Hola.
Recuerda que, por definición, que \( A \) sea denso en \( X \) quiere decir que su clausura, \( \overline{A} \), es todo \( X \).
Por tanto, dados \( x, y \in X \) tenemos que \( x, y \in \overline{A} \) y, por tanto, puedes construir dos sucesiones \( \{x_n\}, \{y_n\} \) contenidas en \( A \) tales que \( d(x,x_n) \leq 1/2n \) y \( d(y,y_n) \leq 1/2n \) para cada \( n \) natural (intenta completa tú los detalles de esto si no lo sabías de antes).
Con esto, observa que para cada natural \( n \), como \( x_n, y_n \in A \) se cumple que
\( d(x,y) \leq d(x,x_n) + d(x_n,y_n) + d(y_n,y) \leq \dfrac{1}{2n} + M + \dfrac{1}{2n} = M + \dfrac{1}{n} \)
Tomando entonces límites cuando \( n \) tiende a infinito, obtienes que, efectivamente, \( d(x,y) \leq M \).
Un saludo.
