Autor Tema: Duda demostración con estimadores

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10 Agosto, 2022, 12:48 pm
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mg

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Hola,

He estado leyendo una demostración de la siguiente proposición:

La clase de estimadores no tiene relación de orden. Es decir \( \nexists T^* \) tal que \( ECM_\theta(T^*)\leq{}ECM_\theta(T),\,\forall{}T,\,\forall{}\theta \)

Donde \( ECM_\theta(T)=E((T-h(\theta))^2) \) con h la función paramétrica de interés.

Entonces por reducción al absurdo al final de la demostración llega a que \( P(T^*=h(\theta))=1 \) \( \forall{}T,\,\forall{}\theta \) y dice entre  paréntesis "hemos definido un estimador puntual que no depende de parámetros desconocidos".

La duda es, si la cosa fuera tal como dice el entrecomillado no habría ninguna contradicción pues los estimadores no dependen del parámetro luego ¿No querrá decir que el estimador SI depende del parámetro desconocido y por tanto no puede ser un estimador suyo por definición?

Un saludo.

10 Agosto, 2022, 08:03 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No, la cosa no va por ahí. La cuestión está en que aunque el estimador no depende de ningún parámetro desconocido, de manera que lo puedes calcular a partir de una muestra, su distribución sí va a depender del parámetro desconocido \( \theta \).

Piensa por ejemplo en el caso en que tienes una población normal de parámetros desconocidos \( N(\mu, \sigma) \). En este caso la media muestral es un estimador de \( \mu \). El cálculo de la media muestral no depende de \( \mu \), pero su distribución sí (de hecho, la distribución de la media muestral es \( N(\mu, \sigma/\sqrt{n}) \).

Ahora, en tu caso se llega a que la distribución del estimador \( T^* \) es degenerada en \( h(\theta) \) para todo \( \theta \) (salvo un conjunto de medida nula). Pero si \( h \) no es una función constante esto es imposible: no puedes tener una variable aleatoria con distribución degenerada en dos valores distintos. Es decir, es imposible que \( P(T^*=a)=P(T^*=b)=1 \) si \( a \neq b \). La única manera de no tener contradicción es que \( h \) sea una función constante, en cuyo caso tienes un estimador perfecto, con ECM cero (ignora la muestra y predice siempre la constante). Pero este es un caso trivial que carece de interés.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Agosto, 2022, 09:05 pm
Respuesta #2

mg

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Si, eso es lo que pensé también. Muchas gracias por tu ayuda.