[marinavzqz]

Buenas, tengo este problema
Sea $$\lambda, \mu \in k$$ no ambos cero, y
$$ L=V(\lambda X+\mu Y$$), $$ C=V((X^2Z+Y^3)(X^3+Y^2Z))$$
Me piden calcular $$ mult_p(L,C)$$ (dependiendo de $$\lambda, \mu $$).

Lo que hago es parametrizar la recta como $$L=(\mu t_0: -\lambda t_0:t_1 )$$ y sustituyo esa parametrización en la curva. Ahora distingo casos y por ejemplo si impongo $$ \lambda=0$$ me sale el punto \( [0:0:1] \) con \( mult=5 \) y el $$[\mu:0:0]$$ con multiplicidad \( 1 \) pero no entiendo bien por qué.
me podríais echar una mano, por favor

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas, tengo este problema
Sea $$\lambda, \mu \in k$$ no ambos cero, y
$$ L=V(\lambda X+\mu Y$$), $$ C=V((X^2Z+Y^3)(X^3+Y^2Z))$$
Me piden calcular $$ mult_p(L,C)$$ (dependiendo de $$\lambda, \mu $$).

Lo que hago es parametrizar la recta como $$L=(\mu t_0: -\lambda t_0:t_1 )$$ y sustituyo esa parametrización en la curva. Ahora distingo casos y por ejemplo si impongo $$ \lambda=0$$ me sale el punto \( [0:0:1] \) con \( mult=5 \) y el $$[\mu:0:0]$$ con multiplicidad \( 1 \) pero no entiendo bien por qué.
me podríais echar una mano, por favor

¿Pero te salió o no te salió? ¿Qué es lo que no entiendes?. En primer lugar ten en cuenta que puedes trabajar con las dos componentes de la curva por separado. Por una parte \( x^2z+y^3=0 \) y por otra \( x^2+y^2z=0 \). Por ejemplo para la primera te queda:

\( \mu^2t_0^2t_1-\lambda^3t_0^3=0 \)

\( t_0^2(\mu^2t_1-\lambda^3t_0)=0 \)

Eso nos da:

\( t_0=0 \) con multiplicidad dos, es decir, \( (t_0:t_1)=(0,1) \) que equivale al punto \( (0: 0:1 ) \)
\( (t_0:t_1)=(\mu^2:\lambda^3) \) con multiplicidad uno, es decir, que equivale al punto \( (\mu_3: -\lambda \mu^2:\lambda^3 ) \). Si \( \mu=0 \) ambos puntos coinciden y entonces es el mismo punto con multiplicidad tres.

Saludos.