Hola
Hola querria saber si alguien me sabe resolver este ejercicio:
Hallar el orden y la parte principal en \( x_0 = 0 \) del infinitésimo
\( f(x)=\dfrac{(x+sinh x-2sin x)\displaystyle\int_0^{\int_0^xe^{t^2}dt}sin\lambda d\lambda}{Ln\left(1+sin\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}\right)(3x^2+13)(arcsin\,x)^{\frac{5}{2}}} \)
¿Cómo se haría? gracias
Usa los desarrollos en Serie de McLaurin de las funciones implicadas:
\( sinh(x)=x+\dfrac{x^3}{3!}+O(x^5) \)
\( sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+O(x^5) \)
\( \displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^2}dt=\displaystyle\int_{0}^{x}(1+t^2+O(t^4))dt=x+\dfrac{x^3}{3}+O(x^5)=x+O(x^3) \)
\( \displaystyle\int_{0}^{x}sin(x)dx=1-cos(x)=2sin^2(x/2)=2(x/2+O(x^3))^2=\dfrac{x^2}{2}+O(x^4) \)
Con esto si sustituyes:
\( (x+sinh x-2sin x)=\dfrac{x^3}{2}+O(x^5) \)
\( \displaystyle\int_0^{\int_0^xe^{t^2}dt}sin\lambda d\lambda=\dfrac{x^2}{2}+O(x^4) \)
Y multiplicando el numerador queda equivalente a:
\( \dfrac{x^5}{4}+O(x^7) \)
En cuanto al denominador:
\( Ln(1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^2+O(x^3) \)
\( arcsin(x)=x+O(x^3) \)
\( Ln\left(1+sin\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}\right)=sin\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}-\dfrac{1}{2}sin^2\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}+O(x^{3/2})=\\\qquad =\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}+O(x^{3/2})+\dfrac{1}{2}\dfrac{x}{(x^2+4)^2}+O(x^2)+O(x^{3/2})=\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}+\dfrac{1}{2}\dfrac{x}{(x^2+4)^2}+O(x^{3/2})=\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}+O(x) \)
\( arcsin^{5/2}(x)=x^{5/2}+O(x^3) \)
Además en cuenta que cuando \( x\to 0 \), simplemente \( 3x^2+13\to 13 \) y \( x^2+4\to \color{red}4\color{black} \).
Con esto el denominador es equivalente a:
\( 13(\dfrac{1}{4}\sqrt{x}+O(x))(x^{5/2}+O(x^3))=\dfrac{13}{4}(x^3+O(x^{7/2})) \)
Finalmente:
\( \dfrac{\dfrac{x^5}{4}+O(x^7)}{\dfrac{13}{4}(x^3+O(x^{7/2}))}=\dfrac{1}{13}x^2+O(x^4) \)
Saludos.
CORREGIDO (gracias Pie)
