Hola, gracias a todos por sus respuestas.
Disculpen por contestar tan tarde. COnsulté con mi profesor apenas pude, pero al parecer se equivocó al sugerir esa idea. Una lástima.
No obstante, me pareció un problema que debería ser posible resolverlo o demostrarlo y cada vez siento que lo es menos y es que lo que se pretende demostrar es básicamente que la menor distancia entre dos puntos en el plano euclidiano es la línea recta, lo cual no sé si es realmente un axioma o puede demostrarse.
He obtendio que utilizando la integral de longitud de arco y acotando con la serie de taylor se puede probar
\( \theta =L(x)=\frac{\pi}{2}-\int \limits_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt \) y con la serie de taylor truncada en alguna potencia se obtendría, digamos, \( L_n(x) \) y con eso probar, usando que \( sen(\theta)=\sqrt{1-x^2} \) ver que \( \sqrt{1-x^2}<L_n(x)<L(x)=\theta \). SIn embargo, creo que la fórmula de la longitud de arco de una curva se basa en si dicha curva es rectificable y al asumir que un arco de circunferencia es rectificable, ¿no se asume que la longitud de arco es mayor que la cuerda que lo subtiende?
De otras formas de probar el resultado, llego a que probar \( sen(\theta)\leq \theta \) es equivalente a probar que \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{sen(x)}{x}}=1 \) y para probar este límite se usa una u otra forma similar de la desigualdad que se busca probar. Para llegar a la derivada del seno, también se usa esta desigualdad o alguna basada en áreas que igualmente asume la desigualdad.
En fin, si alguien llegó hasta aquí, muchas gracias por tomarse el tiempo de leerlo. Seguramente haya algo que corregirme, así que agradeceré cualquier error que me hagan notar y si alguien encuentra alguna mejor forma de solución, me encantaría conocerla.
De antemano, muchas gracias.
