dr aporta masa dM  para cubrir un espesor e y una masa M, el resultado no depende del espesor y si de la masa M, por eso los resultados coinciden y es útil para los alumnos aprender que la gravedad depende solo de la distancia al centro si hay simetría esférica no importa cual sea, esfera, cascaron de espesor finito, o capa superficial de masa M y densidad superficial sigma, etc.

Se entiende? ese es el meollo cuando reduces el espesor de un cascaron real, la masa se hace mas pequeña , pero en el modelo de la página, directamente no puedes reducir el espesor ya que es cero, y le das un valor a la masa artificial, que resulta de la multiplicación de una densidad ideal superficial y el área de la superficie donde esta distribuida. Resulta entonces que la gravedad depende solo del valor de la masa concentrada en el centro geométrico si importar ni la densidad superficial ni el radio de la superficie, solo de la distancia al centro. 

 

    Si aceptas que la esfera hueca de espesor cero puede tener una masa M genérica,  tienes que aceptar que la esfera hueca de espesor infinitesimal tiene una masa M genérica,

  Te acepto que tiene masa mayor que cero pero es un valor diferencial que esta en proporción directa con el diferencial de espesor dr e inversamente proporcional al area de la superficie (externa, interna o media, ya que deberían ser infinitamente menores en relación al radio)


 

cuando se trata de obtener la expresión general de  la gravedad de este modelo.

Si! y todos llegan a \( GM/r^2  \)

Si aplicas el principio de superposición , puedes calcular en base a unos el valor de cualquier otro  mientras siga habiendo simetría esférica.

tu critica infundada , por usar la integral como NO deber ser, y a lo sumo modificada por un diferencial entre infinitos, que no aportan a la solución numérica \( GM/r^2  \)

 2)  Después de lo dicho en el punto anterior, dónde pone en la página que el espesor es cero?.

en ningun lado,solo hay que interpretar bien que si \sigma es una distribución superficial , la masa esta distribuida en una superficie, y todas las superficies tiene espesor cero, ergo ni siquiera hace falta ponerlo escrito.


Pero te pregunto por tercera vez y seguro la volverás a evadir donde su usa el espesor infinitesimal en la página?
 

      No lo pone sólo dice que tiene una densidad \( \sigma \).
    Entonces  en principio puede estar hablando de ambos modelos:
     -  la esfera hueca de espesor cero y la de espesor infinitesimal.

NO, no hay ningún cascaron de espesor infinitesimal que tenga densidad de masa \( \sigma \), si tein espesor distinto de cero tiene que tener densidad volumétrica,  10 veces ya lo dije  y te nigas a procesarlo que es un error de concepto que no mata a nadie , pero si lo entiendes tienes el problema resuelto.

    Y el resultado matemático es válido para los 2 modelos, pero recalco aquí se está refiriendo a las cáscaras con que forma una esfera de espesor finito

De acuerdo, la crítica que te acepte previamente va en ese sentido, yo tampoco nunca dije eso, dije espesor "cero" que es distinto de espesor "finito" que es arbitrario, digamos, 1 milímetro por poner un ejemplo.  cuando quieres sumar capas de espesor cero sigues teniendo espesor cero si o no?, para tener espesor finito distinto de cero debes sumar infinitos "infinitesimales de espesor" mediante la integración entre el espesor exterior y el interno.

   En un artículo de una universidad Americana que está en Internet, revisado por decenas de físicos importantes antes de publicarla, no cabe decir que la frase es desafortunada. No,  la página  está diciendo lo que es realmente y tú no quieres verlo.

Tu ves una integral sobre el espesor que no es tal, la página dirá lo que quiere decir (esa frase no es cierta, la integral si), pero la interpretación es la que te digo y no lo que tu dices.  Quieres mas bibliografía al respecto o solo te has fijado en esa página, has buscado en  Shaum, Tipler, Feymann etc  que  dicen? todos  están equivocados?, No! todos interpretan lo que te digo, y si les pudieses preguntar, te drían la integral esta bien, la frase es desafortunada o falsa, punto.
     

 Ahora te pregunto, ¿ Según, tú  Richard, cómo se calcularía la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal?.  No hay  otra forma más que con la que aparece en la página.

Para contestarte esto , lo debo hacerlo bien y detallado, si me equivoco vamos a estar otros 100 mensajes mas , así que me lo pienso y te contesto, pero noes el único método, eso es claro.

