[thadeu]

Hola amigos del foro
Les propongo el siguiente problema,
Aclaro que tengo solución.Pero siempre me gusta conocer otros puntos de vista.
Hallar todos los enteros positivos $$n$$ tales que
$$ cos(\displaystyle\frac{\pi}{n})cos(\displaystyle\frac{2\pi}{n})cos(\displaystyle\frac{3\pi}{n})=\displaystyle\frac{1}{1+n}$$

[AlbertR]

Spoiler

Las únicas soluciones enteras positivas para n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 son

n=3 y n=7

En n=7 ambas funciones coinciden, siendo la función de la izquierda estrictamente creciente para n>7 (y asintótica a 1) mientras que la función de la derecha (para n>7) es estrictamente decreciente y asintótica a 0. Por lo tanto no pueden volver a coincidir para n>7

Saludos.

[cerrar]

[thadeu]

Hola AlberR
Y como justificas que una función estritamente creciente y otra estrictamente decreciente solo tengan un punto en común?
Creo que no basta con decirlo.
Tambien habria que justificar lo estrictamente creciente y estrictamente decreciente de las funciones
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola AlberR
Y como justificas que una función estrictamente creciente y otra estrictamente decreciente solo tengan un punto en común?
Creo que no basta con decirlo.

Es obvio.

Si \( f(a)=g(a) \), \( f \) es estrictamente creciente y \( g \) estrictamente decreciente, entonces [tes](f-g)(a)=0[/tex] y la función \( f-g \) es estrictamente creciente:

- para \( x>a \) se tiene que \( f(x)-g(x)>f(a)-g(a)=0 \)
- para \( x<a \) se tiene que \( f(x)-g(x)<f(a)-g(a)=0 \)

También habría que justificar lo estrictamente creciente y estrictamente decreciente de las funciones

Es inmediato que \( g(n)=\dfrac{1}{n+1} \) es estrictamente decreciente.

Por otra parte la función \( cos(x) \) es estrictamente decreciente y no negativa para \( x\in [0,\pi/2] \)

Si \( n\geq 7 \) entonces \( \dfrac{\pi}{n},\dfrac{2\pi}{n},\dfrac{3\pi}{n}\leq \dfrac{3\pi}{7}<\dfrac{\pi}{2}. \)

Como además \( 1/n \) es decreciente y la composición de estrictamente decrecientes es estrictamente decreciente, \( cos(\pi/n),dos(2\pi/n),cos(3\pi/n) \) son crecientes para \( n\geq 7 \) y su producto también.

Saludos.