[DaniM]

esferas de espesor no nulo, su espesor es infinitesimal, más pequeño que cualquier número real finito

Sea \( x \) el menor número real mayor que cero. Si lo dividimos entre dos sale otro número más pequeño, contradicción.

Por otro lado indicar que las esferas huecas de espesor infinitesimal es el  modelo idealizado, el más simple posible, que se utiliza para construir los objetos de nuestra realidad

Se usan como ideas matemáticas para resolver una integral cuyo resultado final sí tendrá un sentido físico, pero no se usa directamente una esfera de espesor cero y masa positiva (¿?) para modelar una realidad física, como dices. Es como cuando usas números complejos como una vía para resolver una ecuación diferencial, pero no acabas concluyendo que una partícula tarda \( \sqrt{-3} \) segundos en moverse de un punto a otro, porque no tiene sentido, por mucho que \( \sqrt{-3} \) tenga una realidad matemática.

[feriva]

Hola a todos de nuevo,

   Feriva, siempre he  hablado de esferas huecas de espesor infinitesimal, como  esferas de espesor no nulo, su espesor es infinitesimal, más pequeño que cualquier número real finito

Arrastras un error de concepto (tener una carrera de física o incluso ser premio Nobel no libra necesariamente de eso). Un infnitesimal, en el modelo de análisis estándar, es lo mismo que un infinitésimo, un número real; y por tanto, siempre hay otro real menor que cualquier número real.

Los infinitesimales del análisis no estándar, también existen en el estándar (porque es una extensión) pero dentro del estándar esos infinitesimales (que no son los otros) son sólo un número, el cero, cuando aparecen son cero, es elemento único dentro de \( \mathbb{R} \); es un conjunto unitario, son como representantes del cero.

Ahora bien, si consideras trabajar en el modelo no estándar, entonces esos infinitesimales (que en el estándar son cero) ya no son cero, son números distintos.

Hola, DCM.

Hasta hace muy poco (quizá haga un año o menos, no sé ahora) yo tenía una confusión con el concepto de infinitesimal. Y, un día, al intervenir en un problema sobre un cálculo de algo con derivadas (creo que era en una publicación de Marcos, un amigo de aquí del foro) pues expliqué las cosas a mi manera; mezclando la idea del modelo no estándar con el estándar. Entonces entró Juan Pablo (matemático y bueno, desempeño profesional aparte y moderador del foro) estuvimos hablando y me aclaró la cuestión.

Saludos.

[Richard R Richard]

Una capa de masa de espesor infinitesimal no nulo, tiene densidad volumetrica no nula, es una posible realidad física, que tiene asociada una masa infinitesimal.

Una capa de masa de espesor cero , tiene densidad superficial no nula y densidad volumétrica infinita,  por lo que es un simil matemático, pero nunca una realidad física, asignando una masa concreta en números reales a una superficie.

Cualquier  conclusión sacada de un modelo matemático, que no representa exactamente una realidad física  debe ser analizado minuciosamente sirviendo en algunos casos como modelo didáctico.

Los resultados matemáticos calculados en puntos donde la matemática  advierte sobre discontinuidad son claramente faltos de realidad física. Pues la física escoge el modelo matemático que mejor representa  la realidad y no a la inversa, sin querer entrar en otro tipo de debate.

Esta es la enésima vez que lo escribo, y si DCM te lo quieres saltar, solo corre por tu cuenta, lo que no se me ocurre es permitir que el hilo concluya contigo diciendo que la integral esta mal calculada porque no es cierto, y que la conclusión  es que ese cálculo didáctico  da la mitad de lo que debe ser  y que eso tiene implicación física, solo porque tu aplicas el modelo incorrecto  en el punto justamente  donde  hace incorrecto al modelo.

Cualquier aficionado sabe que la gravedad es una función continua, no dando saltos de aquí para allá, no cambia bruscamente  ee un infinitesimo a otro, si tu la quieres ver como discontinua , hazte cargo de demostrarlo a la comunida científica,  tienes que demostrar que la gravedad funciona de esa manera, y como te metes a escala de espesor pequeños  en el mundo cuantico, no puedes evitar los equibrio de fuerzas de repulsión  electromagnética y del campo gravitatorio, con lo cual tu modelo naif carece de sentido práctico, cuando quieres resolver el problema  de fondo y a nadie le es de interés ese resultado anecdótico de un modelo aplicado claramente equivocada y sin sentido.

[DCM]

Hola a todos de nuevo. 
 Adjunto a continuación mis comentarios a los últimos mensajes.

      1) A lo largo de este hilo  he explicado que para el cálculo de la gravedad de  cuerpos másicos complejos utilizan  modelos ideales  más simples de dimensiones infinitesimales  y he puesto  varios ejemplos: 

 - Uno de ellos es el caso de un disco de radio R de espesor infinitesimal, el cual era dividido en anillo de radio variable R'  y anchura infinitesimal dR'. 
 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elelin.html

  - Otro  es el mismo de la esfera hueca que estamos discutiendo, en el que de igual forma  la esfera se divide  de igual forma de anillos de radio variable y de anchura infinitesimal, \( Rd\theta \). 
 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Mechanics/sphshell.html#wtls

 En el caso de casquetes esféricos de espesor finitos,  estos se pueden dividir en esferas huecas de radio variable ( entre el \( R_{máximo} \) y el \( R_{minimo} \) )  y  de espesor infinitesimal  dR.   Y el espesor de estas esferas elementales no es cero sino tiene un espesor infinitesimal.

   2) Las esferas huecas de espesor infinitesimal  que estoy hablando,  son esas infinitas esferas en las que se ha dividido el casquete esférico de espesor finito, de espesor dR, pero con un radio R y una  masa M  determinada en vez de una masa  diferencial, dM, del casquete esférico. 

   Estas son las esferas huecas de espesor infinitesimal que estoy hablando no sé si son del análisis standard o del análisis no standard, esto  no recuerdo que lo explicaran durante la carrera de física. Lo que tengo muy claro es que el espesor no es nulo y al tener un  volumen diferencial,  sólo puede describirse con  una densidad superficial \( \sigma \).

  3) Supongamos una esfera hueca de masa M, ¿si  el espesor de la esfera es infinitesimal , cuánto vale su \rho? 
  para contestar sólo hay que calcular su volumen, el cual es un volumen infinitesimal como ya he dicho en el hilo varias veces también y por lo tanto  \( \rho = \frac{M}{dV}= infinito \).   \( \rho \) es infinito en este caso. Por lo tanto no tiene sentido decir que  la esfera hueca de espesor infinitesimal tiene una densidad volumétrica.
       Lo que sí tiene sentido es decir que tiene una densidad superficial \( \sigma=\frac{M}{4\pi R^2} \) siendo R el radio de la esfera.

  4) Yo no digo que la gravedad sea discontinua en nuestra realidad, lo que yo estoy mostrando es que el cálculo  de la integral obtiene como resultado una discontinuidad  para r=R y he explicado aquí  cómo se resuelve esta discontinuidad, cosa que desde el punto de vista oficial no se puede explicar.
    Como he explicado, apoyándome en el teorema de Gauss y utilizando una superficie cerrada que cubra ambas regiones del espacio ( zona interior y zona exterior), esta discontinuidad no existe y lo que ocurre es que: 

   - En ambas superficies (interior y exterior) de la esfera la gravedad es        \( g=\frac{GM}{2R^2}=2\pi G \sigma \)

  - Conforme nos alejamos de la ambas superficie la gravedad disminuye de ese valor,   de forma continua hasta que en un punto del interior de la esfera la gravedad se hace cero.  A partir de esa  misma distancia en el exterior de la esfera la gravedad se comportará conforme a la expresión oficial
                 \( g=\frac{GM}{r^2} \).

     - En resumen en la gravedad no hay discontinuidad y además sólo se modifica las zonas cercanas a la esfera respecto a la oficialidad quedando a distancia superiores la expresiones de la gravedad que conocemos oficialmente.