El resultado es único y te lo adelanto \( dg=\dfrac{GdM}{r^2} \)  esto es similar a  un casquete de espesor finito solo que  el límite de integración  es apenas in diferencial, luego solo hay que poner la masa en función del espesor e integrar entre los espesores externo e interno, par llegar a un resultado proporcional a la masa .


Saludos

[feriva]

   Si intentáis hacerlo entenderéis mejor lo que os intento explicar.

   Un saludo.   

Lo hemos hecho prácticamente todos los que hemos pasado por aquí y todos hemos llegado a la conclusión de que en r=R la expresión puede ser cualquier cosa, puede valer cualquier cosa. No es justo que digas que no lo hemos intentado, con la cantidad de vueltas que le hemos dado al asunto y la atención que hemos prestado a lo que planteas (hasta me miré la integral paso por paso, que ya no me acuerdo de muchas cosas y encima no me apetecía nada).

Por muchas afirmaciones que has hecho, parece como si te dieras cuenta realmente de lo que pasa en r=R, porque resultan contradictorias con tu afirmación principal. No sé… Si esto fuera un experimento social o una broma, ya iría siendo hora de decir “miren a la cámara y sonrían”; en otro caso, lee el hilo, medítalo unos meses, porque a veces uno se encabezona y no termina de salir de un error tonto, a mí también me han pasado (y me seguirá pasado)

Saludos.

[Richard R Richard]

       Ahora te pregunto, ¿ Según, tú  Richard, cómo se calcularía la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal?.  No hay  otra forma más que con la que aparece en la página.

Recuerdas que ya te lo postee en mi mensaje  numero 21 , si no lo recuerdas aqui va de nuevo, luego haré una variante

Bueno aqui va el resultado de integrar correctamente.

Cálculo de la masa de una esfera/ casquete esférico de densidad constante \( \rho \) en coordenadas esféricas

Spoiler

\( \displaystyle M=\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta d\phi d\theta dR \)

\( \displaystyle M=\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi} \rho R^2\sin\theta \phi\vert_{0}^{2\pi}  d\theta dR \)

\( \displaystyle M=2\pi\rho\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}  R^2\sin\theta  d\theta dR \)

\( \displaystyle M=2\pi \rho\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}} R^2(-\cos\theta) \vert_{0}^{\pi}  dR \)

\( \displaystyle M=2\pi\rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}} R^2(-(-1)-(-(1))   dR \)

\( \displaystyle M=4\pi \rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}} R^2 dR \)

\( \displaystyle M=4\pi \rho  \dfrac{R^3}3\vert_{R_{int}}^{R_{ext}} \)

\( \displaystyle M=\dfrac{4}3\pi \rho(R_{ext}^3-R_{int}^3) \)


Resultado lógico, si el radio interior tiende a cero tenemos la masa de una esfera maciza.

[cerrar]

Ahora evaluando la fuerza de gravedad entre dos elementos con masa.  si el centro de masas de la masa de prueba \( m \) se halla en la posición r y el modulo de la distancia entre el CM de \( m \) y cualquier diferencial de masa de la esfera lo llamamos \( s \)

\( \vec dF=\dfrac{Gm \,dM\, \vec s}{s^3} \)

se observa que si \( s=0 \) el diferencial de fuerza aportada es infinito, y el cálculo no es de interés físico,  ni matemático me atrevo.

algunas relaciones de la figura en la citada página

\( s\sin\alpha=R\sin\theta \)

\( s^2=(r-R\cos\theta)^2+R^2\sin^2\theta \) del que surge el teorema del coseno y salen las relaciones

\( \sin\theta d\theta=\dfrac{s\, ds}{Rr} \)

y \( \cos\alpha =\dfrac{r^2+s^2-R^2}{2rs} \)

luego el diferencial de fuerza en direccion radial queda

\(  dF_r=\dfrac{Gm dM\cos\alpha}{s^2} \)

la integral a resolver queda

Spoiler

\( \displaystyle Fr=\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta \left[\dfrac{Gm \cos\alpha}{s^2}\right]   d\phi d\theta dR \)

resolviendo y simplificando para claridad

\( \displaystyle Fr=2\pi Gm\rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi} R^2 \left[\dfrac{r^2+s^2-R^2}{2rs s^2}\right] \dfrac{s}{Rr} ds dR \)

