Hola
Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \), \( \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \). Definamos \( f \) por
\(
f(x,y)=
\begin{cases}
{x^2+y^2}&\text{si }& x,y\in\mathbb{Q}\\
0& \text{si }& x\in\mathbb{I}\text{ ó }\color{red}y\color{black}\in\mathbb{I}
\end{cases}
\)
a)¿En qué puntos de \( \mathbb{R}^2 \) es \( f \) contínua?
Comprueba que en los puntos \( (x,y) \) con alguna coordenada irracional NO es continua, porque te puedes aproximar a tales puntos sobre racionales de manera que el límite de la función sobre ellos valdría \( x^2+y^2\neq 0 \); y sin embargo \( f(x,y)=0 \).
Pero si es continua en el origen ya que en cualquier caso:
\( \|f(x,y)-f(0,0)\|=\|f(x,y)\|\leq x^2+y^2=\|(x,y)\|^2 \)
(completa los detalles)
b)¿En qué puntos de \( \mathbb{R}^2 \) es \( f \) diferenciable?
Justifique sus afirmaciones.
Donde no es continua no es diferenciable; así que la única posibilidad de diferenciabilidad es en el origen.
Comprueba que las parciales en el origen existen y son nulas. Por ejempo:
\( \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}{}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \)
Si \( h \) es racional: \( \dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\dfrac{h^2}{h}=h \) y el límite es cero.
Si \( h \) es irracional: \( \dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\dfrac{0}{h}=0 \) y el límite es cero.
Por tanto el límite existe y es nulo. Lo análogo para la otra parcial.
Entonces si fuese diferenciable en cero la aplicación diferencial sería la nula, y hay que comprobar que:
\( \displaystyle\lim_{(u,v) \to (0,0)}\dfrac{f(0+u,0+v)-f(0,0)}{\|(u,v)\|}=0 \)
Verifica que efectivamente ese límite es cero y por tanto SI es diferenciable en el origen.
Completa los detalles y pregunta la dudas.
Saludos.