Hola a todos, En primer lugar Richard darte las gracias por enseñarme cómo manejarme con las cita.
A continuación realizo una respuesta explicativa global de todo lo comentado.
Me resulta de perogrullo el salto de espesor cero a infinitesimal para poder integrar sobre el espesor , no hay forma de hacerlo de otro modo, lo que si es seguro es que no lo puedes hacer con una distribución superficial de masa, debes hacer el salto a \( dm=\rho 4\pi r^2dr \) donde ya la masa no es M sino dM pues el espesor es diferencial.
1) Cuando se calcula la gravedad de una esfera hueca de espesor finito mediante la integración de infinitas esferas huecas de espesor infinitesimal, lo primero que hay que conocer es la expresión genérica de la gravedad que genera esta esfera hueca de espesor infinitesimal para una masa genérica, M, y luego con esta expresión genérica, sustituir para el caso de querer calcular una esfera hueca con espesor finito, la masa M, por la masa dM de cada esfera hueca de espesor infinitesimal que van a construir la esfera más compleja de espesor finito.
Entonces, para el caso particular de una esfera más compleja, cuando decimos que la gravedad que genera cada una de esas esferas huecas de espesor infinitesimal es \( dg= \frac{G dM}{r^2} \), esto es debido a que partimos de la expresión general de la gravedad que genera de una esfera hueca de espesor infinitesimal de masa M, es \( g= \frac{G M}{r^2} \), sino esto no se podría hacer.
Por lo tanto la expresión de la gravedad de esta esfera hueca de espesor infinitesimal es la misma que la expuesta en la página en cuestión.
Además recordar lo que explican al final en esta página:
"
Este era el objetivo perseguido, para mostrar que la fuerza de gravedad de una esfera hueca es exactamente la misma fuerza como ! si la masa entera M estuviera concentrada en un punto en el centro de la esfera!,. Físicamente, este es un resultado importante, porque cualquier distribución esférica y simétrica de masa se puede construir con una serie de tales cáscaras. Esto prueba que la fuerza de cualquier distribución de masa simétrica esférica sobre una masa exterior a su radio es la misma que si el total de la masa estuviera concentrado en punto en el centro de la esfera"
Fijaros lo que dice "cualquier distribución esférica y simétrica de masa
se puede construir con una serie de tales cáscaras"
Está claro que las cáscaras que hace referencia son las que se están estudiando en esta página y además deben ser las esferas huecas de espesor infinitesimal pues son son las únicas que pueden generar un esferas de espesor finito.
En resumen todo indica que las esferas huecas que hace referencia esta página son las esferas huecas de espesor infinitesimal, que se caracteriza por una masa finita M, un radio y una \sigma.
Está claro que todo aquello que tenga estos mismo parámetros tendrá el mismo resultado matemático y por tanto una esfera hueca de espesor cero, tendrá el mismo resultado matemático.
Esto demuestra lo que dicho por mí en mensajes anteriores:
La expresión de la gravedad que crea una esfera hueca de espesor infinitesimal y una esfera de espesor nulo son idénticas. 2) Siempre he estado hablando de esferas huecas de espesor infinitesimal con una masa M genérica, pues es necesario estudiar esto, antes de poder calcular cualquier esfera de espesor finito, por lo dicho en el punto 1).
Pongo la siguiente cita, cita 28 abril puntos 2) y 3)
2) Realizando el cálculo integral de la gravedad que genera la esfera hueca de espesor infinitesimal, se obtiene:
Zona exterior de la esfera
\( r = R --> g=\frac{GM}{2R^2} \) En la superficie exterior
\( r>R --> g=\frac{GM}{r^2}
\)
Zona interior de la esfera
\( r=R --> g=\frac{GM}{2R^2} \) En la superficie Interior
\( r<R ---> g= 0 \)
Aquí quiero destacar de nuevo la incoherencia con la física del resultado que se obtiene arriba.
Carlos, ¿de verdad crees que un punto fuera de la superficie exterior muy cercano de la esfera hueca de espesor infinitesimal, puede tener el doble de gravedad que el que hay en la misma superficie exterior?. El ejemplo que has puesto no tiene nada que ver con esto que yo he explicado. Sé que sabes lo que te voy a explicar, pero lo hago para que quede constancia de que no estoy mintiendo en esto.
Olvidándonos de la zona interior, si hacemos una superficie esférica de gauss cerrada, en la misma superficie exterior de la esfera y otra superficie esférica gaussiana cerrada en un punto exterior a la superficie que engloba a un punto, r>R. Sabes que por el teorema de Gauss el flujo a través de estas superficies esféricas de Gauss concéntricas es constante y es proporcional a la masa contenida dentro de las superficies gaussiana , por ello como el punto que está más alejado de la superficie su radio r>R, implica que la superficie gaussiana que contiene a ese punto r, es mayor a la de la superficie de la esfera y por tanto esto impone que la gravedad en esta superficie para r>R es menor que la que hay en la superficie exterior de la esfera.