\( \displaystyle Fr=\cancel{2}\pi Gm\rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{R-r}^{R+r} R^\cancel{2} \left[\dfrac{r^2+s^2-R^2}{\cancel{2} r \cancel{s} s^2}\right] \dfrac{\cancel {s}}{\cancel {R} r} ds dR \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{R-r}^{R+r} R \left[\dfrac{r^2+s^2-R^2}{s^2}\right ] ds dR \)

la integral de la variable \( s \) mientras \( s\neq 0 \) cuando \( R_{ext}>r \)  vale \( 4R \) que es lo único que interesa para que los diferenciales no arrastran ningún error.



luego

\( \displaystyle Fr=\dfrac{\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}R 4R dR \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}R^2 dR \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{3r^2} (R_{ext}^3-R_{int}^3) \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{MGm}{r^2} \)

siendo M la masa de la esfera o casquete esférico,  de nuevo si sucede que \( R_{ext}=R_{int} \)
la masa es nula y la  fuerza y aceleración de la gravedad es nula como debe ser.

[cerrar]

Para que no le queda la duda a nadie que a los objetos con masa se les puede medir la aceleración gravitatoria que generan.

Y que la masa de una superficie de espesor cero es nula.

Saludos

Si aún  deseas conservar el modelo matemático y decir que una superficie de espesor cero puede tener masa, porque el modelo tiene simetría esférica y aporta el mismo resultado, entonces la integral es valida.


Veamos lo que me pides ahora es evaluar esa misma integral pero suponiendo que el espesor ya no es cero , sino una pequeña y fina capa de espesor infinitesimal.

lo único que cambia en el planteo que expuse es que el radio interior y el exterior difieren en solo el espesor de la capa

\( R_{int}=R_{ext}-e \)  donde e es el espesor de la capa , y si ese espesor es diferencial o infinitesimal entonces \( R_{int}=R_{ext}-de \)

reemplazando para el calculo de la masa del cascaron

\( \displaystyle dM=\int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta d\phi d\theta dR \)

para no reiterar todo llegamos al punto critico que es...

\( \displaystyle dM=4\pi \rho \int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}} R^2 dR \)

\( \displaystyle dM=4\pi \rho  \dfrac{R^3}3\vert_{R_{ext}-de}^{R_{ext}} \)

\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(R_{ext}^3-(R_{ext}-de)^3) \)

desarrollando el cubo perfecto  del último sumando

\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(R_{ext}^3-(R_{ext}^3-3deR_{ext}^2+3de^2R_{ext}-de^3)) \)

si eliminamos los términos de mayor orden del diferencial por ser despreciables y acomodando los signos

\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(\cancel {R_{ext}^3}-\cancel {R_{ext}^3}+3deR_{ext}^2) \)


\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(3 de R_{ext}^2) \)

o escrito de otro modo

\( \displaystyle dM=4\pi \rho R_{ext}^2 de \)  cqd 1

Te suena que la masa del casquete infinitesimal sea ese diferencial? pues no lo invente ahí está la demostración.

si se continua la línea de desarrollo planteada en el post 21

tenemos

\(  dF_r=\dfrac{Gm dM\cos\alpha}{s^2} \)

la integral a resolver queda

\( \displaystyle dFr= m \ dg =\int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta \left[\dfrac{Gm \cos\alpha}{s^2}\right]   d\phi d\theta dR \)

lo que nos lleva a

\( \displaystyle dFr=\dfrac{\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}R 4R dR \)

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}R^2 dR \)

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{3r^2} (R_{ext}^3-{(R_{ext}-de})^3) \)

si de nuevo desarrollo el cubo perfecto queda

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{3r^2} de 3R_{ext}^2 \)

simplificando   

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{r^2} R_{ext}^2 de  \)

si reemplazas lo hallado en la ecuación ec1

\( \displaystyle dFr=m\dfrac{dM G}{r^2} \)

luego \( dg=\dfrac{dM G}{r^2} \) cqd 2

para hallar la gravedad de un cascarón de espesor finito no infinitesimal, tienes que recordar que dM no es lineal con el espesor ,
pero la sumatoria de infinitas capas de distinta masa dM  aportaran la masa M en total, siendo \( r^2 \) una constante en esa integración, pues  \( r \) es la distancia entre el centro y el punto de evaluación donde está la masa m, y eso no cambia,  por lo que la gravedad será

\( g=\dfrac{M G}{r^2} \)  si se conserva la simetría esférica. cqd3

Te sirve como demostración? donde ves algún error?

