Venga va, a ver si consigo sorprenderte. 
Con unos matices muy importantes que ahora haré, diría 1/3 y 1/2, respectivamente.
Pues mira, no me sorprendes porque ha dado la casualidad de que, mientras venía hacia casa, estaba pensando en el problema y precisamente veía que se podría considerar que la probabilidad es 1/3 o 1/2 según se mire (aunque sigo creyendo que la mirada correcta es la que ve 1/3), y al leer tu respuesta he visto que encajaba perfectamente con lo que estaba pensando. No es porque sea "hijo mío", pero cada vez me parece más iluminador este problema.
Ante todo, debo hacer una ligera corrección al planteamiento que hice en mi mensaje anterior, y es que allí decía que los participantes esperaban en fila en otra habitación. No pueden estar en fila, porque entonces sabrían quién es el primero, quién el segundo, etc., y con eso tendrían información extra que cambia las cosas (pero tú no has tenido en cuenta el matiz, como tampoco lo tuve yo, así que no afecta a lo que has dicho). Por claridad enuncio de nuevo el problema, concretando algunos detalles simplemente por fijar ideas:
Tenemos, por ejemplo, \( 15 \) concursantes, cada uno en una habitación distinta aislada de los demás (no en fila conociendo su turno). Yo estoy en una mesa con una moneda. La lanzo, la tapo y llamo al primer concursante. Le digo:
—He lanzado esta moneda, si aciertas si ha salido cara o cruz ganas 100 euros (¡qué digo 100 euros! 10.000 euros, que yo en mis problemas imaginarios soy así de generoso).
El concursante hace su apuesta, destapamos la moneda, cobra su premio si procede y se va.
Si ha salido cara, vuelvo a lanzar la moneda y hago pasar al siguiente. Si ha salido cruz tapo la cruz y hago pasar al siguiente, sin volverla a lanzar. Pero cada cruz que sale la mantengo sólo una vez, y luego vuelvo a lanzar la moneda para el turno siguiente.
La pregunta es qué probabilidad tiene un concursante ¡que no sabe cuál es su turno (si es el primero en jugar, o el segundo, etc.)! de ganar el premio, según si apuesta cara o cruz.
Mis cuentas:
El primer concursante juega a cara o cruz con un 50% de probabilidades en cada opción. Por eso, si supiera que es el primero, daría igual a qué apostara, porque sus posibilidades de ganar serían las mismas en ambos casos. Esto es equivalente a si hacemos apostar a Bella advirtiéndole de que es lunes.
En cambio, para el segundo concursante tenemos las posibilidades siguientes equiprobables:
CC
C+
++
++
En la primera tirada puede salir cara o cruz al 50%, si sale cara, en la segunda tirada tenemos cara o cruz al 50% (luego hay un 25% de CC o de C+), pero si sale cruz en la primera tirada, en la segunda tenemos + seguro, luego en total la probabilidad de cara es de 1/4.
En la tercera tirada tendríamos los casos equiprobables:
CCC
CC+
C++
C++
++C
+++
++C
+++
Lo que nos da \( 3/8 \) de probabilidad de encontrarnos una cara. Si repetimos el argumento hasta el decimoquinto concursante la probabilidad de cara que me sale para cada uno es:
\(
\begin{array}{lllllllllllllll}
1&2&3&4&5&5&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
0.5&0.25&0.375&0.3125&0.3438&0.3281&0.3359&0.3320&0.334&0.3330&0.3335&0.3333&0.3334&0.3333&0.3333
\end{array}
\)
No me he puesto a demostrarlo, pero las probabilidades parece que tienden (y deben tender) a 1/3.
Suponiendo que hemos sorteado al azar quién concursa en cada turno, de modo que la probabilidad de que un concursante participe en el turno i-ésimo es \( 1/n \) (donde \( n \) es el total de concursantes), concluimos que la probabilidad de cada concursante es la media de todas éstas, y resulta ser de \( 0.3413 \).
Podríamos hacer esta media mucho más cercana a \( 1/3 \) sin más que descartar las 9 primeras tiradas, de modo que el primer concursante juegue con el décimo turno. Pero, sin este arreglo, la conclusión es que cada concursante tiene una probabilidad de \( 0.3413 \) de tener delante una cara y un \( 0.6587 \) de tener una cruz, luego le resulta mucho más ventajoso jugar a cruz.
Lo que venía pensando mientras venía a casa era precisamente esto:
Pero en la segunda situación, si lo que me dices es: "Hace un momento he lanzado una moneda. ¿Cuál crees que es la probabilidad de que haya salido cara?" contestaría 1/2, por los mismos motivos que con el experimento de la bella durmiente. No sabemos si la moneda se lanzó hace un turno o hace dos, pero la cuestión es que se ha lanzado únicamente una moneda. El hecho de que si sale cruz preguntes dos veces por la misma moneda no cambia mi estimación sobre la probabilidad de que saliera una cosa u otra en el único lanzamiento que se hizo de la moneda.
La pregunta que te hago es:
Hace un momento he lanzado una moneda (que tengo aquí oculta). ¿Cuál crees que es la probabilidad de que ahora mismo, al destaparla, veas una cara? Y dando por hecho que tú sabes el "protocolo" que he seguido, es decir, que he ido tirando monedas repitiendo las cruces una vez.
Como en el caso de la Bella Durmiente, si participas en el concurso:
— No sabes qué ha salido en las tiradas anteriores.
— No sabes cuál es tu turno (que es el equivalente de no saber si es lunes o martes)
Pero sabes las reglas del juego.
Entiendo perfectamente (hasta tu último mensaje no lo entendía, pero ahora sí, y con este ejemplo mejor aún) por qué dices que "en cierto sentido" la probabilidad es 1/2, pero, ¿tiene sentido ese sentido?
