Hola,
Supongamos que \( a^3+b^3+c^3=0 \) , para \( a,b,c \) enteros -y- coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) ; puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Luego \( 3 \) debe dividir á \( abc \) . Y no perdemos generalidad si suponemos que \( 3 \) divide á \( c \) -y- que \( a^3+b^3+c^3\equiv{a+b+c}\equiv{1-1+0} \) mod \( 3 \) .
Entonces:
\( -c^3=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Donde \( a+b \) -y- \( (a+b)^2-3ab \) serán coprimos y terceras potencias salvo por \( 3 \) ; puesto que \( 3 \) , que divide á \( c \) , debe dividir á \( a+b \) . Así \( 3^{3k-1} \) dividirá á \( a+b \) -y- sólo \( 3 \) á \( (a+b)^2-3ab \) , para \( k\in{\mathbb{N}} \) . Tenemos también en \( \mathbb{Z}(\omega=(-1+\sqrt{-3})/2) \) que \( (a+b)^2-3ab=(a+b\omega)(a+b\omega^2) \) -y- que \( a+b\omega \) -y- \( a+b\omega^2 \) deben ser coprimos salvo por \( \lambda=\omega-1 \) , que divide á \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) . Puesto que de su suma: \( a+b\omega+a+b\omega^2=2a-b \) -y- de su diferencia: \( a+b\omega-a-b\omega^2=b(\omega-\omega^2)=b(2\omega+1) \) , se desprende que \( b \) , del segundo resultado, no divide á \( 2a-b \) -y- sólo \( 2\omega+1 \) , que es un asociado de \( \lambda \) -y- por tanto divisor de \( 3 \) , divide á \( 2a-b\equiv{0} \) mod \( 3 \) .
Luego si ahora divido á \( -c^3=(a+b)(a+b\omega)(a+b\omega^2) \) de esta forma: \( \dfrac{-c^3}{3^{3k}}=\left (\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}\right )\left (\dfrac{a+b\omega}{\lambda}\right )\left (\dfrac{a+b\omega^2}{-\omega^2\lambda}\right ) \) ; tendré que \( \dfrac{-c^3}{3^{3k}} \) -y- \( \dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \) son dos cubos perfectos y que \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda} \) -y- \( \dfrac{a+b\omega^2}{-\omega^2\lambda} \) serán también dos cubos perfectos enteros de Eisenstein. Pero analicemos en detalle estos dos últimos factores. De su suma, tenemos que: \( \dfrac{a}{\lambda}+\dfrac{b\omega}{\lambda}+\dfrac{a}{-\omega^2\lambda}+\dfrac{b\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{-a\omega^2+a}{-\omega^2\lambda}+\dfrac{-b\omega^3+b\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{a(-\omega^2+1)}{-\omega^2\lambda}+\dfrac{b(-1+\omega^2)}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{a(1+\omega)(1-\omega)}{-\omega^2\lambda}+\dfrac{b(\omega+1)(\omega-1)}{-\omega^2\lambda} \) . Y si consideramos que \( \lambda=\omega-1 \) : \( \dfrac{-a(1+\omega)}{-\omega^2}+\dfrac{b(\omega+1)}{-\omega^2} \) ; -y- como \( \omega+1=-\omega^2 \) , entonces: \( \dfrac{a\omega^2}{-\omega^2}+\dfrac{-b\omega^2}{-\omega^2}=-a+b \) . De su diferencia: \( \dfrac{a}{\lambda}+\dfrac{b\omega}{\lambda}-\dfrac{a}{-\omega^2\lambda}-\dfrac{b\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{-a\omega^2-a}{-\omega^2\lambda}+\dfrac{-b\omega^3-b\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{-a(\omega^2+1)}{-\omega^2\lambda}+\dfrac{-b(1+\omega^2)}{-\omega^2\lambda} \) . Y como \( \omega^2+1=-\omega \) , entonces: \( \dfrac{a\omega}{-\omega^2\lambda}+\dfrac{b\omega}{-\omega^2\lambda} \) ; donde al ser \( \omega\cdot\omega^2=1 \) , tenemos \( -\omega^2=\dfrac{1}{-\omega} \) . Así: \( \dfrac{-a\omega^2}{\lambda}+\dfrac{-b\omega^2}{\lambda}=\dfrac{-(a+b)\omega^2}{\lambda} \) -y- \( \dfrac{a+b+(a+b)\omega}{\lambda}=\dfrac{a+b}{\lambda}(1+\omega) \) . Por lo que constatamos que \( -a+b \) -y- \( \dfrac{a+b}{\lambda}(\omega+1) \) son dos enteros de Eisenstein coprimos entre sí; lo que hace efectivamente à \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda} \) -y- \( \dfrac{a+b\omega^2}{-\omega^2\lambda} \) coprimos y terceras potencias.