Saludos

[DCM]

Hola, DCM. Aquí tienes un vídeo donde se realiza el cálculo de esa integral paso a paso por un profesor muy divertido que además explica muy bien.
Míralo y a ver en qué momento de las operaciones decides hacer r=R; pon el minuto del vídeo aquí y la cuenta tal como esté según el momento del proceso.
Porque si insistes en qué esa integral está mal calculada, tienes que decir dónde exactamente crees tú que está mal, en qué paso y por qué.

Saludos.

Hola a todos,

  Feriva, gracias por enviar este video el cuál es muy bueno y puede aclarar incluso lo que estamos ahora debatiendo.

   Este video explica paso a paso el cálculo de la gravedad que crea una esfera hueca  de espesor cero, con toda la masa distribuida en toda su superficie, paso a paso desde lo más básico. Pero creo que hay un paso que no ha sido explicado tan paso a paso y creo que es importante que se explique:

Secuencias.-
 9:40  dice Juan-->   " Una esfera hueca podemos entenderla como infinitos anillos sumados entre sí de dM".
 9:50  dice Juan-->   "Esta esfera de masa M está formada  por la suma de infinitos anillos dM"
10:29 en adelante:  Juan  hace una similitud entre estos anillos dM  en que ha dividido la esfera hueca  y los anillos lineales que ha calculado el campo gravitatorio anteriormente en el video y  utiliza la expresión obtenida del campo gravitatorio sustituyendo la masa M del anillo lineal por la masa dM de estos  infinitos anillos en que ha dividido la esfera hueca.
   Pero los anillos dM son anillos con una anchura diferencial, \( Rd\alpha \), mientras que el anillo primogénito de masa M es de anchura cero.
 Entonces para hacer el cálculo tal y como lo hace Juan a partir del minuto 10:29, es necesario que ocurra que:

    El anillo de masa M de anchura cero (lineal) crea el mismo campo que el anillo de masa M de anchura infinitesimal. Con ello todo está perfecto.

    Y esta igualdad se ve claramente  porque  desde el punto P vería la misma masa M y  la misma distribución de masas en ambos anillos, el lineal  y el de  anchura infinitesimal. Y el cálculo de la gravedad, en ambos anillos,  sería idéntico al explicado por Juan al principio del video.

   Se entiende de esta forma que el campo que necesitamos conocer es el del anillo de anchura diferencial, ya que se acerca más a la realidad,  y  es el sistema más simple posible del cual partes para poder estudiar  distribuciones más complejas.

   Explico esto pues es exactamente lo que estamos discutiendo en el hilo, pero para el cálculo de la gravedad de una esfera hueca de espesor finito, que la descomponemos en infinitas esferas huecas de espesor infinitesimal. Transversalizando lo dicho anteriormente  de las anillos a esferas huecas,  diremos que la gravedad que crea una esfera hueca  de Radio R y de espesor cero con  masa M  es idéntica a la que genera otra esfera  hueca del mismo radio R y de espesor  infinitesimal de masa M , siendo su cálculo matemático  idéntico.

    Esto es precisamente lo que llevo explicando  en los últimos mensajes. 

  Por eso el campo  de esferas huecas que necesitamos conocer para poder estudiar las esferas  de espesor finito son las de espesor infinitesimal, pues si os fijáis es el modelo más simple pero  que se acerca más a la realidad y que con su suma de ellas podemos construir cualquier casquete esférico. Lo cual no se puede hacer con esferas huecas de espesor cero.

2) El video explica cómo se calcula el campo gravitatorio que crea una esfera hueca que toda la masa está contenida en una corteza superficial (suponiendo la esfera es la Tierra), tanto en la zona interior como en la zona  exterior de la esfera hueca.

   En la 1ª parte del video  explica el campo gravitatorio que se crea en la zona exterior de la esfera. 

  En este apartado voy a comentar lo  que considero que ha faltado decir también:

Minuto  31:33  En este instante Juan realiza una cancelación del término (\( r-R_{T} \)) en el numerador y denominador.  Aquí está el tema, esto sólo se puede hacer para cualquier valor de \( r\neq R_T \) y sin embargo no ha comentado nada.

    Esto puede ser debido a 2 motivos:

       - a) que  Juan esté calculando sólo, para puntos donde \( r>R_T \)  aunque no he visto esto  explícitamente  en el video y entonces, habría puntos como los de la superficie que no serían calculados en este análisis y sería un análisis parcial. Aún así debería  hacer referencia en este punto  del video a  que \(  r\neq R_T \) para evitar malos entendidos.

