Hola
Demostrar que $$\displaystyle\frac{cos(\displaystyle\frac{2\pi}{7})}{cos(\displaystyle\frac{\pi}{7})}$$, es un número irracional
Este problema no lo he podido resolver.
Lo propongo por aqui a ver si me pueden echar una mano.
Dado que \( cos(\pi/7)=-cos(6\pi/7) \) equivale a ver que \( cos(6\pi/7)/cos(2\pi/7) \) no es racional.
Dado que \( cos(3a)=4cos^3(a)-3cos(a) \) si llamas \( x=cos(2\pi/7) \) equivale a probar que:
\( \dfrac{cos(6\pi/7)}{cos(2\pi/7)}=4x^2-3 \) no es racional
Pero si lo fuese \( x=cos(2\pi/7) \) sería la raíz de un número racional y por tanto construible con regla y compás. Pero entonces el
hexágono heptágono regular sería construible y es bien sabido que no lo es.
Saludos.
CORREGIDO
