[nktclau]

Buenos días FORO! buen cominezo de semana a todos!! 

Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con las siguientes dudas.

Sea la T.L. que a cada punto del espacio le hace corresponder su simétrico respecto al plano \( \pi: x-y+2z=0 \) paralelamente a la recta \( L:\displaystyle\frac{x-1}{-2}=y-2=\displaystyle\frac{z+1}{-2} \). Hallar la expresión de la TL.
   EDITADO Dar una base \( B \) en la que \( [T]_B \) sea diagonal y hallar \( [T]_B \) Sin calcular la TL me equivoque en el enunciado.

Aquí es la interpretación, mi duda. He tomado una recta \( M // L \) y que ademas \( \vec{0} \in{ M} \) entonces

\( M:(x,y,z)=(0,0,0)+\lambda (-2,1,-2) \) con \( \lambda \in{\mathbb{R}} \) \( M \) es subespacio de \( \mathbb{R}^3 \).

Entonces para buscar la expresión de la TL, busco una base adecuada y aqui viene mi duda.

Si \( P=(-2,1,-2) \in{M}\Longrightarrow{T(-2,1,-2)}=\color{blue}{(-1)} \color{black}(-2,1,-2) \) ??

y entonces \( (-2,1,-2) \) es un autovector asociado al autovalor \( (-1) \). ¿verdad?

Muchas Gracias!

Saludos

[Fernando Revilla]

La idea es buena. En efecto, si \( e_1=(-2,1,-2) \) entonces \( T(e_1)=-e_1 \). Los vectores \( e_2=(1,1,0) \) y \( e_3=(-2,0,1) \) pertenecen a \( \pi \), por tanto \( T(e_2)=e_2 \) y \( T(e_3)=e_3 \). Comprueba que \( B=\left\{{e_1,e_2,e_3}\right\} \) es base de \( \mathbb{R}^3 \) con  lo cual \( [T]_B=\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \).

[nktclau]

Hola Fernando Revilla, que gusto! 

Muchísimas Gracias!!!  

Saludos

[hméndez]

Buenos días FORO! buen cominezo de semana a todos!! 

Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con las siguientes dudas.

Sea la T.L. que a cada punto del espacio le hace corresponder su simétrico respecto al plano \( \pi: x-y+2z=0 \) paralelamente a la recta \( L:\displaystyle\frac{x-1}{-2}=y-2=\displaystyle\frac{z+1}{-2} \)...

¿Ese enunciado es absurdo o aquí me estoy perdiendo algo?

Saludos.

[nktclau]

Hola hméndez, un gusto!

Buenos días FORO! buen cominezo de semana a todos!! 

Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con las siguientes dudas.

Sea la T.L. que a cada punto del espacio le hace corresponder su simétrico respecto al plano \( \pi: x-y+2z=0 \) paralelamente a la recta \( L:\displaystyle\frac{x-1}{-2}=y-2=\displaystyle\frac{z+1}{-2} \)...

¿Ese enunciado es absurdo o aquí me estoy perdiendo algo?

Saludos.

¿Podrías explicar, el "porqué" lo interpretas como un absurdo, por favor?
Saludos

[Fernando Revilla]

¿Ese enunciado es absurdo o aquí me estoy perdiendo algo?

Dado un punto \( P(X,Y,Z)\in \mathbb{R}^3 \), la recta \( r \) que pasa por \( (X,Y,Z) \) y es paralela a la dada corta a \( \pi \) en un punto \( M \). Entonces, \( M \) es el punto medio  del segmento de extremos \( P \) y \( T(P)=(X^\prime, Y^\prime, Z^\prime) \). He hecho las cuentas y se obtiene

        \( \begin{bmatrix}{X^\prime}\\{Y^\prime}\\{Z^\prime}\end{bmatrix}=\displaystyle\frac{1}{7}\begin{bmatrix}{3}&{4}&{-8}\\{2}&{5}&{4}\\{-4}&{4}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\\{Z}\end{bmatrix} \)

con valores propios \( -1 \) simple, \( 1 \) doble y vectores propios respectivos \( e_1=(-2,1,-2) \), \( e_2=(1,1,0) \) y \( e_3=(-2,0,1) \). Por tanto,

        \( [T]_B=\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \) con \( B=\left\{{e_1,e_2,e_3}\right\} \)

como era de esperar de acuerdo con la interpretación geométrica.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días FORO! buen cominezo de semana a todos!! 

Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con las siguientes dudas.

Sea la T.L. que a cada punto del espacio le hace corresponder su simétrico respecto al plano \( \pi: x-y+2z=0 \) paralelamente a la recta \( L:\displaystyle\frac{x-1}{-2}=y-2=\displaystyle\frac{z+1}{-2} \)...

¿Ese enunciado es absurdo o aquí me estoy perdiendo algo?

El simétrico de un punto respecto a un plano y paralelamente a una recta, es el punto cuyo punto medio con el original pertenece al plano y la recta que une uno y otro es paralela a la recta dada.

Saludos.

[hméndez]

Hola

Buenos días FORO! buen cominezo de semana a todos!! 

Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con las siguientes dudas.

Sea la T.L. que a cada punto del espacio le hace corresponder su simétrico respecto al plano \( \pi: x-y+2z=0 \) paralelamente a la recta \( L:\displaystyle\frac{x-1}{-2}=y-2=\displaystyle\frac{z+1}{-2} \)...

¿Ese enunciado es absurdo o aquí me estoy perdiendo algo?

El simétrico de un punto respecto a un plano y paralelamente a una recta, es el punto cuyo punto medio con el original pertenece al plano y la recta que une uno y otro es paralela a la recta dada.

Saludos.

Bien...entiendo. No sabía que debía darle ese significado. Intenté buscar el concepto "punto simétrico a un plano paralelamente a una recta dada" y no encontré referencia.

Saludos.

P.D. Que esta respuesta sirva para responder a la pregunta que me hace nktclau con anterioridad.