5) Supongamos que estamos viviendo en la época de Newton y somos estudiantes de física que vamos a calcular la gravedad que genera una esfera hueca de espesor infinitesimal.  Aquí sólo existía el método de la integración para calcularlo, ¿no? . 
       Por otro lado , para todos los físicos desde Newton hasta ahora, nos han explicado que la gravedad en la superficie exterior de la esfera hueca de espesor infinitesimal tiene la expresión:

                       \(  g=\frac{GM}{R^2} \)   

     Pregunto: ¿Cómo es posible obtener, en aquella época,  que la gravedad en la superficie exterior, r=R, mediante la integración  sea  \(    g=\frac{GM}{R^2} \)  ?.
      Es imposible obtener esto haciendo bien la integral y es fácil obtenerlo  si el cálculo de la integral no lo hacemos correctamente, lo cual por lo visto aquí es muy fácil que esto ocurra.

        Es fácil obtenerlo, si suponemos que  r es cualquier punto exterior y no advertimos que al realizar  la integral, la gravedad  está indeterminada para r=R, como he dicho muchas veces, entonces cuando llegas a la ecuación final obtenida \(  g=\frac{GM}{r^2}  \)         especifica  que es para todo  punto, r , exterior y  entonces supones que si r=R la gravedad es  \( g=\frac{GM}{R^2} \). 

              No veo de ninguna otra forma que se llegara a esta deducción. Pero está claro, por todo lo que hemos visto aquí,  que existe un error durante el proceso de cálculo en el que se debía haber excluido  los puntos r=R, para esta ecuación final. 
   Por lo tanto la integral está mal realizada pues no especificaba que la expresión  \( g=\frac{GM}{r^2} \)  es válida sólo para r>R.

   Si hacemos correctamente la integral para r=R, entonces la única ecuación final que se puede obtener es
         \( g=\frac{GM}{2R^2} \) =\( 2\pi G \sigma \) (es la gravedad  que genera de un plano infinito de espesor infinitesimal).

   Pero indicar  por enésima vez que lo obtenido en la integral para r=R, es lo que debería ser, pues  la gravedad  que genera  una esfera hueca de espesor infinitesimal con una \sigma determinada  en su superficie r=R, es igual a la gravedad en su superficie de un plano infinito de espesor infinitesimal con la misma \sigma. Y como es lógico la expresión analítica de la gravedad es igual para todas las esferas y cualquier esfera de este tipo de radio R, debe tener la expresión  \( g=2\pi G \sigma  \)     por tanto.

   Con ello el puzzle cuadra perfectamente.  

   Si partimos de que para r=R  \( g=\frac{GM}{R^2}= 4\pi G \sigma \) , como se dice oficialmente,  entonces al hacer aumentar el radio y hacerlo  el radio infinito llegaríamos a la contradicción de que 
                         \( 2\pi G \sigma=4\pi G \sigma \). Lo cual es una total incoherencia.

 6) Para entender lo que explico no se necesitan grandes conocimientos de matemáticas, sólo de integración y  del teorema de Gauss. También se necesita olvidarse de lo que conocemos y llegar, nosotros mismo con nuestros cálculos, bien hechos, a los resultados verdaderos. Y lo que más se necesita es no tener miedo a lo que se obtenga por muy disruptivo que esto sea. Todo está basado en cálculos matemáticos y lógica muy simple. Así llegaréis a hacer el puzzle perfectamente, puzzle que desde el punto oficial está totalmente desencajado.
 
       Un saludo

[Richard R Richard]

   2) Las esferas huecas de espesor infinitesimal  que estoy hablando,  son esas infinitas esferas en las que se ha dividido el casquete esférico de espesor finito, de espesor dR, pero con un radio R y una  masa M  determinada en vez de una masa  diferencial, dM, del casquete esférico.

   Estas son las esferas huecas de espesor infinitesimal que estoy hablando no sé si son del análisis standard o del análisis no standard, esto  no recuerdo que lo explicaran durante la carrera de física. Lo que tengo muy claro es que el espesor no es nulo y al tener un  volumen diferencial,  sólo puede describirse con  una densidad superficial \( \sigma \).

Hola DCM a lo largo del hilo diversos  expositores te explicaron , que un casquete de espesor finito dividido en infinidad de esferas concentradas de espesor infinitesimal, no pueden tener una densidad superficial  sigma como tu la propones, cuando a una capa de espesor finito de masa M la divides en infinidad de capas cada una de esas capas tendrá una masa que tiende a cero y no a sigma, ese error ha sido marcado  varias veces lo largo del hilo. esto es fácil entender si la capa tiene espesor diferencial y densidad volumétrica,  pero te niegas a entenderlo.


Cuando a una cascara esférica finita se le asigna una densidad superficial se está considerando que su espesor es cero y no infinitesimal.


Hasta que no tengamos acuerdo en este último parrafo ,no puede haber debate sobre el resto de los puntos.


Saludos

[feriva]

5) Supongamos que estamos viviendo en la época de Newton y somos estudiantes de física que vamos a calcular la gravedad que genera una esfera hueca de espesor infinitesimal.  Aquí sólo existía el método de la integración para calcularlo, ¿no? .   

Newton no llega de primeras a la fórmula \( \dfrac{MG}{R^{2}} \) matemáticamente, sino experimentalmente; y queda constancia de ello, creo recordar, en su obra “Philosophiae naturalis principia mathematica” o en otros apuntes. Lo sé porque lo leí no sé dónde. He leído bastantes cosas sobre Newton; por ejemplo, la biografía de Westafall, que es de las más “recientes” y es muy buena. Se basa en todos los documentos y en biografías más antiguas, como la primera, que es la de Conduitt (que era, por cierto, el marido de la sobrina de Newton y amigo personal, el cual estuvo como gobernador de Gibraltar poco después de que el almirante Rooke lo atacara y se hiciera con el Peñón; a principios del siglo XVIII, en la época que se dio la Guerra de Sucesión española, que a la postre cambió la monarquía de los Austria por la de los Borbón en España).

De hecho, Newton, usaba un cálculo diferencial muy primitivo; tanto, que no sabía que existía, usaba algo muy parecido que ideó él y a lo que llamaba cálculo con fluxiones. Es muy conocida la batalla legal entre Newton y Leibniz por el invento del cálculo diferencial. El calculo actual es mucho más parecido al de Leibniz, que fue el inventor de lo que modernamente conocemos como función. Es más, según creo recordar que también refleja el propio Westfall (que es inglés) hasta el momento que se dio la disputa, Newton no había mostrado hasta entonces (a nadie) documentos en los que tenía escritas unas “x” con unos puntitos encima (uno, dos...) que se traducían por lo que hoy es la “derivada primera”, “derivada segunda”, etc.; ésas eran las fluxiones, creo. Newton sí que usaba desde muy joven el binomio que inventó y, con eso, de forma intuitiva y también con ayuda de la matemática de Descartes y otros (que había estudiado) realizó los cálculos que le sirvieron para escribir el primer tomo de los Principia.

Él no necesitaba conocer el valor de la masa de la Tierra ni de G para medir la gravedad, sólo necesitaba estimar un valor K para MG (estimar el valor del producto) y postular que la aceleración era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; y haciendo varios experimentos de caída libre a distintas alturas lo comprobó.
...
La gente (incluso muchos profesionales) dan por hecho que antiguamente se sabían cosas que no se sabían, e inluso pasa mucho, también, que se dan por hecho cosas que no se saben con total seguridad en la actualidad. La ciencia avanza, cambia. Mi padre, por ejemplo, nació con el inicio del siglo XX, el primer año. Estudió ingeniería de caminos (la dejó en cuarto e hizo aparejadores, porque quería trabajar y ganar dinero) tenía unos conocimientos sobre física y matemáticas que en esa época no eran comunes, muy poco gente estudiaba y una gran parte de la población no sabía ni siquiera leer. Pues bien, conocía a Einstein de nombre y poco más; tampoco conocía la teoría de conjuntos, la conoció cuando vio mi libro del colegio, que estaba yo en Párvulos (que se llamaba así de verdad el curso, con ese nombre, y empezó a enseñarse entonces conjuntos en España). Sin ir más lejos, cuando yo mismo nací, faltaban algunos años para que Claus Jönsson hiciera por primera vez el experimento de la doble rendija con electrones, por poner un ejemplo. No existían las calculadoras, la gente hallaba los logaritmos con reglas de cálculo con las tablas de Vázquez Queipo... y así muchas cosas.