       -b)  que  Juan  esté calculando para   \( r\geq R_T \)   y no se haya dado cuenta   de esto que comento, lo cual sería grave no haberse dado cuenta.

     Yo supongo que  Juan está en el caso a), pero en este caso,  nuestro simpático e inteligente  monigote podría preguntarle  a Juan, " pero Juan ¿qué pasa en la superficie de la Tierra? para  nosotros es  muy  importante saberlo pues vivimos  sobre ella".  Y habría que esperar al próximo video de Juan para saber lo que pasa en la superficie de este planeta.

      Está claro que no decir \( r\neq R_T \)  evita preguntas comprometedoras. Y de esta forma no tener que hacer el cálculo para \( r=R_T \) y no encontrar nunca la discontinuidad de salto que aparece en la gravedad de estas esferas huecas para \( r=R_T \), y no tener que plantearse recomponer este puzzle mal encajado que quedaría.

         Yo os pregunto a todos después de ver el video ¿ Cuánto vale  la gravedad en la superficie  exterior de  este planeta Tierra especial?.

     Bueno mi respuesta después de ver el video  y olvidándome de todo que sé en estos momentos, diría que \( g=\frac{GM}{R^2} \), lo cual sé que no es cierto pero todo incita a creer que es así.

    Bueno recordar que falta aún alguien que explique matemáticamente con integrales  cómo se llega a la expresión anterior.  

   Un saludo.

[DCM]

En definitiva deciros que yo era un Físico que he convivido toda mi vida con lo dicho por la oficialidad con este tema de la gravedad de las esferas huecas y no huecas. Que de forma accidental  me encontré con algo que me hizo plantearme todo desde la base y de esta forma poder componer perfectamente el puzzle que con la oficialidad no había forma.

Es una manera romántica de verte a ti mismo y es respetable que te ilusione la idea de pensar que eres el Galileo del siglo XXI, que eres un visionario incomprendido y que un día el mundo aceptará tu verdad, pero como todo en la vida, la realidad no suele ser tan novelera.

Yo lo que creo es que tienes una disonancia cognitiva del copón y que tienes una autoestima tan frágil que te aterra la idea de que puedas estar equivocado y que todo tu mundo se venga abajo. Te pasa lo mismo que a los terraplanistas: a ellos en el fondo les da igual la ciencia de fondo, pues ellos por lo que verdaderamente luchan es por su propia identidad como personas, ya que han hecho de sus creencias disparatadas parte de su propia identidad, y da igual que les des mil y un argumentos que apoyen la Tierra esférica, porque aunque te los lleves a una nave espacial y ya en el espacio les empotres la cara contra la ventana para que vean la Tierra con sus propios ojos, siempre van a encontrar un argumento para negar la evidencia. ¡Si es que hasta hablas igual que ellos ("la oficialidad", "la ciencia oficial", etc.)! Y quien habla de terraplanistas habla de antivacunas, de testigos de Jehová, etc.

En este caso, llevas trece páginas de post defendiendo una cosa, has hecho una inversión de tiempo, de energía y de ego muy grande como para rendirte ahora y aceptar que estabas completamente equivocado desde el principio y que tú, como físico que presumes ser, cometes errores que no cometería un estudiante competente de primero de carrera. Como no quieres caer en esa inseguridad de "si me he equivocado en esto, ¿en qué muchas otras cosas más podría haber estado equivocado o seguir equivocándome en el futuro?", no te la vas a jugar dándole la razón a Richard y sentir que te has fallado a ti mismo, o peor aún, a tu hijo, sobre todo cuando no has parado de repetir lo de "llevamos 300 años haciendo mal una integral" ad nauseam. Yo no pienso que una persona se falle a sí misma o a los demás por el hecho de equivocarse, pero sí por ser intelectualmente deshonesta y no molestarse ni a plantearse la posibilidad de que tal vez pueda estar equivocada.

Mi apuesta es que este post llegará a las páginas que tenga que llegar y que al final Richard, Feriva y compañía abandonarán el hilo por puro hastío y que tú seguirás en tus trece, reafirmándote y citándote a ti mismo una y otra vez (porque lo de citar los argumentos de los demás para rebartirlos, como que no) y autoconcibiéndote como el único ser humano que ha tenido la valentía de contradecir a Newton. Si ese es el techo al que quieres llegar, vale, pero pienso sinceramente que si esa tenacidad obstinada que has mostrado en este hilo la invirtieras en aprender honestamente de lo que te dicen por aquí, no sé hasta dónde llegarías como físico, pero como mínimo escribirías mensajes más interesantes de leer.