Por lo tanto está claro que para r>R la gravedad debe ser menor a la gravedad de la superficie de estas esferas huecas de espesor infinitesimal.
Por lo tanto lo obtenido por integración en el cálculo de la gravedad en las esferas huecas de espesor infinitesimales no se corresponde con la física, va en contra de ella.
Esto, conlleva como consecuencia que para puntos exteriores comprendidos entre \( \sqrt{2}R > r > R \), la gravedad g es distinto a \( \frac{GM}{R^2} \) y menor a \( g_o=\frac{GM}{2R^2} \).
Lo que implica que hay infinitos valores de r>R donde no se cumple la expresión oficial \( g=\frac{GM}{r^2} \).
3) Recalcar de nuevo que cualquier integración que hagamos de casquetes esféricos de espesor finito, en coordenadas esféricas, como aquí se ha hecho en este hilo, estamos utilizando estas esferas huecas de espesor infinitesimal y en este cálculo estamos obviando las consecuencias de la discontinuidad de la gravedad que aparece en la superficie exterior (marcado en negrita en el punto anterior).
Por lo tanto, los resultados finales que obtengamos de esta integración de espesores finitos no son correctos.
Richard, para r=R el cálculo de la integral sale \( g=\frac{GM}{2R^2} \) y no cualquier coeficiente distinto de 1/2. Lo que tú has hecho para decir que el coeficiente sea distinto, lo has deducido al hacer la integración de un casquete esférico de espesor finito sin tener en cuenta lo que arriba indicaba y como ya te he dicho los resultados de los que partes son erróneo, para luego hacer límites para reducir el espesor para tenderlo a cero.
Por lo tanto, para mí, no tiene ningún valor tu argumento sobre que el coeficiente 1/2 puede ser cualquier cosa.
En ella demuestro :
a) que no es posible calcular con integración la gravedad de estas esferas huecas de espesor finito, debido a que no disponemos de la expresión analítica de la gravedad para infinitos puntos (NO UN SOLO PUNTO) cercanos a la superficie de la esferas huecas de espesor infinitesimal.
b) Como consecuencia de esto, las expresiones que existen en la oficialidad para estas esferas huecas de espesor finito no son correctas.
c) Como consecuencia, cualquier análisis o demostración que tome estas expresiones oficiales de gravedad de esferas huecas de espesor finito como correctas darán un resultado que no es cierto.
d) Y por lo tanto Richard, la demostración de que el coeficiente de la gravedad para r=R no tiene que ser 1/2, sino cualquier valor en 0 y 1, no es cierto por los puntos a) b) c).
3) Otro punto es decirte Richard, ¿En qué te basas para decir que una función que se integra si tiene en un punto que la función tiende a infinito, la integral no se debe hacer, no tiene sentido ni matemático ni físico?
No has dado ninguna evidencia matemática de esto ni tú ni ninguna persona de aquí.
Yo si te he dado ejemplo de lo contrario, y es totalmente válido pues al final es una función que se integra y diverge a infinito en x=0.
Un caso distinto es si tuviéramos una función que diverge en un punto y que la integral diverge. En este caso sí estaría de acuerdo contigo.
El ejemplo más simple es la integral entre 0 y 10 de la función \( f(x) = \frac{1}{x} \) En este caso la función f(0)=infinito y la integral diverge también.
Pero en el caso que tenemos no hay problema alguno de ningún tipo.
4) Para darse cuenta del error en el que está la oficialidad en el tema de la gravedad de las esferas huecas es necesario que cado uno se plantee el calcular o demostrar algo que todos nos han dicho desde hace muchos años y que está en libros, en internet:
Es calcular la gravedad que existe en las superficies de una esfera hueca de espesor infinitesimal, de masa M, radio R y \sigma., para ver si es posible llegar a obtener la expresión oficialmente conocida: para superficie exterior \( g=\frac{GM}{R^2} \) para superficie interior g= 0
Haciéndolo mediante el cálculo integral y mediante el teorema de Gauss mediante una única superficie cerrada gaussiana que sea simétrica a TODA la distribución esférica y no con 2 superficies gaussianas.
Por eso estoy haciendo hincapié en hacer este cálculo, pues aquí cada uno por sí mismo verá que el puzzle de lo que nos cuenta la oficialidad no cuadra.
Yo ya he demostrado aquí en este hilo tanto por medio de la integración como por el teorema de Gauss mis tesis.
La de mostración de la integración ya ha sido explicado hace muy poco, en mi mensaje del día 14/06, por segunda vez en este hilo.