Con la época de internet, empezamos a intercambiar información y a fijar conceptos que, aunque a lo mejor estuvieran fijados, no estaban claros para muchísima gente, profesionales de la ciencia y no profesionales (no creo que yo sea una excepción; soy tonto, es cierto, pero no creo que sea el único). Y en eso ha ayudado, destacadamente sobre otras webs, este foro; en especial dentro del mundo hispano; y seguro que también algo en el resto del mundo.

Saludos.

[Richard R Richard]

Esto se llama poniendo de vuelta la otra mejilla, ya que es domingo... hay tiempo.

 tema 1

1) A lo largo de este hilo  he explicado que para el cálculo de la gravedad de  cuerpos másicos complejos utilizan  modelos ideales  más simples de dimensiones infinitesimales  y he puesto  varios ejemplos:
- Uno de ellos es el caso de un disco de radio R de espesor infinitesimal, el cual era dividido en anillo de radio variable R'  y anchura infinitesimal dR'. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elelin.html 
- Otro  es el mismo de la esfera hueca que estamos discutiendo, en el que de igual forma  la esfera se divide  de igual forma de anillos de radio variable y de anchura infinitesimal, \( Rd\theta \). http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Mechanics/sphshell.html#wtls
En el caso de casquetes esféricos de espesor finitos,  estos se pueden dividir en esferas huecas de radio variable ( entre el \( R_{máximo} \) y el \( R_{minimo} \) )  y  de espesor infinitesimal  dR. 
Y el espesor de estas esferas elementales no es cero sino tiene un espesor infinitesimal.

Ni  ni, ni so, no son las únicas formas de arribar a los mismos resultados, y como arriban a ellos de una manera no alocada, con simple lógica, los estimamos válidos.Pero recuerda esto que escribes " Y el espesor de estas esferas elementales no es cero sino tiene un espesor infinitesimal."

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Antes de entrar en el 2 La gravedad es explicada como un fenómeno de deformación del espacio-tiempo curvo de tres dimensiones espaciales y una temporal, en la cercanía de una fuente de energía.
El modelo matemático que explica esto es un tensor llamado energía momento, su igualación a característica geométricas del espacio se hallan las leyes que rigen  las trayectorias y movimientos posibles en él.
Cuando asume muchas implicaciones y en particular la conservación de la energía puedes decir que la gravedad se da en torno a concentraciones volumétricas de energía, es decir depende solo de características del espacio en 3 dimensiones de donde se halla la energía.
La forma más conocida de concentrar y almacenar energía en pequeñas regiones del espacio es la masa , esto está en relación a la conocida \( E=mc^2 \), y en ausencia de otras energías podemos decir lo siguiente :
Como c es una constante, la gravedad pasa a ser una función directa del contenido de masa en el espacio 3d.
Como experimentalmente se ha visto que la gravedad de distintos elementos es diferente, se ha determinado que lo útil es conocer la densidad volumétrica de esos elementos.
Para simplificar y hacer más didáctico decimos que las tres dimensiones espaciales son \( l,a \) y \( e \) para largo, ancho y espesor.
Definimos la densidad volumétrica como \( \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{l\cdot a\cdot e} \)
En condiciones ideales de densidad constante en la materia podemos expresar esta densidad a partir de diferenciales \( \rho=\dfrac{dM}{dl\cdot da\cdot de} \)
Con esta densidad podemos resolver todos los problemas de la física, pero en ciertas ocasiones hay cálculos redundantes y la resolución de integrales triples para regiones de geometría no simétrica se complican, la experiencia nos lleva a tomar operaciones similares que las simplifican tomando por válidos algunos supuestos, que no cambian el resultado final de la operación matemática pasando de integrales triples a dobles y hasta simples.
Uno de esos supuesto pasa cuando una de las dimensiones es muy reducida frente a las otras 2 decimos que \( l\cong a>>e  \) o sea el espesor es muy pequeño frente a las dimensiones de largo y ancho, esto tiene relación con las distribuciones de masa superficiales o en capas.
Bien volviendo al tema del hilo el cascaron esférico se caracteriza por tener \( l=a=2\pi R_{ext} \) si tomamos como dimensión característica al radio exterior, pero el espesor  es \( e=R_{ext}-R_{int} \) en el contexto de la figura cascaron tenemos que \( e<<l=a=2\pi R_{ext} \)   en estas condiciones si asumimos densidad volumétrica constante durante la variación del espesor, podemos decir y establecer que \( e\rho=\dfrac{M}{la}=\sigma \) es decir que asumimos que la masa está distribuida sobre la superficie exterior.
¿Es útil  hacer esto ? sí, cuando es útil cuando no estamos analizando nada que pase en el interior de dicho cascarón, es decir cuando \( r>R_{ext} \) y cuando \( r<R_{int} \), cuando quiero ver lo que pasa al interior no queda otra que ir a la expresión diferencial.
y ver que \( de\rho=\dfrac{dM}{da\cdot dl} \) pero aquí esta lo que no entiendes la densidad superficial tiende a cero ya que \( de\rho\to 0 \)
Así que si quieres ver qué pasa cuando \(  r>R_{ext} \) y cuando \( r<R_{int} \) te sirve la expresión basada en sigma ya que no analizas nada dentro del espesor,  pero cuando r=R esa expresión debe remplazarse por la que le dio origen \( de\rho \)  el espesor deja de ser una variable que no afecta al resultado.
En resumen, sigma es la concentración de la masa en una superficie que la consideras de espesor nulo para simplificar cálculos, cuando no quieres saber lo que pasa dentro.
cuando \( r=R \) en el problema que nos traes, estás justamente queriendo saber por lo que hay dentro y entonces usas la integral que ya ha hecho el supuesto que no puede ser usada para explicar lo que pasa allí dentro,¡adrede! o o sin saberlo da lo mismo... por eso lo que obtienes no tiene ningún sentido físico , ni matemático como ya se te explicó.
Ahora vayamos por el concepto de diferencial un elemento diferencial esta contenido por un límite inferior y uno superior, en el caso del espesor del casquete esférico son superficies de radios \( R_{ext} \) y \( R_{int} \), el contenido al interior de esas superficies lo puedes dividir  en la cantidad que quieras de sub intervalos  y hacer tender esa cantidad a infinito, aun así cada subintervalo tendría un espesor mayor a cero y nunca cero , sabemos que la masa del cascaron es M por lo que  con poco error podemos decir que la masa de cada subintervalo es el valor de la masa dividido el número de intervalos a eso lo llamamos \( dM=Mde \).
Bien pero cuando asumes que sigma es una distribución superficial estas diciendo que la masa está contenida entre dos superficies que tiene el mismo diámetro exterior y el mismo diámetro interior, por lo que será cierto que asumes que la densidad volumétrica la consideras infinita en esa superficie, bien , pero ahora tú quieres ver que pasa dentro de esas dos superficies separadas a espesor cero, pues tu modelo de pensamiento con sigma densidad superficial no sirve, tienes volver al tablero e ir al modelo volumétrico....queda claro?
Quizá una imagen valga más que mil palabras.

 tema 2

   2) Las esferas huecas de espesor infinitesimal  que estoy hablando,  son esas infinitas esferas en las que se ha dividido el casquete esférico de espesor finito, de espesor dR, pero con un radio R y una  masa M  determinada en vez de una masa  diferencial, dM, del casquete esférico.
   Estas son las esferas huecas de espesor infinitesimal que estoy hablando no sé si son del análisis standard o del análisis no standard, esto  no recuerdo que lo explicaran durante la carrera de física. Lo que tengo muy claro es que el espesor no es nulo y al tener un  volumen diferencial,  sólo puede describirse con  una densidad superficial \( \sigma \).

