[Zaragoza]

Estaba leyendo el libro de Lages Lima sobre el Grupo Fundamental y para vincular el sentido geométrico natural de una homotopía necesitamos mostrar que dados dos espacios topológicos $$X$$ e $$Y$$, es posible tener una correspondencia biunívoca entre $$C(X\times [0,1],Y)$$ y $$C([0,1],C(X,Y))$$. Las funciones de ida y vuelta son casi inmediatas, ya que podemos  $$\varphi(H(x,t))=H_t(x)$$. El problema es verificar la definición correcta de $$\varphi$$ y $$\varphi^{-1}$$. De hecho, tengo varios caminos que he intentado sin éxito:

• Uso de la topología compacta-abierta
• Sin usar la topología compacta-abierta, pero suponiendo que $$X$$ es compacto y $$Y$$ es un espacio métrico

En el libro de Lages dice que si $$X$$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces la correspondencia está bien definida. ¿Se puede debilitar esto? o debemos necesariamente tener al menos esa condición para $$X$$? Pregunto porque mi profesor nunca mencionó la condición de localmente Hausdorff.

¿Alguien me puede dar una idea con ambos, por favor?

[geómetracat]

Esto es el típico tecnicismo que se demuestra una vez en algún curso de topología algebraica (o incluso de topología general) y no se vuelve a ver más.
Lo primero es que 2 (con la métrica del supremo) es un caso particular de 1, así que basta tratar el caso más general donde los espacios de funciones están dotados de la topología compacta-abierta. De todas formas, la demostración de que \( \varphi \) y \( \varphi^{-1} \) son continuas no es trivial.

Para que la biyección que describes sea un homeomorfismo necesitas efectivamente que \( X \) sea Hausdorff y localmente compacto. Esto está hecho en prácticamente cualquier libro de topología algebraica que trate teoría de homotopía en serio. Por ejemplo, te recomiendo que te leas la sección "The Compact-Open topology" del apéndice del libro de Hatcher "Algebraic Topology", que puedes encontrar aquí: https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf (empieza en la página 529). En particular, tu resultado es la proposición A.29 con \( Z=[0,1] \). Ten en cuenta que Hatcher escribe el espacio \( C(X,Y) \) como \( Y^X \).

[Zaragoza]

Interesante ahora me pondré a leerlo, gracias. Creo que proposición A.29 no hay jeje. Dos consultas adicionales:

• Podrías comentarme un ejemplo sencillo en el cual se muestre porqué la propiedad de ser Hausdorff es necesaria? La de localmente compacta si me queda algo claro o al menos tengo una idea en mente. (Quiero pensar en esto antes de ver la prueba)
• Sabes donde puedo encontrar la demostración tomando $$X$$ es compacto y $$Y$$ es un espacio métrico. (No como caso particular sino de manera independiente, es que me gustaría conocer una demostración sin usar la topología compacto-abierta)

Daré un poco de contexto a mi pregunta, estoy llevando el curso de topología algebraica y en la primera clase el profesor pidió como una especie de tarea (modo cultura general) esa demostración para el caso donde $$X$$ es Hausdorff, compacto y $$Y$$ es un espacio métrico. Entonces me gustaría seguir esa línea, ver el caso particular y luego dilatar hipótesis.