Aquí más abajo os dejo una cita donde viene mi demostración mediante el teorema de Gauss de lo que estoy diciendo:
7) Otro punto es el cálculo de la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal en la superficie interior y exterior, con el teorema de Gauss.
Hasta ahora y tú lo has explicado muy bien, para el cálculo en la superficie exterior se consideraba una superficie gaussiana en la misma superficie y todo el flujo del campo atraviesa esta superficie, de esta forma se obtiene que la gravedad \( g=\frac{GM}{R^2} \).
Para el cálculo de la gravedad en la superficie interior, se hace otra superficie gaussiana en la misma superficie interior y como esta superficie cerrada no engloba ninguna masa, el flujo a través de esta superficie es cero y esto implica que g=0.
Por tanto tenemos para r=R los siguientes resultados:
Por integración Por Gauss
superficie exterior \( g= \frac{GM}{2R^2} \) \( g= \frac{GM}{R^2} \)
superficie interior \( g= \frac{GM}{2R^2} \) \( g= 0 \)
Ambos métodos deberían dar lo mismo y sin embargo esto no se cumple.
Ahora vamos a utilizar el Teorema de Gauss pero vamos a utilizar las mismas superficies gaussianas que indiqué en mi publicación del día 11/04:
Los cambios respecto a lo anterior son los siguientes:
-A la esfera hueca de espesor infinitesimal le hacemos un agujero de un diámetro infinitesimal en su superficie, de forma que la gravedad no se verá afectada en el resto de las superficies interior y exterior, de esta forma las superficies exterior e interior se puedan comunicar.
Utilizaré una superficie cerrada ,doblemente esférica, que cubre tanto la superficie interior como la exterior de la esfera conectadas a través del agujero de diámetro infinitesimal, teniendo \( S_{total}= 4\pi R^2+4 \pi R^2=8\pi R^2 \)
Vamos a utilizar el resultado de la integración para r=R en la zona exterior--> \( g_o=\frac{GM}{2R^2} \)Suponiendo que en la superficie exterior gaussiana tengo esta gravedad, entonces:
Flujo a través de S_1 = \( - 4\pi R^2 g_o - g_{oint} 4\pi R^2 \)
Flujo a través de S_1 = \( - 4\pi G M
\)
sustituyendo g_o por su expresión:
\( 4\pi G M= 2\pi GM + g_{oint} 4\pi R^2 \)
despejando
\( 2\pi GM = g_{oint} 4\pi R^2 \)
\( g_{oint}= \frac{GM}{2R^2} \)
Por el teorema de Gauss hemos obtenido el valor de la gravedad en la superficie interior.
En este caso el resultado final comparativo es la igualdad entre los 2 métodos de cálculo:
Por integración Por Gauss
superficie exterior \( g= \frac{GM}{2R^2} \) \( g= \frac{GM}{2R^2} \)
superficie interior \( g= \frac{GM}{2R^2} \) \( g= \frac{GM}{2R^2} \)
Lo único que hemos hecho es coger una superficie gaussiana cerrada que envuelve a toda la masa de la esfera hueca y con ello se ha armonizado los 2 métodos. Está claro que está es la forma de hacerlo correctamente pues es de la única forma que ambos métodos obtienen el mismo resultado.
Un saludo.
4) Feriva, presentas una ecuación algebraica que de un vistazo se observa que no está definida para x=3, es decir esa ecuación no tiene solución para x=3. Aún sabiendo esto, Feriva, coges y haces x=3, bueno está claro lo que vas a obtener. Vas a obtener que una parte de la igualdad no corresponde con la otra, 3=9. Vas a llegar a algo que es falso.
Trasplantado esto que dices al tema que tratamos en el hilo, digo:
En el desarrollo del cálculo de la integral de la gravedad en puntos exteriores de la esfera hueca de espesor infinitesimal, de un vistazo se ve que para r=R no está definida la función, debido a que aparece el término \( \frac{1}{r-R} \), entonces se obtiene la expresión \( g=\frac{GM}{r^2} \) para todo punto r>R. sabiendo que esta expresión no sirve para r=R, cogemos y sustituimos r=R aquí obteniendo
\( g=\frac{GM}{R^2} \),
Entonces está claro que esta expresión es falsa, errónea, igual que 3=9.
Además, pienso que esta es la única manera que se puede obtener la expresión oficial para r=R de \( g=\frac{GM}{R^2} \).
En definitiva deciros que yo era un Físico que he convivido toda mi vida con lo dicho por la oficialidad con este tema de la gravedad de las esferas huecas y no huecas. Que de forma accidental me encontré con algo que me hizo plantearme todo desde la base y de esta forma poder componer perfectamente el puzzle que con la oficialidad no había forma.
Un saludo.
