El oto día, en un hilo de Richard, vi que Geómetracat comentaba que él sospechaba que no existían números perfectos impares. Yo no sabía que no estaba demostrado. Así que, a ratos, me puse a buscar una demostración durante estos días.
Aquí, todo el mundo sabe la cantidad de“demostraciones” equivocadas que he puesto en el foro. Y la he repasado... pero quizá no todo lo que debiera. No obstante, ésta, aunque estuviera mal, es muy bonita (como músico, aunque sea callejero, doy mucha importancia al aspecto estético).
Y no estaba bien, me despisté. ...
No existen números perfectos impares; demostración:
Si la cantidad de divisores propios de un número perfecto “n” es “k”, podemos escribir
1ª \( kn=ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}+...
\)
donde los “(letra)·p” tienen el valor “n”.
Evidentemente, “n” se podrá expresar como el producto de un primo (o de 1) por otro número (que son los a,b,c...)
Por tanto, si “n” es el número perfecto y “k” la cantidad de sumandos (que es también la cantidad de divisores propios) kn es esa suma.
Spoiler
Por ejemplo, si tomamos 21 (aunque no sea perfecto sirve para verlo) tiene tres divisores propios, que son 1,3,7; entonces n=21 y k=3 y podemos escribir “kn” así
\( 3\cdot21=(1)\cdot21+(3)\cdot7+(7)\cdot3
\)
Consideremos “n” impar.
En caso de que “n” sea impar, todos los divisores serán impares y, por tanto, si “k” impar, la cantidad de sumandos será impar; análogamente, si k par, la cantidad de sumandos será par.
Supongamos que “k” es impar.
\( kn=n+ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}+...
\)
*(escribo “n” para p=1, no cambia nada sustancial, sigue habiendo una cantidad impar de sumandos).
Dividiendo entre “n” la igualdad
\( k=1+\dfrac{ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}+...}{n}
\)
ocurre que “n” tiene que dividir a esa suma, pero es una suma con una cantidad par de sumandos impares, y “n” es impar, luego es imposible. La cantidad de divisores tendrá que ser par: por tanto, tiene que ser k=par.
...
*(Seguidamente uso la letra “t” en vez de “p” porque lo tenía escrito así de antes, pero es lo mismo)
...
Teníamos entonces
0ª \( n=a+b+c...
\)
1ª \( kn=at_{1}+bt_{2}+ct_{3}...
\)
y podemos hacer
2ª \( kn=ak+bk+ck...=at_{1}+bt_{2}+c_{t_{3}}...
\)
3ª \( a(t_{1}-k)+b(t_{2}-k)+c(t_{3}-k)...=0
\)
1ª+3ª \( \Rightarrow
\)
4ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
\)
Ahora, repito este proceso etiquetando 4ª=(1a)ª:
(1a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
\)
(2a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...=ak+bk+ck...
\)
(3a)ª \( a(2t_{1}-2k)+b(2t_{2}-2k)...=0
\)
1ª+(3a)ª \( \Rightarrow
\)
(4a)ª \( kn=a(3t_{1}-2k)+b(3t_{2}-2k)...
\)
...
Por 4ª y por (4a)ª vemos que los coeficientes de la “tes” y la “k” irán aumentando en una unidad si repetimos el proceso varias veces. Así tendremos coeficientes “m” para las “tes” y coeficientes “m-1” para la k (donde “m” tiene libertad para ser el número que quiera ser) de manera que podemos escribir:
5ª \( kn=a(mt_{1}-(m-1)k)+b(mt_{2}-(m-1)k)...=
\)
\( kn=a(mt_{1}-mk+k)+b(mt_{2}-mk+k)...=
\)
Ahora, por el miembro izquierdo de 2ª, sumado a ésta anterior, tenemos
\( 2kn=a(mt_{1}-mk+2k)+b(mt_{2}-mk+2k)...
\)
y divdiendo entre 2k
\( n=a(\dfrac{mt_{1}}{2k}-\dfrac{m}{2}+1)+...
\).
Si k es múltiplo de 2 pero no de 4, eligiendo “m” múltiplo de 4 y no de 8, quedará una suma par en los paréntesis, lo que no puede ser.
Asimismo, si k es múltiplo de 4 pero no de 8, podemos elegir “m” múltiplo de 8 pero no de 16, con lo que pasará igual.
Y así, sucesivamente, siempre podemos elegir un múltiplo “m” adecuado para que todos los sumandos sean pares, lo que impide que “n” sea impar.
Eso está mal, lo que quiere decir es que k no puede ser par