   DaniM, creía que este foro  era para hablar de matemáticas, física, etc,  pero no creía que fuera el mejor sitio para dar una charla de psicología de alguien a quién no conoces.
     Sólo te pido a tí y a todos que nos respetemos y discutamos sobre matemáticas, física.
     Yo todo lo que estoy diciendo lo estoy realizando con demostraciones matemáticas y  físicas, además de hacer deducciones fáciles para que todo el mundo pueda seguirlas, paso a paso.
    Sé que los resultados son muy disruptivos, pero salen matemáticamente y además hace que el maltrecho puzzle  de lo que se conoce en la física actual (oficial) se pueda recomponer perfectamente.

   Un saludo.

[Richard R Richard]

    Bueno recordar que falta aún alguien que explique matemáticamente con integrales  cómo se llega a la expresión anterior. 

   Un saludo.

       Ahora te pregunto, ¿ Según, tú  Richard, cómo se calcularía la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal?.  No hay  otra forma más que con la que aparece en la página.

Recuerdas que ya te lo postee en mi mensaje  numero 21 , si no lo recuerdas aqui va de nuevo, luego haré una variante

Bueno aqui va el resultado de integrar correctamente.

Cálculo de la masa de una esfera/ casquete esférico de densidad constante \( \rho \) en coordenadas esféricas

Spoiler

\( \displaystyle M=\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta d\phi d\theta dR \)

\( \displaystyle M=\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi} \rho R^2\sin\theta \phi\vert_{0}^{2\pi}  d\theta dR \)

\( \displaystyle M=2\pi\rho\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}  R^2\sin\theta  d\theta dR \)

\( \displaystyle M=2\pi \rho\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}} R^2(-\cos\theta) \vert_{0}^{\pi}  dR \)

\( \displaystyle M=2\pi\rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}} R^2(-(-1)-(-(1))   dR \)

\( \displaystyle M=4\pi \rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}} R^2 dR \)

\( \displaystyle M=4\pi \rho  \dfrac{R^3}3\vert_{R_{int}}^{R_{ext}} \)

\( \displaystyle M=\dfrac{4}3\pi \rho(R_{ext}^3-R_{int}^3) \)


Resultado lógico, si el radio interior tiende a cero tenemos la masa de una esfera maciza.

[cerrar]

Ahora evaluando la fuerza de gravedad entre dos elementos con masa.  si el centro de masas de la masa de prueba \( m \) se halla en la posición r y el modulo de la distancia entre el CM de \( m \) y cualquier diferencial de masa de la esfera lo llamamos \( s \)

\( \vec dF=\dfrac{Gm \,dM\, \vec s}{s^3} \)

se observa que si \( s=0 \) el diferencial de fuerza aportada es infinito, y el cálculo no es de interés físico,  ni matemático me atrevo.

algunas relaciones de la figura en la citada página

\( s\sin\alpha=R\sin\theta \)

\( s^2=(r-R\cos\theta)^2+R^2\sin^2\theta \) del que surge el teorema del coseno y salen las relaciones

\( \sin\theta d\theta=\dfrac{s\, ds}{Rr} \)

y \( \cos\alpha =\dfrac{r^2+s^2-R^2}{2rs} \)

luego el diferencial de fuerza en direccion radial queda

\(  dF_r=\dfrac{Gm dM\cos\alpha}{s^2} \)

la integral a resolver queda

Spoiler

\( \displaystyle Fr=\int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta \left[\dfrac{Gm \cos\alpha}{s^2}\right]   d\phi d\theta dR \)

resolviendo y simplificando para claridad

\( \displaystyle Fr=2\pi Gm\rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi} R^2 \left[\dfrac{r^2+s^2-R^2}{2rs s^2}\right] \dfrac{s}{Rr} ds dR \)

\( \displaystyle Fr=\cancel{2}\pi Gm\rho \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{R-r}^{R+r} R^\cancel{2} \left[\dfrac{r^2+s^2-R^2}{\cancel{2} r \cancel{s} s^2}\right] \dfrac{\cancel {s}}{\cancel {R} r} ds dR \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}\int\limits_{R-r}^{R+r} R \left[\dfrac{r^2+s^2-R^2}{s^2}\right ] ds dR \)

la integral de la variable \( s \) mientras \( s\neq 0 \) cuando \( R_{ext}>r \)  vale \( 4R \) que es lo único que interesa para que los diferenciales no arrastran ningún error.



luego

\( \displaystyle Fr=\dfrac{\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}R 4R dR \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{int}}^{R_{ext}}R^2 dR \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{3r^2} (R_{ext}^3-R_{int}^3) \)

\( \displaystyle Fr=\dfrac{MGm}{r^2} \)

siendo M la masa de la esfera o casquete esférico,  de nuevo si sucede que \( R_{ext}=R_{int} \)
la masa es nula y la  fuerza y aceleración de la gravedad es nula como debe ser.

