Hola
Me podrías decir como hago lo de demostrar que es biyectiva porfa
Quizá lo más sencillo sería definir la inversa:
\( g:P(B)\to P(A) \) como \( g(D)=f^{-1}(D) \)
y demostrar que efectivamente una es inversa de la otra, es decir, que \( g\circ h=id_{P(A)} \) y \( h\circ g=id_{P(B)} \). Cuando una función tiene inversa es biyectiva.
Fíjate que lo anterior equivale a demostrar que:
\( f^{-1}(f(D))=D \)
\( f(f^{-1}(C))=C \)
si \( f \) biyectiva. Suelen ser propiedades que se prueban cuando uno da teoría de conjuntos y aplicaciones; así que es fácil que ya las tengas demostradas. En cualquier casos son fáciles de probar.
Otra opción es probar que la aplicación que te dije antes:
\( h:P(A)\to P(B) \) como \( h(C)=f(C)=\{f(c)|c\in C\} \) para cualquier \( C\subset A \)
es inyectiva y sobreyectiva.
Para ver que es inyectiva tienes que demostrar \( h(C)=h(C')\quad \Rightarrow\quad C=C' \).
Pero \( h(C)=h(C')\quad \Rightarrow\quad f(C)=f(C') \).Ahora por ejemplo terminamos por reducción al absurdo. Si \( C\neq C' \), existe \( x\in C \) tal que \( x\not\in C' \) (o al revés); pero como \( f(x)\in f(C)=f(C') \) tiene que existir \( y\in C' \) tal que \( f(y)=f(x) \); pero como \( f \) es inyectiva (por ser biyectiva) entonces \( y=x\in C' \): contradicción con que \( x\not\in C' \).
Para ver que es biyectiva, dado \( D\subset B \) tienes que encontrar \( C\subset A \) tal que \( h(C)=f(C)=D \). Basta tomar \( C=f^{-1}(B) \). ¡Compruébalo!
Si sigues teniendo dudas vuelve a preguntar.
Pero concreta la dudas. Diciendo simplemente "no entiendo" aprenderás poco; peléate con el ejercicio, da palos de ciego, intenta cosas aunque estén mal: así se aprende.
Saludos.