Reitero  , ¡no!, Por todo lo antes expuesto ...si tiene espesor diferencial, su masa es diferencial, si es una idealización de una superficie de espesor nulo con masa entonces su valor de densidad superficial es  sigma.

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tema 3

  3) Supongamos una esfera hueca de masa M, ¿si  el espesor de la esfera es infinitesimal , cuánto vale su \rho?
  para contestar sólo hay que calcular su volumen, el cual es un volumen infinitesimal como ya he dicho en el hilo varias veces también y por lo tanto  \( \rho = \frac{M}{dV}= infinito \).   \( \rho \) es infinito en este caso. Por lo tanto, no tiene sentido decir que  la esfera hueca de espesor infinitesimal tiene una densidad volumétrica.
       Lo que sí tiene sentido es decir que tiene una densidad superficial \( \sigma=\frac{M}{4\pi R^2} \) siendo R el radio de la esfera.

\( \rho \) es constante  una propiedad física de la materia \( \sigma \) es una idealización, no una propiedad física.
en todo caso, siempre, reitero siempre \( \rho=\dfrac{dM}{dV} \)
Lo que no tiene sentido es dar propiedades físicas a la densidad de masa superficial pues tal cosa es una idealización matemática, un recurso que nos ahorra un montón de cálculos, o bien a veces solo una integral irrisoria, que igual se evita para no complicarle la vida a los estudiantes con sandeces y solo quede a vista el planteo principal.

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tema 4

4) Yo no digo que la gravedad sea discontinua en nuestra realidad, lo que yo estoy mostrando es que el cálculo  de la integral obtiene como resultado una discontinuidad  para r=R y he explicado aquí  cómo se resuelve esta discontinuidad, cosa que desde el punto de vista oficial no se puede explicar.
    Como he explicado, apoyándome en el teorema de Gauss y utilizando una superficie cerrada que cubra ambas regiones del espacio ( zona interior y zona exterior), esta discontinuidad no existe y lo que ocurre es que: 
   - En ambas superficies (interior y exterior) de la esfera la gravedad es        \( g=\frac{GM}{2R^2}=2\pi G \sigma \)
  - Conforme nos alejamos de ambas superficies la gravedad disminuye de ese valor,   de forma continua hasta que en un punto del interior de la esfera la gravedad se hace cero.  A partir de esa  misma distancia en el exterior de la esfera la gravedad se comportará conforme a la expresión oficial
                 \( g=\frac{GM}{r^2} \).
     - En resumen, en la gravedad no hay discontinuidad y además sólo se modifica las zonas cercanas a la esfera respecto a la oficialidad quedando a distancia superiores las expresiones de la gravedad que conocemos oficialmente.

No. Tu solo eres el que plantea que es cierta una distribución superficial de masa, cosa que te demostré  que no es verdad, y porque tu piensas que es así te sale una discontinuidad y todo lo que venga de allí no tiene sentido alguno.
La divulgación oficial hace uso de un recurso matemático, y no afirma nada de la gravedad donde no puede hacerlo, eso corrió por tu cuenta cuando te equivocas al de conceptos.
El teorema de Gauss o de la divergencia, te dice que el flujo del campo de cada elemento de masa, está en relación a la masa encerrada por la superficie, una línea de flujo empieza en un elemento de  masa y termina en el infinito.
En el exterior las líneas atraviesan la superficie una vez, y contribuyen al cálculo de \( g=\dfrac{GM}{r^2} \) en distribuciones de simetría esférica donde r es la distancia al centro de la distribución.
Todos los elementos de masa sobre la superficie interior tienen sus líneas de campo en la forma que para llegar al infinito deben atravesar la superficie de una esfera interna dos veces: una entrando y otra saliendo. Sus contribuciones se suman, y por ser opuestas en signo y de igual módulo se cancelan, quedando al interior gravedad nula. ¡¡¡¡Punto!!!! no confundas a nadie. El que no conoce las implicancias del teorema de gauss eres tú.

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 tema 5

5) Supongamos que estamos viviendo en la época de Newton y somos estudiantes de física que vamos a calcular la gravedad que genera una esfera hueca de espesor infinitesimal.  Aquí sólo existía el método de la integración para calcularlo, ¿no? .
Por otro lado , para todos los físicos desde Newton hasta ahora, nos han explicado que la gravedad en la superficie exterior de la esfera hueca de espesor infinitesimal tiene la expresión:
                       \(  g=\frac{GM}{R^2} \) 
     Pregunto: ¿Cómo es posible obtener, en aquella época,  que la gravedad en la superficie exterior, r=R, mediante la integración  sea  \(    g=\frac{GM}{R^2} \)  ?.
      Es imposible obtener esto haciendo bien la integral y es fácil obtenerlo  si el cálculo de la integral no lo hacemos correctamente, lo cual por lo visto aquí es muy fácil que esto ocurra.
        Es fácil obtenerlo, si suponemos que  r es cualquier punto exterior y no advertimos que al realizar  la integral, la gravedad  está indeterminada para r=R, como he dicho muchas veces, entonces cuando llegas a la ecuación final obtenida \(  g=\frac{GM}{r^2}  \)         especifica  que es para todo  punto, r , exterior y  entonces supones que si r=R la gravedad es  \( g=\frac{GM}{R^2} \).
              No veo de ninguna otra forma que se llegara a esta deducción. Pero está claro, por todo lo que hemos visto aquí,  que existe un error durante el proceso de cálculo en el que se debía haber excluido  los puntos r=R, para esta ecuación final.
   Por lo tanto la integral está mal realizada pues no especificaba que la expresión  \( g=\frac{GM}{r^2} \)  es válida sólo para r>R.
   Si hacemos correctamente la integral para r=R, entonces la única ecuación final que se puede obtener es
         \( g=\frac{GM}{2R^2} \) =\( 2\pi G \sigma \) (es la gravedad  que genera de un plano infinito de espesor infinitesimal).
   Pero indicar  por enésima vez que lo obtenido en la integral para r=R, es lo que debería ser, pues  la gravedad  que genera  una esfera hueca de espesor infinitesimal con una \sigma determinada  en su superficie r=R, es igual a la gravedad en su superficie de un plano infinito de espesor infinitesimal con la misma \sigma. Y como es lógico la expresión analítica de la gravedad es igual para todas las esferas y cualquier esfera de este tipo de radio R, debe tener la expresión  \( g=2\pi G \sigma  \)     por tanto.
   Con ello el puzle cuadra perfectamente. 
   Si partimos de que para r=R  \( g=\frac{GM}{R^2}= 4\pi G \sigma \) , como se dice oficialmente,  entonces al hacer aumentar el radio y hacerlo  el radio infinito llegaríamos a la contradicción de que
                         \( 2\pi G \sigma=4\pi G \sigma \). Lo cual es una total incoherencia.

No, en  la época de Newton no existía el cálculo diferencial, Newton mostró experimentalmente o bien "empíricamente" que la fuerza de atracción planetaria dependía del inverso del cuadrado de la distancia que separaban los astros.
Las técnicas pulidas de dichas o modelos matemáticos que vinieron  luego para calcular como es esa fuerza a distancia , provienen de varios matemáticos que modelaron el cálculo, entre ellos uno que dio el puntapié inicial  también fue Newton.
¿Has pasado alguna vez a leer la obra de Newton? https://es.wikipedia.org/wiki/Philosophi%C3%A6_naturalis_principia_mathematica
Todo lo que deduces son elucubraciones sin sentido, Newton jamás avalaría lo que dices. Ninguno aquí de foro tampoco eso está por demás de claro en todas las respuestas que recibiste. Unos te lo dijeron a secas, y otros aparte intentamos que aprendas la historia, y las ecuaciones correctas.

