Hola
Hasta allí todo bien, perfectamente entendido en base al hilo que me has pasado...y esta entrada
Fíjate que hasta aquí hemos contado todas las formas de sumar \( 18 \) con seis números \( \geq 1 \); pero todavía no hemos impuesto la cota de que esos números no puedan superar al seis, porque queremos que sean tiradas de dados.
Es decir hemos contado casos de más; sobran algunos y vamos a restárselos.
Pero se me escapa lo que sigue, si bien entiendo que llegas al resultado correcto, no pillo la lógica del planteo.
Digamos entiendo que hasta allí planteas que no hay ningún dado que sume 7 o más, ni tampoco que sume menos de 1, como variable x, .
Contamos soluciones de:
\( z_1+y_2+\ldots+y_6=6 \). Son \( \displaystyle\binom{6+6-1}{6} \). Lo mismo hacemos por cada uno de los seis dados.
¿Qué casos sobran?.
Aquellos en el que el primer número sobrepasó el \( 6 \); aquellos en que el segundo número sobrepasó el \( 6 \); aquellos en los que el tercer número sobrepasó el \( 6 \) y así hasta el sexto número.
¿Cómo contamos los casos en los que el primer número sobrepaso el \( 6 \), es decir?.
\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=18 \) con \( 1\leq x_i \) para \( i=1,2,3,4,5,6 \) y \( x_1\geq 7 \).
En primer lugar ya habíamos hecho el cambio de variable \( y_i=x_i-1 \) para buscar soluciones no negativas (incluyendo al cero) que es lo que sabemos hacer con la fórmula general:
\( y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=12 \) con \( 0\leq y_i \) para \( i=1,2,3,4,5,6 \) y \( y_1\geq 6 \).
Pero tenemos el problema con \( y_1 \); para poder usar la fórmula general hacemos el cambio \( z_1=y_1-6 \) y queda:
\( z_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=6 \) con \( 0\leq y_i \) para \( i=2,3,4,5,6 \) y \( 0\leq z_1 \).
¡Ahí podemos aplicar la fórmula general| \( \displaystyle\binom{6+6-1}{6} \). Eso serían las tiradas que suman \( 18 \), los seis números son mayores o iguales que \( 1 \) y LA PRIMERA DE ELLAS supera el \( 6 \) (las demás lo superarán o no).
Pero queremos restar también aquellas en las que es la SEGUNDA tirada supera el \( 6 \), y luego los de la TERCERA.... por eso hacemos ese descuento seis veces:
\( 6\cdot \displaystyle\binom{6+6-1}{6} \)
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Y finalmente tenemos que sumar (porque lo hemos descontando dos veces) los casos en los que DOS de las variables \( y_i \) superan el cinco. Hay \( \displaystyle\binom{6}{2} \) formas de elegir esas dos variables. Por cada un de ellas solo hay una solución.
Bueno esto tampoco lo veo, quizá entendiendo lo anterior , he mirado la wikipedia por el principio de incluisón-exclusión y la verdad no me ayudó mucho.
El problema es que hemos descontado los casos en los que la primera tirada superaba al seis, y también los casos en los que la segunda tirada superaba al seis, etcétera... Pero entonces hemos descontado DOS veces los casos en los que al mismo tiempo la primera y segunda tirada superaban el seis. Hay que sumárselo.
Pero si los dos primeros números superan el seis la única posiblidad es \( 7+7+1+1+1+1=18 \). Ahora hay \( \displaystyle\binom{6}{2} \) pares de dados, y por tanto hay sumar ese número de veces esa única posibilidad.
Saludos.
