Hola.
Ya encontré una forma de hacer 2) usando 1), para ello hice uso de el siguiente resultado:
Sean \( X,Y \) conjuntos no vacíos y \( f:X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \) una función acotada. Entonces:
\(
\sup_{x\in X,y\in Y}\{f(x,y)\}=\sup_{x\in X}\{sup_{y\in Y}\{f(x,y)\}\}=\sup_{y\in Y}\{sup_{x\in X}\{f(x,y)\}\}
\)
y
\(
\inf_{x\in X,y\in Y}\{f(x,y)\}=\inf_{x\in X}\{inf_{y\in Y}\{f(x,y)\}\}=\inf_{y\in Y}\{inf_{x\in X}\{f(x,y)\}\}.
\)
Usando esto, tendriamos lo siguiente:
\(
\begin{array}{rcl}
d(A,B)&=&\inf_{a\in A,b\in B}\{d(a,b)\}\\
&=&\inf_{a\in A}\{\inf_{b\in B}\{d(a,b)\}\}\\
&=&\inf_{a\in A}\{d(a,B)\}\\
&=&\inf_{a\in A}\{d(a,b_0)\}, \text{ para algún }b_0\in B, \text{ por la parte 1}\\
&=&d(b_0,A)\\
&=&d(b_0,a_0), \text{ para algún }a_0\in A, \text{ por la parte 1}\\
&=&d(a_0,b_0)
\end{array}
\)
es decir, \( d(A,B)=d(a_0,b_0) \), para algunos \( a_0\in A,b_0\in B \).
¿está bien?