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 tema 6

6) Para entender lo que explico no se necesitan grandes conocimientos de matemáticas, sólo de integración y  del teorema de Gauss. También se necesita olvidarse de lo que conocemos y llegar, nosotros mismo con nuestros cálculos, bien hechos, a los resultados verdaderos. Y lo que más se necesita es no tener miedo a lo que se obtenga por muy disruptivo que esto sea. Todo está basado en cálculos matemáticos y lógica muy simple. Así llegaréis a hacer el puzle perfectamente, puzle que desde el punto oficial está totalmente desencajado.

¡Ja ja! como vamos a olvidarnos de lo que conocemos,  es al contrario tú tienes que comenzar a conocer como es en realidad, el modo disruptivo , no existe, tú te formulas un concepto que lo precisa y encima no es correcto.
Nuestro puzle está en paz... no necesita corrección.

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      Un saludo

Otro saludo.

[DCM]

    Hola a todos de nuevo, 
1)  Richard, he entendido que aceptas que en una esfera hueca de espesor infinitesimal se pueda considerar una densidad de masa superficial, \( \sigma \), para punto que \( r> R_{ext} \). Esto ya es un buen comienzo.
      Pero ¿qué pasa en \( r=R_{ext} \)?. Pues aquí el punto r  aún no está en el interior  del espesor está en la misma situación que cualquier punto \( r>R_{ext} \), y ve la misma distribución de masa, por lo tanto lo que aceptemos para los puntos  \(  r>R_{ext} \) también es aceptado para puntos r=R.
    No hay diferencia entre un punto que está en \( r=R_{ext }+ 10^{-5000} \) y un punto que está en \( r=R_{ext} \).  Ven la misma distribución de masa.
  Por lo tanto la consideración de una \( \sigma \) de las esferas huecas de espesor infinitesimal es válida  para los puntos exteriores \(  r\geq R \), siendo R el radio de esta esfera.

   2) Richard, llevamos más de 2 meses con el concepto de una esfera hueca de espesor infinitesimal y creo que todavía no se ha entendido. 
               Cuando me he referido en mi anterior mensaje, a que un casquete esférico de espesor finito se podía descomponer en infinitas esferas huecas de espesor infinitesimales con un dM,  era para que entendamos a qué se refiere  el concepto de espesor infinitesimal. Esto es imposible de poner en una imagen, como tú has hecho, yo diría que en este caso la imagen nunca podrá expresar este concepto. Has destrozado el concepto de espesor infinitesimal  pues ese espesor infinitesimal que has pintado, tendrías haber dicho, que realmente este  espesor pintado debe dividirse en infinitos espesor iguales y cada uno de esos espesores sería el espesor infinitesimal y entonces la persona que lee esto entenderá  que  en una esfera  hueca de espesor infinitesimal se pueda definir una \( \sigma \)  pues se parecería a la imagen que hay a la derecha de la imagen.

        Estas esferas huecas de espesor infinitesimal  de las que estoy hablando tienen una masa M finita, genérica y no una masa dM. Este es el modelo que estoy planteando desde el principio. 
          Lo que estoy proponiendo desde el principio es un modelo idealizado  para estudiar la gravedad y  no otro. Es el modelo más simple posible  que se asemeja a la realidad, es decir, una esfera hueca de espesor pero éste es el más pequeño posible, pero tiene una masa M y un radio R, finito ambos.
     Si alguien quiere opinar sobre el tema debe ser con estos parámetros. Por favor este es el problema a analizar, es el problema de examen y no se puede cambiar el enunciado.
   Entonces estas esferas huecas de espesor infinitesimal decidme,¿ cuánto vale  su densidad volumétrica \( \rho \)?  esto es lo que hay que responder.    Pues  la respuesta es \( \rho= \frac{M}{dV}=infinito \) y ya está. Por lo tanto no  tiene sentido definir la \( \rho \) en estas esferas.
     Pero su espesor es tan, tan, tan pequeño, inimaginable que se puede considerar que tiene una densidad superficial \( \sigma=\frac{M}{4\pi R^2} \), siendo R el radio de la esfera. Y por lo tanto el cálculo integral de estas esferas huecas de espesor infinitesimal es idéntico al descrito en la página de la discordia que presenté al principio del hilo.  

2) Después de dejar claro el problema de examen que queremos resolver, recuerdo  que la integral para r=R se puede calcular como hemos visto y sale la mitad de lo que dice la oficialidad. 
       No conozco ningún teorema de matemática o alguna referencia en algún libro o en internet que indique que esta integral no se deba o pueda realizar en r=R. Por favor si existe algo de esto informad aquí.
   Richard el problema  que tienes con la integral en r=R, es  que el resultado que sale  es muy bonito, la mitad  de la oficialidad y además coincide con la expresión del campo que crea un plano infinito de espesor infinitesimal, lo cual es lo que debería ser. 
        No quieres que se haga la integral en r=R pues sabe que esto rompe con todo lo que conocemos de la gravedad, pero eso es lo que sale. No hay mentiras aquí por mi parte.

3) Aquí quiero hacer una parada para hablar de las líneas de fuerzas que has comentado. 
   No sé si he entendido bien pero  has dicho que la línea de fuerzas deben atravesar la materia para intentar explicar que la gravedad en el interior de la esfera hueca es cero.
      Bueno las líneas de campo o fuerzas no atraviesan la materia, salen de ella  hacia el exterior, no la atraviesan, con lo que  la demostración no es correcta.     Pero voy a explicarte lo que ocurre realmente. 
   En primer lugar decir que  estas líneas son una representación gráfica de la distribución del campo gravitatorio, el campo es lo que existe realmente  y las líneas de fuerza sólo tratan de plasmar gráficamente esta distribución mediante unas reglas arbitrarias definidas.

      Por ejemplo para una esfera maciza, las líneas de fuerza empiezan en  la masa creadora del campo, donde el campo alcanza su máximo y va disminuyendo  inversamente con \(  r^2 \). En los sitios donde hay campo g\neq 0  hay líneas de campo y en los que que el campo  g= 0  no hay líneas de campo.  Por lo tanto en el infinito no puede haber líneas de campo y esto podría significar  que las líneas terminan en el infinito. Aunque esto es lo que quiero matizar como que no es correcto al 100%.
    Aquí quiero introducir una nueva idea , la cual  es que las líneas de campo  terminan y desaparecen en   puntos donde  el campo gravitatorio es nulo.  Para cualquier masa, a una distancia  infinita el campo gravitatorio es nulo, por lo tanto no hay líneas de campo allí . Al acercanos a la masa desde el infinito , el campo ya no  es nulo y esto se representa con el nacimiento de las líneas de campo. Por eso en todas las biografías indican que  las líneas de campo terminan en el infinito. 
   Por lo tanto  lo dicho "La línea de flujo empieza en un elemento de masa y termina en el infinito" no es cierto al 100%. Lo que sí es cierto es que la línea de flujo empieza en un elemento de masa y termina en un  punto donde el campo se anula.  Para una masa maciza la frase entre comillas  es totalmente correcta pero veamos lo siguiente.

   Con esto dicho, vamos al caso de una esfera hueca de espesor infinitesimal.
    En este caso para puntos de la superficie exterior, las líneas de campo empezarán en la masa de la superficie exterior y terminarán en el infinito, pero en la superficie interior  las líneas empezarán en su superficie y terminarán en  puntos del interior de la esfera donde la gravedad sea cero. Pero sabemos que al menos hay un punto como mínimo que es el centro de la esfera  donde la gravedad es  cero con lo que  podría ser el lugar donde terminan las líneas de campo.
     De esta forma no hay que cruzar las líneas de campo a través de la materia, lo cual era imposible.

