La $$\sqrt[3]{2}$$ con regla y compas (Enfer Diez).
$$\sqrt[3]{2} = \sqrt{2} - \left[\frac{8\sqrt{2} -11}{2} - \frac{17-12\sqrt{2}}{12*3^{n}}\right]$$
con n= 2:
$$\left[\sqrt{2} - \left[\frac{8\sqrt{2} -11}{2} - \frac{17-12\sqrt{2}}{12*3^{2}}\right]\right]^{3} = 2, 0003....$$
La longitud (Geométrica) finita, siempre la define el compas en el instante que la punta de trazo y el punto de apoyo sean convergentes.
Si lo que quieres decir con eso de “longitud geométrica finita” es que la raíz cúbica de 2 se puede definir con una cantidad finita de decimales o algo equivalente, se me ocurre una manera para que lo puedas definir bien; quizá te ayude a pulir el método.
Sabemos que la parte entera de la raíz cúbica positiva será 1; y después tendrá una parte decimal k=0,2599...
Entonces, la raíz será de esta forma 1+0,25... etc., de tal modo que
\( (1+k)^{3}=2 \)
\( k^{3}+3k^{2}+3k+1=2 \)
\( k^{3}+3k^{2}+3k=1 \)
Como k, la mantisa, es menor que cero, la podremos escribir así \( k=\dfrac{1}{a} \) siendo “a” un número mayor que 1.
Sustituyendo, la expresión queda de esta manera:
\( \dfrac{1}{a^{3}}+3\cdot\dfrac{1}{a^{2}}+3\cdot\dfrac{1}{a}=1 \).
Está claro que cualquier número con una cantidad finita de decimales se puede multiplicar por 100 ó 1000... etc., de manera que se transforme en un entero; por ejemplo:
\( 3,3561*10000=33561 \)
Por tanto, despejando vemos que un número con finitos decimales, distintos de cero y una cantidad infinita de ceros detrás, siempre se podrá escribir como una fracción de enteros:
\( 3,3561=\dfrac{3356}{10000} \) (que reduciendo la fracción equivale a 839/2500).
Si la cantidad de decimales no es finita, no podremos escribir la cantidad de ceros del número 1000... y no se podrá tampoco hacer la cuenta. El buscado número existirá, pero nadie podrá verlo; intentarlo, aunque sea usando cualquier instrumental, será como pretender ver a Dios (que quizá exista, pero nadie lo puede ver).
Volviendo a la expresión \( \dfrac{1}{a^{3}}+3\cdot\dfrac{1}{a^{2}}+3\cdot\dfrac{1}{a}=1 \), puesto que 1 es entero, consideramos que, por lo dicho, “a” tiene que ser un entero (se trataría de una fracción irreducible, dado que el numerador es 1 o bien de de otra facción de enteros). Y multiplicando por “a cubo” toda la ecuación queda esta otra, que es equivalente:
\( 1+3a+3a^{2}=a^{3} \)
o sea
\( 1+3a+3a^{2}-a^{3}=0 \).
Sabemos que “a” es positivo (porque la mantisa k=1/a que consideramos es positiva) y que es entero.
Pues ahora ya sólo hay que dar valores 1,2,3,4,5,6... etc., a “a” hasta que la ecuación se cumpla para algún número natural, hasta que dé cero. Cuando lo tengas, ya tienes definida de forma finita la raíz de 2. Pero ¿existe ese entero o una fracción de enteros que para ese valor "a"?
Con el ordenador lo he probado un poco hasta 1000 números; para a=1 no da cero; para a=2 no; para a 3, no; para a=3/2 no (no hace falta que pruebe a dividir por los mayores que el numerador, ya que, a>1) y así hasta 1000. Y, con una buena precisión en cuanto a decimales, no da cero.
Es una ordenador, una herramienta moderna y potente, imagina con el compás y la regla lo que puede ser buscar un valor bastante "exacto" para la raíz cúbica de 2.Saludos.
