Buenas tardes Querido Foro! espero todos se encunetren más que bien 
Necesito de vuestra ayuda con el siguiente ejercicio, por favor.
Notación: \( (a:b) \) Máximo Común Divisor (mcd) de \( a \) y \( b \); \( a\perp{b} \) \( a \) es coprimo con \( b \)
Sea \( a \in{\mathbb{Z}} \) tal que \( (a^{197}-26:15)=1 \), hallar todos los posibles valores de \( (a^{97}-36:135) \)
Solución
Sea \( d=(a^{97}-36:135) \) con \( d\neq 1 \), entonces \( \exists{p} \) primo positivo tal que \( p|d \)
por definición de mcd si \( d=(a^{97}-36:135) \Longrightarrow{d|a^{97}-36} \wedge d|135 \) luego por transitividad en divisibilidad de enteros se verifica que
\( p|[a^{97}-36 \) \( \wedge \) \( p|135 \)
Como \( p|135 \Longleftrightarrow{ p|5\cdot 3^3}\Longleftrightarrow{p|5} \vee p|3 \)
Luego \( p=3 \) o bien \( p=5 \).
Supongo que \( p=3 \)
\( 3|3\Longrightarrow{3|36} \) \( \wedge \) \( 3|a^{97}-36\Longrightarrow{p|a^{97}}\Longrightarrow{3|a} \)
Ahora con este dato abordo la hipótesis:
\( (a^{197}-26:15)=1 \) por lo tanto \( a^{197}-26\perp{15} \)
Si \( 3|a\Longrightarrow{3|a^{197}} \) Pero \( 3\not{|}26 \) pues \( 26=3 \cdot 8 + 2 \) por lo tanto no puedo asegurar nada.
Hola, nktclau.
Algo sí puedes asegurar. Tienes
\( a^{197}-26=a^{197}-24-2
\)
siendo \( -2+3=1
\), o sea, -2 es el resto 1 módulo 3. Te queda
\( a^{197}+1
\).
Ahora, si 3 divide a \( a^{197}+1
\) el resto de dividir \( a^{197}
\) tiene que ser 2 (pero esto no puede pasar porque el mcd con 15 es 1). Quedan dos restos posibles.
Si 3 no divide a \( a^{197}+1
\), el resto al dividir \( a^{197}
\) entre tres puede ser cero o uno. En estos casos la potencia no va a afectar al resto, pues \( (3k+0)^{197}
\) va a seguir dando resto cero y \( (3k+1)^{197}
\) va a seguir arrojando resto 1 al dividir entre 3; por el binomio de Newton todos los sumandos serán mútliplos de 3 menos el 1 elevado a 197, que sigue siendo 1.
Por tanto, yendo a la otra expresión, \( (a^{97}-36:135)
\), si consideras resto cero, 3 será un divisor común.
Seguidamente, considerando la división entre 5, tienes análogamente \( a^{197}-25-1
\), y el resto equivale a -1+5=4. O sea, \( a^{197}
\) no puede dejar resto 1 al dividir entre 5, porque sumaría cinco con el 4 y el mcd con 15 tiene que ser 1. Los restos posibles son 0,2,3,4.
Yendo a la otra expresión \( (a^{97}-36:135)
\), que es \( (a^{97}-35-1:135)
\), tienes que como \( a^{97}
\) no puede dejar resto 1 módulo 5, tampoco puede cancelar ese -1 para que se quede el 35 solo; entonces el mcd no puede contener a 5 como factor.
Todo esto si no me he equivocadoSaludos.
