Otra cosa, no sabrás alguna manera de resolver este tipo de ecuaciones con parametros, es que he buscado y mirado en mis apuntes pero no entiendo del todo bien la manera de resolverlas, por que tampoco hay ningun ejemplo resuelto paso por paso.
Por ejemplo y para que me entiendas:
Tengo el siguiente ejercicio resuelto:
\( x'=x^2+a \) con \( x(0)=1 \) tenemos que hallar las derivadas parciales de la solución general con respecto a \( t_0,x_0,a \) en (t,t_0=0,x_0=1,a=0)
El primer paso es hallar la solución con dichos valores iniciales:
\( x'=x^2, x(0)=1 \) entonces \( x(t)=\displaystyle\frac{1}{1-t} \)
\( A(t)=\displaystyle\frac{dy}{dx}(t,x(t), a=0) = [2x]_{x=\displaystyle\frac{1}{1-t}, a=0}=\displaystyle\frac{2}{1-t} \)
\( b(t)=\displaystyle\frac{df}{da}(t,x(t), a=0)=[1]_{x=\displaystyle\frac{1}{1-t}, a=0}=1 \)
Entonces nos queda que:
\( X'=\displaystyle\frac{2}{1-t}X+1 \) con \( X(0)=1 \)
Todo esto lo entiendo, pero luego integra y no entiendo porqué: (Hace lo siguiente)
\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2}{1-t}dt = -2ln|1-t| \) y entonces obtiene la solución
\( X(t) =\displaystyle\int_{0}^{t} \) \( e^{ln[(\displaystyle\frac{1-t}{1-z})^2]}1dz \) \( =\displaystyle\int_{0}^{t} \) \( \left( \displaystyle\frac{1-t}{1-z} \right)^{2}dz \)
y asi da el ejercicio por concluido, aunque supongo que habría que resolver la integral
