[JesusSaez]

Demostrar que existe el menos una recta que es tangente a las gráficas de las funciones \( e^x \) y \( ln(x) \).

¿Se tendría que hacer con el Teorema del valor intermedio o solo con derivación?

[sugata]

Para que sea tangente a ambas, ambas deben coincidir en su derivada....

[JesusSaez]

¿se tendría entonces que mostrar que al menos coinciden en un punto las derivadas?

[martiniano]

Hola.

¿Qué tal llevas la parte de encontrar la recta tangente a una función en un punto?

Si no me he equivocado en las cuentas recta tangente a \[ y=e^x \] en \[ x_1 \] es \[ y=e^{x_1}(1-x_1)+xe^{x_1} \]

Por otro lado, la recta tangente a \[ y=\ln x \] en \[ x_2>0 \] es \[ y=\ln x_2-1+x\cdot{\displaystyle\frac{1}{x_2}} \]

Para que ambas rectas coincidan deben coincidir sus pendientes y sus ordenadas en el origen. Es decir, se deben cumplir las dos siguientes ecuaciones:

\[ e^{x_1} (1-x_1)=\ln x_2-1 \]
\[ e^{x_1}=\displaystyle\frac{1}{x_2} \]

Se trata de demostrar que el anterior sistema tiene solución.

Un saludo.

[JesusSaez]

Correcto, de hecho hasta ahí voy bien, en encontrar las ecuaciones de las tangentes.
Para demostrar que el sistema tiene solución, ¿el camino sería obtener el Jacobiano y usar el teorema de la función inversa?

[Richard R Richard]

\( e^{x_1}=\dfrac{1}{x_2}\quad \to \quad  x_1=-\ln \,x_2 \)

reemplazando en

\( e^{x_1} (1-x_1)=\ln \,x_2-1 \)

\( \dfrac{1}{x_2}(1+\ln \,x_2)=\ln x_2-1 \)

resolviendo el cero de la función   con WA


\( \dfrac{1}{x_2}(1+\ln \,x_2)-\ln \,x_2+1=0 \) o el de esta otra \( \ln x_2 -\dfrac{2x_2}{x_2-1}=0 \)

hay dos resultados

\( x2_{1} \cong 0.346424519891362... \)

\( x2_{2} \cong 9.38061977197128... \)

con que exista un resultado entonces existe al menos una tangente....Saludos

[martiniano]

Hola.

Para demostrar que el sistema tiene solución, ¿el camino sería obtener el Jacobiano y usar el teorema de la función inversa?

La verdad es que no acabo de ver cómo aplicar aquí el teorema de la función implícita para demostrar esto. Yo había pensado en algo parecido a lo que hace Richard. Tan sólo apuntar que se puede demostrar que existen soluciones de una ecuación sin necesidad de hallar explícita o numéricamente dichas soluciones.

Un saludo.

[JesusSaez]

No, pero yo decía el de la función inversa.

[Richard R Richard]

No, pero yo decía el de la función inversa.

Puedes citar de alguna fuente o copiar el enunciado de ese teorema, para ver si es aplicable.

[JesusSaez]

El teorema de la función inversa es el siguiente.
Sea \( A\subseteq \mathbb{R}^n \) un conjunto abierto y \( f:A\rightarrow \mathbb{R}^n \) una función clase \( C^1 \). Si \( x_0\in A \) y \( JF(x_0)\neq 0 \)(el jacobiano de \( f \)), entonces existe una vecindad \( U \) de \( x_0 \) y una vecindad \( V \) de \( f(x_0) \) tales que \( f(U)=V \) y la restricción \( g=f_{\mid U}:U\rightarrow V \) tiene una inversa \( g^{-1}:V\rightarrow U \) clase \( C^1 \). Además, para cada \( y\in W \) y \( x=f^{-1}(y) \) tenemos que \( Df^{-1}(y)=[Df(x)]^{-1} \).