4)  Richard piensas que la oficialidad todo está en regla y el puzzle  encaja perfectamente, pues entonces será fácil  que demuestres lo que dices, para esta esfera hueca de espesor infinitesimal:
   a) Demostrar que  mediante  el método  matemático de integración,  que la gravedad  en la superficie exterior   es   \( g=\frac{GM}{R^2} \),  sin utilizar nada de esferas huecas de espesor finito, por el motivo explicado por mi ampliamente.
   b) Demostrar que  mediante  el método  matemático de integración,  que la gravedad  en la superficie interior  es   g=0  sin utilizar nada de esferas huecas de espesor finito, por el motivo anterior.
   c) Demostrar mediante el teorema de Gauss, haciendo una ÚNICA  superficie cerrada y simétrica a la geometría de esta esfera, que la gravedad en la superficie exterior e interior, coincide con los puntos a) y b). Siempre en todos los análisis que he visto en la oficialidad se utilizan 2 superficies cerradas una en el exterior y otra en el interior pero realizando el cálculo por separado, no al mismo tiempo con lo cual no parece que se esté utilizando 2 superficies cerradas  gaussiana.
   d) Demostrar que el campo de un plano infinito de espesor infinitesimal es idéntico al plano de una esfera hueca de espesor infinitesimal, en la superficie exterior de ambas.

  Yo sí he demostrado aquí que en este hilo:
 En el a)\(  g =\frac{GM}{2R^2} \)
 En el  b) \( g =\frac{GM}{2R^2} \)  lo he demostrado con el teorema de Gauss con 1 única superficie cerrada que engloba simétrica a ambas superficies de la esfera (interior y exterior),  aunque se puede demostrar con el cálculo integral de igual forma que lo he realizado el punto a).
 En el c) Demostrado que por el terorema de Gauss hay concordancia con el método de integración para r=R y sale lo mismo que los punto a) y b).
 En el d)  Demostrado también.
   Hay mucho que encajar según veo en la oficialidad.
  Un saludo.

[Richard R Richard]

1)  Richard, he entendido que aceptas que en una esfera hueca de espesor infinitesimal se pueda considerar una densidad de masa superficial, \( \sigma \), para punto que \( r> R_{ext} \). Esto ya es un buen comienzo.

No todo lo contrario , no has leído un ápice de lo que publiqué,  no es un buen comienzo, es un mal fin para mi intento de explicarte tu error conceptual.

      Pero ¿qué pasa en \( r=R_{ext} \)?. Pues aquí el punto r  aún no está en el interior  del espesor está en la misma situación que cualquier punto \( r>R_{ext} \), y ve la misma distribución de masa, por lo tanto lo que aceptemos para los puntos  \(  r>R_{ext} \) también es aceptado para puntos r=R.
    No hay diferencia entre un punto que está en \( r=R_{ext }+ 10^{-5000} \) y un punto que está en \( r=R_{ext} \).  Ven la misma distribución de masa.
  Por lo tanto la consideración de una \( \sigma \) de las esferas huecas de espesor infinitesimal es válida  para los puntos exteriores \(  r\geq R \), siendo R el radio de esta esfera.

No, por enésima vez no, \( \sigma \) no representa una masa que tiene un espesor infinitesimal, sino que \( \sigma \) representa una masa dividida por la superficie de una esfera de radio \( r \), esa superficie tiene  "como todas las superficies en geometría elemental" espesor cero, "0", zero  , o 0 , en el idioma que quieras o notación que quieras es nulo el espesor , nunca, nunca, nunca infinitesimal.


Si vas a seguir discutiendo  eso , es inútil explicar nada más , jamás entenderás porqué es válida la integral y porque en \( r=R \) la función diferencial de fuerza tiene una discontinuidad, la que tu sí ya aceptaste varios mensajes atrás.
 
Si la esfera hueca tiene espesor infinitesimal, su masa es infinitesimal también, si reduces el espesor, reduces su masa.

   2) Richard, llevamos más de 2 meses con el concepto de una esfera hueca de espesor infinitesimal y creo que todavía no se ha entendido.
               Cuando me he referido en mi anterior mensaje, a que un casquete esférico de espesor finito se podía descomponer en infinitas esferas huecas de espesor infinitesimales con un dM,  era para que entendamos a qué se refiere  el concepto de espesor infinitesimal. Esto es imposible de poner en una imagen, como tú has hecho, yo diría que en este caso la imagen nunca podrá expresar este concepto. Has destrozado el concepto de espesor infinitesimal  pues ese espesor infinitesimal que has pintado, tendrías haber dicho, que realmente este  espesor pintado debe dividirse en infinitos espesor iguales y cada uno de esos espesores sería el espesor infinitesimal y entonces la persona que lee esto entenderá  que  en una esfera  hueca de espesor infinitesimal se pueda definir una \( \sigma \)  pues se parecería a la imagen que hay a la derecha de la imagen.

Correcto, si lo divido más, cada porción que quite se lleva masa... quedandome con el mínimo de ella en el espesor  y masa infinitesimales de la capa mas pequeña que puedas imaginar, ese valor tiende a 0 y no a \( \sigma \).

        Estas esferas huecas de espesor infinitesimal  de las que estoy hablando tienen una masa M finita, genérica y no una masa dM. Este es el modelo que estoy planteando desde el principio.

Ahora sí, has planteado bien el error garrafal que cometes, eso no es cierto ni en física,(porque no representa a la naturaleza) ni en matemáticas(porque así no es el modelo que plantea la integral de la que trata el hilo, la superficie que tu citaste al origen del hilo tiene espesor nulo, Ni siquiera representa al problema que vienes a intentar derribar que supone espesor cero).
 
Y Sí, sí y sí las esferas de espesor infinitesimal tienen masa dM, por fin se te a ocurrido plasmar que la idea la conoces, aunque sea mal.


 

          Lo que estoy proponiendo desde el principio es un modelo idealizado  para estudiar la gravedad y  no otro. Es el modelo más simple posible  que se asemeja a la realidad, es decir, una esfera hueca de espesor pero éste es el más pequeño posible, pero tiene una masa M y un radio R, finito ambos.

Por favor un ejemplo!!!!ya.
No hay nada en la naturaleza de espesor diferencial o infinitesimal que tenga masa finita no infinitesimal, pues eso hace de lo que este constituido esa superficie que su densidad  sea infinita, lo cual no puede ser cierto,  en física al menos, todas las discusiones en física tienden a que no hay infinitos de ninguna naturaleza aún en las singularidades, puesto que desconocer no significa afirmar lo que allí las matemáticas pronostican.

 

     Si alguien quiere opinar sobre el tema debe ser con estos parámetros. Por favor este es el problema a analizar, es el problema de examen y no se puede cambiar el enunciado.

Dime donde en el enunciado el espesor de la capa sigma es infinitesimal ?, citalo for favor, aver cual es el enunciado que tu leíste y ninguno de nosotros no.
   
 

Entonces estas esferas huecas de espesor infinitesimal decidme,¿ cuánto vale  su densidad volumétrica \( \rho \)?  esto es lo que hay que responder.    Pues  la respuesta es \( \rho= \frac{M}{dV}=infinito \) y ya está. Por lo tanto no  tiene sentido definir la \( \rho \) en estas esferas.

Por supuesto la densidad de una esfera de espesor infinitesimal tiene densidad volumétrica \( \rho \) definida como el cociente \( dM/dV \) , no el que tu dices, el tema es que te empeñas que la masa es M y no dM como es en realidad, M y sigma son modelos matemáticos que ejemplifican la resolución pero que cuando tomas r=R cometes el error de plantarte en los únicos puntos donde no se puede, que son los de la superficie porque allí no puedes definir la distancia entre la masa que gravita y el punto en que quieres medir "m" la gravedad provocada por esa masa , pues son el mismo punto!!!!!
\( s=0 \) es un error garrafal de concepto que tu introdujiste adrede, y luego te lanzas con el diferencial de fuerza como \( \dfrac {GM}{s^2} \) , la integral no fue planteada para que pudieras evaluar en \( s=0 \) entiendes o no?

