Hola
Bienvenido al foro.
Hola. Tengo que demostrar las siguientes propiedades, según yo, ya las demostré correctamente. Sin embargo, he buscando en varios videos y foros de matemáticas y ninguno sigue mi forma. Por lo que me pregunto si están bien
Antes de nada a la hora de demostrar este tipo de propiedades tan "familiares", conviene tener claro en que definiciones y resultados previos puede uno apoyarse e indicar en cada caso que se usa.
Hipótesis general: Si \( b \neq 0 \), el simbolo \( \displaystyle\frac{a}{b} \) significa \( a*b^{-1} \)
1.- Demuestra que \( \displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{ac}{bc} \), si \( b,c \neq 0 \)
Se que \( a*b^{-1} = \displaystyle\frac{a}{b} \)
- Multiplicando ambos lados por \( c*1/c \)
\( [ a*b^{-1}] [c*1/c] = [\displaystyle\frac{a}{b}] [c*1/c] \)
\( [ a*b^{-1}] [1] = [\displaystyle\frac{a}{b}] \displaystyle\frac{c}{c} \)
\( [ a*b^{-1}] = \displaystyle\frac{ac}{bc} \)
Es correcto esto ?. Segun yo no estoy asumiendo nada y solo "construir la igualdad con una forma equivalente del miembro izquierdo de la igualdad"
Tu ahí estás usando (entre otras cosas) que:
\( \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{c}=\dfrac{ac}{bc} \)
cosa que es cierta, pero que no se si se supone que ya tienes demostrada previamente. Si lo tienes demostrado previamente tu demostración es correcta.
Sin embargo, tal como está en enunciado parece que está definiendo la notación \( \dfrac{a}{b} \) como equivalente a \( ab^{-1} \), entendiendo que el inverso de un número es aquel que multiplicado por él nos da uno.
Entonces si nos piden probar que \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc} \), equivalentemente nos están pidiendo demostrar que:
\( ab^{-1}=(ac)(bc)^{-1} \)
A lo más cómodo me parecería demostrar primero (3) y entonces:
\( (ac)(bc)^{-1}=(ac)b^{-1}c^{-1} \) (por (3))
\( (ac)b^{-1}c^{-1}=a(cc^{-1})b^{-1} \) (por las propiedades conmutativa y asociativa)
\( a(cc^{-1})b=a\cdot 1\cdot b^{-1} \) (por la definición de inverso)
\( a\cdot 1\cdot b^{-1}=ab^{-1} \) (por definición de neutro)
2.- Demuestra que \( \displaystyle\frac{a}{b} + \displaystyle\frac{c}{d} = \displaystyle\frac{ad+bc}{bd} \)
Otra vez.
\( \displaystyle\frac{a}{b} + \displaystyle\frac{c}{d} = a*b^{-1} + c*d^{-1} \). Y multiplicando por ambos lados de la igualdad por \( b*b^{-1} \) y \( d*d^{-1} \), utilizando asociatividad, distribuyendo y conmutando llego a la igualdad deseada. ¿ Es correcto ?
La idea es correcta. Aunque de nuevo estás usando (3), es decir, que \( (bd)^{-1}=b^{-1}d^{-1}. \)
Y por ultimo que es con la que mas duda tengo
3.- Demuestra que \( (ab)^{-1} = a^{-1}*b^{-1} \)
\( (ab)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ab} \)
\( [(ab)^{-1}]*[bb^{-1}][aa^{-1}]= [bb^{-1}][aa^{-1}]\displaystyle\frac{1}{ab} \)
Cancelando del lado izquierdo llego a que
\( [(ab)^{-1}] = b^{-1}*a^{-1} \)
Aquí no me queda claro como cancelas. De nuevo recuerda que \( \dfrac{1}{ab} \) no es más que una notación para \( (ab)^{-1} \). Precisamente en esta propiedad te piden que demuestres que ese inverso "entra dentro del paréntesis"; sospecho que en esa cancelación utilizas precisamente lo que quieres demostrar.
Lo típico en este caso es usar que para probar que un elemento es inverso de otro hay que ver que su producto es el neutro. En este caso, probar que \( (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1} \) es probar que:
\( (ab)(a^{-1}b^{-1})=1 \)
Esto se deduce fácilmente usando las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y la definición del inverso.
Saludos.
