Hola. Tengo una consulta respecto a la definición de núcleo para una ecuación diferencial. Para dar un poco de contexto, sea la ecuación del calor
\( \begin{align}
u_t&=\Delta{u}\text{ en }\mathbb{R}_{+}\times \mathbb{R}^n\\
u(0)&=u_0
\end{align} \)
Es sabido que el núcleo del calor es \( p_t(x)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\exp\left( -\frac{|x|^2}{4t}\right) \) el cual satisface que \( \int p_t(x)\,dx=1 \), \( p_t \) es positivo, \( p_t \) es suave en \( \mathbb{R}_{+}\times \mathbb{R}^n \) y además satisface la ecuación del calor.
Otra forma que he estado estudiando, es que con la transformada de Fourier, también es posible representar el núcleo por \( p_t(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{e}^{ix\cdot \xi}\mathrm{e}^{-t|\xi|^2}\,d\xi \) (no puse el factor constante por comodidad). Con esto, la función \( p_t \) es una función de Schwartz debido a que \( \mathrm{e}^{-t|\xi|^2} \) lo es (función Gausiana) y como la transformada de Fourier es un automorfismo sobre el espacio de Schwartz, se obtiene que \( p_t \) también es una función de Schwartz (en particular es suave)
En general, si se tiene una ecuación diferencial
\( \begin{align}
u_t&=Pu\\
u(0)&=u_0
\end{align} \)
con \( P \) un operador diferencial arbitrario cuyo símbolo es \( p(\xi) \)
¿Existe una definición de núcleo para el operador \( P \)?
Por lo que veo, el núcleo en este caso debería ser \( \int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{e}^{ix\cdot \xi}\mathrm{e}^{-tp(\xi)}\,d\xi \)
Este núcleo también debe satisfacer que \( P_t \) sea suave, \( P_t \) positivo y que \( \int P_t=1 \)? o estas propiedades dependen de cada ecuación diferencial?
Gracias
