[Beautyofmaths]

Hola buenas, he estado intentado analizar la existencia (y en ese caso calcular el valor) del siguiente límite pero tengo dudas sobre si he razonado bien.
\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\frac{(1+x+y)(1-cos(y))}{y}} \).
He pensado que, en caso de existir, todos los límites dirigidos sobre cualquier curva \( C\subset{\mathbb{R^2}} \) tendrían que coincidir con ese valor del límite. Entonces he planteado la curva dada por \( y=-x-1 \) y entonces la resticción de la función \( f(x,y) \) a esa curva es la función nula que evidentemente tiene límite \( 0 \). Luego, he considerado la curva dada por \( y=0 \), y entonces la restricción de la función a esa curva da lugar al cociente \( \frac{0}{0} \)que, por no estar definido, su límite también es indefinido; con lo que no coincide con cero y así el límite inicial no existe.

[Juan Pablo Sancho]

Es límite cuando \( (x,y) \to (0,0)  \) y \( y \neq 0  \).
Pero en este caso sólo hay que ver:
\( \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} 1+x+y = 1  \) y saber que \( \displaystyle \lim_{t \to 0} \dfrac{1-\cos(t)}{\frac{1}{2} \cdot t^2} = 1 \).

[delmar]

Hola buenas, he estado intentado analizar la existencia (y en ese caso calcular el valor) del siguiente límite pero tengo dudas sobre si he razonado bien.
\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\frac{(1+x+y)(1-cos(y))}{y}} \).
He pensado que, en caso de existir, todos los límites dirigidos sobre cualquier curva \( C\subset{\mathbb{R^2}} \) tendrían que coincidir con ese valor del límite. Entonces he planteado la curva dada por \( y=-x-1 \) y entonces la resticción de la función \( f(x,y) \) a esa curva es la función nula que evidentemente tiene límite \( 0 \). Luego, he considerado la curva dada por \( y=0 \), y entonces la restricción de la función a esa curva da lugar al cociente \( \frac{0}{0} \)que, por no estar definido, su límite también es indefinido; con lo que no coincide con cero y así el límite inicial no existe.

Has pensado bien, los límites dirigidos sobre cualquier curva que pasa por (0,0) han de ser iguales; pero la curva que eliges es incorrecta y=-x-1 no pasa por (0,0), respecto a la curva y=0 esta si pasa por (0,0); pero el hecho que se llegue a la forma 0/0, no significa que el límite no exista, en este caso existe, verifica ....
La idea de Juan Pablo Sancho es muy buena, el campo escalar es el producto de dos campos escalares \( f(x,y)=(1-x-y) \ (\displaystyle\frac{1-cos y}{y}) \) en este caso el primer factor es una función continua y \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{1-x-y}=1 \) y el límite del segundo factor se puede hallar con sencillez  teniendo en cuenta que \( \displaystyle\lim_{t \to{}0}{\displaystyle\frac{1-cos t}{t}}=0\Rightarrow{\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{1-cos y}{y}}}=0 \), verifica
Con esto saca conclusiones
Saludos

[Beautyofmaths]

De acuerdo, lo he entendido, muchas gracias a los dos. Lo único que me genera algo de dudas es calcular los límites dirigidos. Sé que la definición dice que el límite dirigido sobre una curva \( C \), en este caso, \( y=0 \) sería \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0),(x,y)\in C}{f(x,y)} \) pero, a la hora de calcularlo, ¿qué se tiene que hacer primero? Es decir, ¿primero se debe imponer que \( (x,y) \in C \) haciendo \( y=0 \) y luego hacer el límite cuando \( x\rightarrow{0} \)? Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Te puedes mover por toda curva excepto las que tengan componente \( y=0 \).