[cerrar]

Para que no le queda la duda a nadie que a los objetos con masa se les puede medir la aceleración gravitatoria que generan.

Y que la masa de una superficie de espesor cero es nula.

Saludos

Si aún  deseas conservar el modelo matemático y decir que una superficie de espesor cero puede tener masa, porque el modelo tiene simetría esférica y aporta el mismo resultado, entonces la integral es valida.


Veamos lo que me pides ahora es evaluar esa misma integral pero suponiendo que el espesor ya no es cero , sino una pequeña y fina capa de espesor infinitesimal.

lo único que cambia en el planteo que expuse es que el radio interior y el exterior difieren en solo el espesor de la capa

\( R_{int}=R_{ext}-e \)  donde e es el espesor de la capa , y si ese espesor es diferencial o infinitesimal entonces \( R_{int}=R_{ext}-de \)

reemplazando para el calculo de la masa del cascaron

\( \displaystyle dM=\int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta d\phi d\theta dR \)

para no reiterar todo llegamos al punto critico que es...

\( \displaystyle dM=4\pi \rho \int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}} R^2 dR \)

\( \displaystyle dM=4\pi \rho  \dfrac{R^3}3\vert_{R_{ext}-de}^{R_{ext}} \)

\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(R_{ext}^3-(R_{ext}-de)^3) \)

desarrollando el cubo perfecto  del último sumando

\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(R_{ext}^3-(R_{ext}^3-3deR_{ext}^2+3de^2R_{ext}-de^3)) \)

si eliminamos los términos de mayor orden del diferencial por ser despreciables y acomodando los signos

\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(\cancel {R_{ext}^3}-\cancel {R_{ext}^3}+3deR_{ext}^2) \)


\( \displaystyle dM=\dfrac{4}3\pi \rho(3 de R_{ext}^2) \)

o escrito de otro modo

\( \displaystyle dM=4\pi \rho R_{ext}^2 de \)  cqd 1

Te suena que la masa del casquete infinitesimal sea ese diferencial? pues no lo invente ahí está la demostración.

si se continua la línea de desarrollo planteada en el post 21

tenemos

\(  dF_r=\dfrac{Gm dM\cos\alpha}{s^2} \)

la integral a resolver queda

\( \displaystyle dFr= m \ dg =\int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} \rho R^2\sin\theta \left[\dfrac{Gm \cos\alpha}{s^2}\right]   d\phi d\theta dR \)

lo que nos lleva a

\( \displaystyle dFr=\dfrac{\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}R 4R dR \)

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{r^2} \int\limits_{R_{ext}-de}^{R_{ext}}R^2 dR \)

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{3r^2} (R_{ext}^3-{(R_{ext}-de})^3) \)

si de nuevo desarrollo el cubo perfecto queda

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{3r^2} de 3R_{ext}^2 \)

simplificando   

\( \displaystyle dFr=\dfrac{4\pi Gm\rho}{r^2} R_{ext}^2 de  \)

si reemplazas lo hallado en la ecuación ec1

\( \displaystyle dFr=m\dfrac{dM G}{r^2} \)

luego \( dg=\dfrac{dM G}{r^2} \) cqd 2

para hallar la gravedad de un cascarón de espesor finito no infinitesimal, tienes que recordar que dM no es lineal con el espesor ,
pero la sumatoria de infinitas capas de distinta masa dM  aportaran la masa M en total, siendo \( r^2 \) una constante en esa integración, pues  \( r \) es la distancia entre el centro y el punto de evaluación donde está la masa m, y eso no cambia,  por lo que la gravedad será

\( g=\dfrac{M G}{r^2} \)  si se conserva la simetría esférica. cqd3

Te sirve como demostración? donde ves algún error?