 

     Pero su espesor es tan, tan, tan pequeño, inimaginable que se puede considerar que tiene una densidad superficial \( \sigma=\frac{M}{4\pi R^2} \), siendo R el radio de la esfera. Y por lo tanto el cálculo integral de estas esferas huecas de espesor infinitesimal es idéntico al descrito en la página de la discordia que presenté al principio del hilo.

Entiendo lo que dices.... Pero no es cierto , 
Situacion A) \( \sigma \) con espesor cero  por un lado o

situación B) \( \rho \) con espesor \( dr>0 \), 

la integral que inicia el hilo es SITUACION A, no hay espesores infinitesimales, lo infinitesimal es el ángulo \( d\theta \) y eso no es el espesor.

eso lo propones tú , tú pretendes que sean lo mismo cuando no lo son, y eso tiene las consecuencias de un hilo interminable.

2) Después de dejar claro el problema de examen que queremos resolver, recuerdo  que la integral para r=R se puede calcular como hemos visto y sale la mitad de lo que dice la oficialidad.

Relee la página que citas dime donde habla de espesor infinitesimal? Fijate el problema que quieres resolver , el diferencial es del ángulo , no del espesor!!!!

\( dM=\sigma 2\pi R \sin\theta R d\theta \) se ve claramente o no?

Acaso no ves, que aun teniendo una densidad \( \sigma \) , la masa de todo ese aro perteneciente al casquete de espesor nulo definido como \( d\theta \)  sigue siendo diferencial es decir "próxima a cero" , donde dice que es la masa total  M contenida en ese espesor ? que espesor ? en ningún lado, tu te lo inventas.

Luego lo que se hace es sumar todas las contribuciones de fuerza para los distintos ángulos \( \theta \) si tu propones \( r=R \) o \( s=0 \)

cuando \( \theta \ d\theta=\dfrac{s \ ds}{Rr} \) tu haces que \( \theta \) sea 0 pero a la vez pones a la masa \( m \) de la que nunca hablas ubicada dentro de la superficie , haciendo de esa igualdad un desastre. Reemplaza a ver que queda

\( \theta \ d\theta=\dfrac{0 \ ds}{R\cdot R} \) !!!!!!!!!!!!! ds que es en esta conversión o cambio de variables?, ves qu si s=0 dicho cambio no se puede hacer y no llegas ni a plantear la integral!!!! si no es infinito , es  indeterminado, o cualquier yerba, pero solo sucede porque tu quieres que suceda,  no porque  así ha sido propuesto.

La matemática te da armas para resolver, para ir a la guerra intelectual , no para dispararte en el pie y solo pretende que las sepas usar.

Reitero  tu resultado  solo sucede por tu pretensión y mal concepto del uso para el cual fue definida la integral, los físicos y matemáticos comprenden de que se trata, tu tienes que asimilarlo todavía.

       No conozco ningún teorema de matemática o alguna referencia en algún libro o en internet que indique que esta integral no se deba o pueda realizar en r=R.

Ni te hace falta , porque una integral ,es una sumatoria de muchos pequeños sumandos,  pero ya te das cuenta que si tienes uno que aporta infinito cuando s=0, para que seguir sumando, si vas a obtener cualquier cosa.
Es básico en el cálculo eso, no soy matemático, supongo que tal teorema debe existir, no  creo que se pueda afirmar mucho del resultado de una integral definida cuya función integrada no es continua o tiende a infinito en algún punto.

   Richard el problema  que tienes con la integral en r=R, es  que el resultado que sale  es muy bonito,

Tan bonito  que le hacemos un cuadro como a la Gioconda,lo ponemos al lado, los observamos y nos preguntaremos si sirven para algo ambos?

Luego te metes con otras cosas que ni ganas da.


Saludos

[DCM]

Hola a todos,

   1) En primer lugar decirles  que este hilo lo comencé  el 22 de marzo de este año. Siempre   he considerado que la esfera  hueca del enlace era una esfera hueca de espesor infinitesimal, debido a que esto lo recordaba haber estudiado en la carrera de Físicas. Luego me di cuenta, por los mensajes que recibía,  que había personas que  entendían que el modelo del que  estábamos hablando era  el de la  esfera hueca pero de espesor cero. Para mí desde siempre tanto  el modelo de esfera hueca  de espesor cero como de espesor infinitesimal tenían una \( \sigma = \frac{M}{4\pi R^2} \), siendo M, R  la masa y el radio de la esfera hueca.

      Por eso  en  mi publicación del 30 de marzo, traté de dejar claro de qué modelo estamos hablando,  aunque  he tenido que  repetirlo muchas veces a lo largo del hilo, por favor revisarlo.
   cita del 30 del Marzo:

  "Hola a todos de nuevo y  en primer lugar les doy las gracias por todo lo que me han aportado en este hilo.

    Para centrar el tema, se trataba de analizar el  modelo ideal  de  una esfera hueca de espesor infinitesimal de radio R y masa M,  analizar si los resultados oficiales de  la gravedad  eran correctos para todos los puntos exteriores  de la esfera incluidos los de su superficie. Analizando este tema con el propio modelo sin entrar, por el momento,  sistemas más complejos que conllevan espesor  finito por el motivo que veremos al final. Debemos aclarar este sistema simple por sí solo y luego lo que obtengamos debemos de expandirlo a sistemas más complejos.

    Haciendo el cálculo integral de esta esfera tenemos que el resultado matemático es:

    r > R    \( g=\frac{GM}{r^2} \)

   r = R      \( g=\frac{GM}{2R^2} \)

   Por lo tanto ya tenemos que para r=R   una diferencia con lo que oficialmente se sabía, sale la mitad de lo esperado.

     Pero ¿esto tiene realmente  significado físico?.  Pues aquí está el problema que yo creo que sí y Vds creen que no.

           Lo primero y muy importante es  indicar que  para r = R   g=\frac{GM}{2R^2}=2πGσ

         g=2πGσ es la gravedad que genera un plano infinito de espesor infinitesimal.
     
     El significado físico de esto es que  la gravedad que existe en la superficie exterior de esta esfera es  igual que la que genera un  plano infinito de espesor infinitesimal. "

    Richard  siempre he estado hablando del mismo modelo de esfera hueca, siempre la del espesor infinitesimal, lo he dejado muy claro prácticamente desde el principio.

   2)   También hay un punto que debo dejar claro y es: la expresión matemática del campo creado  tanto una esfera hueca de espesor cero como una de espesor infinitesimal,  son iguales.
        Por ello, cuando se hace el cálculo  integral de la gravedad que genera un casquete esférico de espesor finito, mediante la integración de los campos que crean estas infinitas esferas huecas de espesor infinitesimal  en que se divide dicho casquete, en este caso  se sustituye el campo de estas esferas huecas de espesor infinitesimales por el de la expresión del enlace inicial:
       La expresión del campo gravitatorio,  para cualquier punto r  en la zona exterior de la esfera hueca, del enlace es :
        \(  g= \frac{GM}{r^2} \) (Obtenido oficialmente)
       Por lo tanto  para una esfera hueca de espesor infinitesimal sería entonces:

           \( g=\frac{GM_{esfera hueca}}{r^2} \)

   pero en este caso particular, de un casquete esférico, la masa que representa cada  una de las  infinitas esferas hueca  de espesor infinitesimal es una porción infinitesimal de la masa M total del casquete esférico y por tanto    \( M_{esfera hueca}= dM \)

     Por lo tanto    cada esfera hueca  de espesor infinitesimal tiene un campo gravitatorio, para un punto r, exterior de la esfera   \(  dg=\frac{GdM}{r^2} \)
      Luego la integración de estos diferenciales de campo gravitatorio dará lugar a la obtención del campo gravitatorio  que crea el casquete esférico de espesor finito
           \(  g=\frac{GM}{r^2} \)  (recuerdo que esta expresión es desde el oficialismo)

      Recalcar que igual que ocurre con la esfera huecas de espesor infinitesimal y de espesor cero en sus respectivos campos gravitatorio,  ocurre con los anillos de anchura infinitesimal, dR', en que se divide un anillo respecto a anillos de anchura cero. De igual forma ocurre como podéis ver en el enlace inicial, con las anillos de anchura cero y los anillos de espesor infinitesimal, \( Rd\theta \), en que se dividen la esfera hueca.

