[esmeraldabrown]

Puedo entonces generalizar está demostracion así:
Definimos
\( \displaystyle B_n= A_n \setminus \bigcup _{i=1}^{n-1} A_i \)

Entendiendo que

\( \displaystyle \ (B_1 = A_1 \ ) \) de modo que \( \displaystyle B_n \in A \)
\( \displaystyle \bigcup _{n=1}^{ \infty} B_n = \bigcup _{n=1}^{ \infty} A_n \in A \)
y los conjuntos \( \displaystyle B_n \) son disjuntos dos a dos, por consiguiente:

\( \displaystyle \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} A_n ) = \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} B_n ) = \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty } \mu  ( B_n ) \leq{} \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty} \mu A_n \)

[Masacroso]

Puedo entonces generalizar está demostracion así:
Definimos
\( \displaystyle B_n= A_n \setminus \bigcup _{i=1}^{n-1} A_i \)

Entendiendo que

\( \displaystyle \ (B_1 = A_1 \ ) \) de modo que \( \displaystyle B_n \in A \)
\( \displaystyle \bigcup _{n=1}^{ \infty} B_n = \bigcup _{n=1}^{ \infty} A_n \in A \)
y los conjuntos \( \displaystyle B_n \) son disjuntos dos a dos, por consiguiente:

\( \displaystyle \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} A_n ) = \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} B_n ) = \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty } \mu  ( B_n ) = \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty} \mu A_n \)

Todo correcto excepto la última identidad. Lo que sí tienes es que \( \mu(B_n)\leqslant \mu(A_n) \) para cada \( n \), ya que \( B_n\subset A_n \), y por tanto tendrías que cambiar la última igualdad por una desigualdad. Es otra forma de demostrar la \( \sigma  \)-subaditividad de toda medida.

Actualización: mirando en este hilo más atrás veo que ya habías demostrado el teorema al inicio de tu tercer mensaje con los mismos razonamientos que expones aquí. Realmente me resulta difícil entender lo que quieres hacer aquí.

[esmeraldabrown]

Masacroso disculpa tanta molestia.
Finalmente queda así ?
\( \displaystyle \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} A_n ) = \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} B_n ) = \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty } \mu  ( B_n ) \leq{} \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty} \mu A_n \)

[Masacroso]

Masacroso disculpa tanta molestia.
Finalmente queda así ?
\( \displaystyle \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} A_n ) = \mu  ( \bigcup _{n=1}^{ \infty} B_n ) = \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty } \mu  ( B_n ) \leq{} \displaystyle\sum_{n=1}^{ \infty} \mu A_n \)

Si queda así el qué, ¿puedes ser más clara con tus preguntas? Mira, en este hilo tienes dos demostraciones distintas del teorema del ejercicio, una la aporto yo y otra tú, ambas las encuentras en esta respuesta previa:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=120956.msg487751#msg487751