Saludos

Para estar haciendote el irónico, te pareces más un irrespetuoso,  pretendes hacernos creer que no leíste el mensaje previo al que escribiste esa frase, si lo que quieres en ningunear, allá tu con tu hilo, no respetas a quien le dedica tiempo a enseñarte lo que tienes mal aprendido, aquí no hay debate , aquí hay troleo y encima te ofendes cuando otros lo detectan...
Habla de matemáticas entonces, no de lo que se dice o no de tí, ve al grano, donde está mal algo de lo que ya se te escribió un libro. Y nunca demostraste nada, salvo la presentación sistemática de errores de interpretación de integrales indefinidas.

[feriva]

   Pero los anillos dM son anillos con una anchura diferencial, \( Rd\alpha \), mientras que el anillo primogénito de masa M es de anchura cero.

Eso no lo entiendo; ¿quiénes serían los “padres” y los “hermanos” del anillo primogénito?
...
Ahora mismo me he puesto de pie y he ido aflojando paulatinamente la tensión de las piernas hasta que se me han empezado a doblar las rodillas. Si sigo así me caigo. Mi sensación es la de que algo me empuja, no la de que algo me atrae (dejando ya aparte mi teoría, la que te comenté en mis primeras intervenciones). En cualquiera de los casos, lo cierto es que no puedo relajar las piernas totalmente sin caerme, como le pasa a todo el mundo, porque hay una cosa (que llamamos gravedad) la cual actúa también sobre algo que está pegado al suelo; y lo hace así, “deformándolo”. Pero en el caso de un ser humano (como ejemplo) éste puede tensar sus músculos y evitar que la gravedad lo arrugue hasta dejarlo pegado al suelo. Otros objetos son más rígidos y parecen no notar ese empuje o esa atracción (lo que sea) no obstante, es lógico pensar, aunque en ese caso no lo verifiquemos tan fácilmente, que también ocurra, que también esa estructura esté sometida a ese intento de “estrujamiento”.
...
Con esto estoy experimentando por mí mismo y pensando cosas; intentando pensar algo en lo que no haya pensado antes.
...
Visto a gran escala, yo mismo soy una partícula de la Tierra, un componente material más. Si doy un salto, por un momento me independizo de la Tierra como materia (muy, muy mínimamente). Pero si no salto, no soy más que un trocito de planeta. Sin embargo, hay que analizar más, porque yo estoy compuesto a su vez por “trozos”; aparte de rodillas, articulaciones que se doblan... estoy hecho de una materia que tiene una cierta densidad y que es distinta de algunas otras partículas que también son componentes propios de la Tierra.
Pero si consideramos teóricamente una partícula indivisible, hecha de un solo “trozo”, parce que no tiene sentido suponer que esa partícula se atraiga o empuje a sí misma, pues la gravedad es un fenómeno en el que intervienen dos o más cosas “individuales” o con cierta individualidad.
Yo soy un componente del sistema Tierra, pero a la vez soy otro sistema; que además tiene sangre, con una cierta densidad; huesos, que tienen otra densidad...
Cuando tú dices r=R estás considerando un punto de la propia esfera donde algo se empuja o se atrae sobre sí mismo, de tal manera que el vector de campo es cero; pues para que el vector sea distinto de cero, “r” tiene que ser distinto de “R”.
No obstante, sí es cierto que existe ese fenómeno que me arruga las rodillas, esa fuerza de cohesión o estrujamiento, aunque el vector sea cero al considerarme como partícula componente del sistema.
…
Juan, el del vídeo, es físico especializado en mecánica de fluidos según comentó no hace mucho en una de las clases que da. Quizá él podría analizar mejor qué fuerzas o qué cosas intervienen en el caso que dices, porque parece que pueda influir algo más que la simple y básica gravedad de Newton. Él suele contestar preguntas que se le hacen en los directos.
El debate aquí ya está terminado, es volver sobre lo mismo muchas veces, a mí no se me ocurre “más na” que decir.
La integral, matemáticamente, está hecha como debe ser, como se hace, eso ya ha quedado claro (nada tiene que ver que sea una integral, una derivada o una matriz jacobiana, la cosa está antes, es elemental: no se puede dividir por cero. Y mientras quieras hacerlo, nadie te dará la razón, ni aquí ni en ningún sitio;  pretendes llevar un debate de colegio a una altura que no llega).
Otro asunto es la discusión teórica sobre fuerzas de cohesión o “estrujamientos”, ahí sí puede haber aspectos más enjundiosos de los que hablar; pero, personalmente, ahí sí que ya no puedo decir nada, no sé de eso, sé muy poco.

Saludos.