De esta manera: \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda} \) ; donde \( \lambda \) divide á \( a+b\omega \) , ya que \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) -y- \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) ; será igual a otro entero de Eisenstein que será un cubo y se factorizará como: \( \epsilon(d+e\omega)^3 \) , para \( d,e \) enteros usuales y coprimos -y- \( \epsilon \) una unidad de \( \mathbb{Z}(\omega) \) .
Sabemos que \( \epsilon=\pm 1 \) porque conocemos
(Keith Conrad) que si \( \lambda \) no divide á \( d+e\omega \) , entonces \( (d+e\omega)^3\equiv{d+e}\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) -y- por tanto: \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda}\equiv{\epsilon(d+e\omega)^3}\equiv{\pm\epsilon} \) .
Pero como además \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda}=\dfrac{(a+b\omega)(\omega^2-1)}{(\omega-1)(\omega^2-1)}=\dfrac{-2a+b-(a+b)\omega}{3}\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) , ya que \( 3^{3k-1} \) divide a \( a+b \) ; tendremos que \( \pm 1\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) , lo que no deja más opción a que \( \epsilon \) sea \( \pm 1 \) .
Operamos ahora por tanto, sin perder generalidad, de la siguiente forma:
\( \dfrac{a}{\lambda}+\dfrac{b}{\lambda}\omega=(d+e\omega)^3 \)
\( \dfrac{a(\omega^2-1)}{(\omega-1)(\omega^2-1)}+\dfrac{b\omega(\omega^2-1)}{(\omega-1)(\omega^2-1)}=d^3+3d^2e\omega+3de^2\omega^2+e^3\omega^3 \)
\( \dfrac{a\omega^2-a}{3}+\dfrac{b\omega^3-b\omega}{3}=d^3+e^3-3de^2+(3d^2e-3de^2)\omega \)
\( \dfrac{-2a-a\omega}{3}+\dfrac{b-b\omega}{3}=d^3+e^3-3de^2+3de(d-e)\omega \)
\( \dfrac{b-2a}{3}-\dfrac{(a+b)\omega}{3}=d^3+e^3-3de^2+3de(d-e)\omega \)
Así, agrupando por componentes:
\( \dfrac{b-2a}{3}=d^3+e^3-3de^2 \) \( \Rightarrow \) \( b-2a=3(d^3+e^3-3de^2) \)
\( -\dfrac{a+b}{3}=3de(d-e) \) \( \Rightarrow \) \( a+b=9de(e-d) \)
Pero entonces: \( 3(a+b)=27de(e-d) \) -y- como \( 3(a+b) \) es un cubo, tendremos que: \( d=d’\,^3 \) -y- \( e=e’\,^3 \) .
Por otro lado, como partíamos de \( \dfrac{a}{\lambda}+\dfrac{b}{\lambda}\omega=(d+e\omega)^3 \) -y- ni \( \lambda \) ni \( 3 \) dividen á \( d+e\omega \) ; entonces \( d+e\omega \) , módulo \( 3 \) , no puede ser \( 1-\omega \) ó \( -1+\omega \) -y- sólo puede ser: \( 1+\omega \) , \( -1-\omega \) , \( 0\pm\omega \) ó \( \pm 1+0 \) . De esta forma ó \( 3 \) divide á \( d \) , ó divide á \( e \) ó divide á \( e-d \) .
Luego tendremos que, como \( e-d=f^3 \) -y- \( e’\,^3-d’\,^3-f^3=0 \) , para \( d,e,f \) enteros y coprimos, donde uno de ellos es múltiplo de \( 3 \) -y- estos valores son claramente menores que \( a^3,b^3,c^3 \) ; esto dará lugar a un descenso infinito, si repetimos este razonamiento una y otra vez.
Un saludo,
