Hola
¿Para qué valores del parámetro \( a \) existe una función real \( f \) definida y diferenciable en una vecindad de \( (0,0) \) tal que \( f(0,0)=0 \) y
\(
af^3+(a+x-1)f-y^2+x=0
\)
?
Encuentre la derivada \( \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x\partial y}}(0,0) \).
Aplica el teorema de la función implícita para la función \( F(x,y,z)=az^3+(a+x-1)z-y^2+x \). Tienes que:
\( \dfrac{\partial F}{\partial z}=3az^2+(a+x-1) \)
Si evalúas en \( (x,y,z)=(0,0,0) \) te queda:
\( \dfrac{\partial F}{\partial z}=a-1 \)
Por tanto si \( a-1\neq 0 \) tienes garantizada la existencia de la función pedida. Si \( a=1 \), el teorema de la función implícita no dice nada al respecto.
Para hallar la derivada parcial segunda que te piden ve derivando sucesivamente en la función implícita dada:
\( af(x,y)^3+(a+x-1)f(x,y)-y^2+x=0 \)
Por ejemplo si derivas respecto a \( x \), denotando \( f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x} \):
\( 3af(x,y)^2f_x(x,y)+f(x,y)+(a+x-1)f_x(x,y)+1=0 \)
Evaluando en \( (0,0) \):
\( 3af(0,0)^2f_x(0,0)+f(0,0)+(a+0-1)f_x(0,0)+1=0 \)
\( (a-1)f_x(0,0)+1=0 \)
de donde:
\( f_x(0,0)=\dfrac{1}{1-a} \)
Saludos.