       Con esto queda demostrado que la expresión del campo gravitatorio de una esfera hueca de espesor infinitesimal, para  puntos exteriores  \( r\geq R \), es igual al de una esfera hueca de espesor cero.
     Por ello podemos referirnos a las ecuaciones oficiales de la gravedad de esferas huecas de espesor infinitesimal como las que aparecen en el enlace donde comenzó el hilo.

  3)  Richard, ambas  esferas huecas con espesor cero o  con espesor infinitesimal, son modelos matemáticos y no  son  una representación en la realidad, son modelos simples para poder analizar modelos más complejos. Y de esta forma acercarnos cada vez más a la realidad.

   Dentro los 2 modelos anteriores, el que está más cerca de la realidad es el de espesor infinitesimal, pues al menos tiene un espesor  aunque es el más pequeño posible, inimaginable de forma que todo es como si toda la masa estuviera encerrada en una superficie esférica.

   Para estudiar el campo gravitatorio que crean  estos  modelos se necesita dar un valor determinado de masa  M a cada uno de ellos y en eso no hay problema alguno. Si no lo hay para un modelo de espesor cero tampoco debe  haberlo para uno con espesor infinitesimal.

    Ambos modelos no son reales, sólo sirven para hacer el cálculo de esferas huecas reales  de una forma más sencilla y siempre deben tener una masa M determinada que aparece en las ecuaciones del campo gravitatorio.

   Por lo tanto el modelo de esfera hueca de espesor infinitesimal de radio R y masa M finita, es totalmente legítimo y como consecuencia de ello, la aparición de la \sigma de esta esfera como \( \sigma=\frac{M}{4\pi R^2} \).

4)   Richard, estás tratando de crear dudas sobre mi cálculo de la integral para r=R y eso no lo puedo consentir. Te adjunto la cita donde lo resolví y verás que durante el  proceso de cálculo nunca se ha llegado a tener ningún problema con s=0, pues como ves los límites de la integral están entre \( \epsilon \) y \( \pi \) .  No te preocupes que si hubiera habido algo incorrecto hay aquí bastantes matemáticos para haberlo denunciado en su momento.

   Por lo tanto lo que dices es totalmente incorrecto y mi forma de calcular la integral para r=R es totalmente correcta.

     A continuación voy a hacer el cálculo de la gravedad de la esfera hueca de espesor infinitesimal para r=R, basándome en el siguiente enlace ya conocido:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Mechanics/sphshell.html#wtls

 


   Como podéis ver en esta página la esfera se ha descompuesto en infinitos anillos masivos de anchura diferencial  \( d\theta \) y cada anillo está situado  respecto del punto de medida a la distancia r del centro de la esfera con 2 ángulos \( \theta \) y \( \alpha \) así como por la distancia  s.   
 La expresión general de la fuerza de la gravedad que genera la esfera hueca de espesor infinitesimal en  la masa m es la siguiente:

            \(  F=2\pi G\sigma mR^2\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{1}{s^2}cos\alpha sin\theta d\theta  \) 
         
    A partir de ahora vamos  a obtener el valor de F para r=R (en la superficie de la esfera exterior) y como vemos existe un anillo que corresponde a \( \theta = 0 \), que s=0 y por ello a partir de ahora supondremos que \( s\neq 0 \), para no tener problemas con el término \( \frac{1}{s^2} \) y la función esté siempre definida.
 Por ello

\( F=2\pi G\sigma mR^2\lim_{\epsilon \to 0}\int_{\epsilon}^{\pi}\frac{1}{s^2}cos\alpha sin\theta d\theta  \)  (a)

 
       Aplicando la ley  del coseno para \(  \theta \) para cualquier punto r:

    \(  s^2=R^2+r^2-2Rrcos\theta \)  sustituyendo para r=R  y diferenciando obtenemos:

     \( 2sds=2R^2sin\theta d\theta \)  despejando   

             \( sin\theta d\theta=\frac{sds}{R^2} \)   (b)   
  Aplicando la ley  del coseno para  \( \alpha \) en general para cualquier punto r:

  \( R^2=r^2+s^2-2r scos\alpha \)   sustituyendo   r=R   obtenemos:

   \(  s^2=2R scos\alpha \) 

             \( s cos\alpha=\frac{s^2}{2R} \)     (c)

    Entonces sustituyendo (b) en la ecuación  (a)  obtenemos :

\( F=2\pi G\sigma mR^2\lim_{\epsilon \to 0}\int_{\epsilon}^{2R}\frac{1}{s^2}cos\alpha \frac{sds}{R^2} \)    y utilizando el resultado de (c)  obtenemos:

\( F=\frac{2\pi G\sigma m}{2R}\lim _{\epsilon\to 0 }\int_{\epsilon}^{2R}ds \)    dónde vemos que el término   \( \frac{r^2-R^2}{s^2} \) se ha eliminado por completo para r=R.

  Finalmente obtenemos que para r=R  que la gravedad es:

            \(  F=2\pi G\sigma m \)        o lo que es lo mismo  \( F=\frac{GMm}{2R^2} \)

   

5) Lo importante es responder  a los puntos de mi último mail.  Si después de intentadlo no se encuentra la demostración, creo que cada uno debe pensar tranquilamente que es lo que pasa y a lo mejor, quizás el peñazo de DCM tenga algo o toda la razón.
   Cito lo dicho:
  " Richard piensas que la oficialidad todo está en regla y el puzzle  encaja perfectamente, pues entonces será fácil  que demuestres lo que dices, para esta esfera hueca de espesor infinitesimal:
   a) Demostrar que  mediante  el método  matemático de integración,  que la gravedad  en la superficie exterior   es  \(  g=\frac{GM}{R^2} \),  sin utilizar nada de esferas huecas de espesor finito, por el motivo explicado por mi ampliamente.
   b) Demostrar que  mediante  el método  matemático de integración,  que la gravedad  en la superficie interior  es   g=0  sin utilizar nada de esferas huecas de espesor finito, por el motivo anterior.
   c) Demostrar mediante el teorema de Gauss, haciendo una ÚNICA  superficie cerrada y simétrica a la geometría de esta esfera, que la gravedad en la superficie exterior e interior, coincide con los puntos a) y b). Siempre en todos los análisis que he visto en la oficialidad se utilizan 2 superficies cerradas una en el exterior y otra en el interior pero realizando el cálculo por separado, no al mismo tiempo con lo cual no parece que se esté utilizando 2 superficies cerradas  gaussiana.
   d) Demostrar que el campo de un plano infinito de espesor infinitesimal es idéntico al plano de una esfera hueca de espesor infinitesimal, en la superficie exterior de ambas.

  Yo sí he demostrado aquí que en este hilo:
 En el a)\( g=\frac{GM}{2R^2} \)
 En el  b) \( g=\frac{GM}{2R^2} \)  lo he demostrado con el teorema de Gauss con 1 única superficie cerrada que engloba simétrica a ambas superficies de la esfera (interior y exterior),  aunque se puede demostrar con el cálculo integral de igual forma que lo he realizado el punto a).
 En el c) Demostrado que por el terorema de Gauss hay concordancia con el método de integración para r=R y sale lo mismo que los punto a) y b).
 En el d)  Demostrado también.
   Hay mucho que encajar según veo en la oficialidad."
 
    Todo lo que he expuesto  aquí, es fruto de cálculo matemático. Luego  se derivan unas consecuencias matemáticas y físicas  fácilmente de seguir por todos.

   Un saludo.