A mi juicio, tu planteamiento supone (gratuitamente, siempre a mi juicio) que al no saber nada de las tiradas anteriores ni tu turno de juego, no sabes nada de nada y por ello te quedas con el 1/2 inicial que corresponde al lanzamiento de una moneda legal, pero el fallo que yo le veo a eso es que así niegas arbitrariamente que el conocer las reglas del juego no te da ninguna información, cuando ejemplos como éste muestran que sí que te da información.
Más precisamente: ¿qué sentido tiene asignar una probabilidad a un fenómeno si no es para tener un criterio de decisión? Aunque puedas montar un espacio de sucesos con una medida de probabilidad que asigne al suceso "ha salido cara en la moneda que está oculta ante mí" la probabilidad 1/2, ¿de qué sirve eso si tienes claro que en la práctica conviene apostar a cruz porque ganarás con probabilidad de casi 2/3? Yo diría que ese 1/2 es una "probabilidad virtual", pero que la probabilidad real (de cara) es 0.34.
Yo afirmo que conocer las reglas del juego te da información. Por ejemplo, si jugáramos sin repetir caras, es decir, vamos tirando monedas a medida que cambiamos de concursante, para el tercer concursante sería lo mismo haber tirado tres monedas que haber metido en un bombo ocho bolas marcadas con
CCC CC+ C+C C++ +CC +C+ ++C ++C
extraer una de ellas y fijarse únicamente en el último signo de la "palabra". Y, obviamente, la probabilidad de cara sería 1/2.
Pero el juego duplicando las caras es equivalente a adulterar las marcas en las bolas y dejar
CCC CC+ C++ C++ ++C +++ ++C +++
De modo que las ocho bolas siguen siendo equiprobables, pero ahora la probabilidad de cara es 0.375.
Así, tirando varias veces una moneda legal (dos o tres veces) puedes simular un sorteo en un bombo "trucado", donde faltan unas combinaciones y otras se repiten. Y conociendo las reglas del juego sabes que ese sesgo se va a producir. Imagina que juegas 100 veces y, por simplificar, siempre juegas en tercer lugar y queremos grabar en vídeo el lanzamiento de las monedas que vas a ver tú y sólo esas. ¡Es imposible!
Si los dos primeros turnos son CC, o ++, sé que la siguiente moneda es la tuya y la puedo grabar, pero si me sale C+, resulta que ya no he grabado tu moneda, que es la cruz que me ha salido en segundo lugar.
Por eso, al mostrarte los vídeos de tus lanzamientos, no estás viendo una sucesión de lanzamientos de monedas en los que, misteriosamente, no sale cara la mitad de las veces, sino una de cada tres veces, sino que estás viendo una serie de lanzamientos manipulada porque de vez en cuando decidimos si el segundo lanzamiento es el tuyo o si hacemos uno nuevo para ti. Y esa adulteración de los lanzamientos hace que cuando tú ves el lanzamiento de tu moneda, no es un lanzamiento cualquiera, es uno "trucado" porque algunos de los que tendrían que haberse producido para que en las 100 veces vieras un 50% de caras se han omitido (y nos hemos quedado con el resultado del lanzamiento anterior).
Por eso no me parece válido tu argumento de que la probabilidad tiene que ser 1/2 porque, al fin y al cabo, no es más que lanzar una moneda. No. Los lanzamientos están manipulados (seleccionados) para que, si los repites, la proporción de caras no sea la que tiene que ser.
Si en lugar de ir lanzando monedas yo, de vez en cuando, pusiera cara o cruz a mi antojo, ya no podrías calcular ninguna probabilidad. ¿Y qué diferencia hay en que yo adultere la sucesión de lanzamientos diciendo "ahora pongo cara aunque ha salido cruz porque quiero" o que siga un criterio como poner cruz si en el anterior ha salido cruz?
Yo podría decir que después de una cruz hago trampa y, en lugar de tirar la moneda, pongo lo que se me antoja, y eso altera las probabilidades, porque ya no estás viendo el resultado de un lanzamiento legal, pero si después de cruz fuerzo otra cruz, también estoy adulterando los lanzamientos.
Por eso digo que "el mero protocolo" aporta información estadísticamente significativa para el cálculo de probabilidades, aunque no sepas ni tu turno ni si tu lanzamiento es original o reciclado del turno anterior, etc.
Pero más allá de si te parece acertado este análisis o no, mi pregunta fundamental es ésta:
¿Para qué sirve decir que la probabilidad es 1/2 si tienes claro que en caso de repetir el experimento saldría cara con probabilidad 1/3 y por ello apostarías a cruz? ¿De qué sirve una probabilidad si no es para medir expectativas?
Y una última pregunta: Yo considero este problema casi isomorfo al de la Bella Durmiente. La probabilidad de que sea lunes es para mí 2/3, igual que la probabilidad de estar ante un lanzamiento nuevo es casi 2/3, la probabilidad de cara para Bella es 1/3, igual que aquí es casi 1/3, etc. ¿En qué punto ves tú exactamente la diferencia?, es decir, ¿estás de acuerdo conmigo en que Bella, si tiene que apostar, debería apostar a cruz o no? Si es que no, ¿cuál es la diferencia entre un problema y otro? En ambos casos no sabes nada: a Bella la despiertan haya salido lo que haya salido y aquí llamamos a todos los concursantes, y no se descarta ningún lanzamiento... ¿qué diferencia hay para que aquí sí que veas una probabilidad de 1/3 en cierto sentido y en el otro caso no? (No son muchas preguntas, sino un intento de precisar una misma pregunta.)
