[Ignacio Larrosa]

El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo es \( 6,5 cm \) y el radio de su circunferencia inscrita es de \( 2 cm \). Calcular la media de los lados del triángulo.

Spoiler

Este es francamente sencillito:

[cerrar]

Saludos,

[Farifutbol]

Desde mi ignorancia:
Por qué \( a+b-2r=c \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Desde mi ignorancia:
Por qué \( a+b-2r=c \)?

Saludos.

[Farifutbol]

Claro!
Gracias

[jrodvaz]

La hipotenusa \(  c =13  \) la obtuve igual, pero para los catetos lo hice de esta forma.

El área del triángulo se puede calcular con las expresiones:

\(  A = \displaystyle\frac{ab}{2}  \)

\(  A = \displaystyle\frac{a + b + c}{2}r  \)

e igualando se obtiene

\(  \displaystyle\frac{ab}{2} = \displaystyle\frac{a + b + c}{2}r \Rightarrow{ab = (a + b + c)r} \)

Aplicando el teorema de Pitágoras

\(  a\sqrt[ ]{c^2 - a^2} = (a +  \sqrt[ ]{c^2 - a^2} + c)r  \)

Sustituyendo \(  c = 13  \)  y \(  r = 2  \)

\(  a\sqrt[ ]{13^2 - a^2} = (a +  \sqrt[ ]{13^2 - a^2} + 13)2  \)

Se llega a

\(  a^3  - 17a^2 + 60a = 0  \)

Hay tres soluciones

a = 0 (imposible)
a = 5 (primer cateto)
a = 12 (segundo cateto)

[vicenteab]

Sea el triángulo rectángulo ABC recto en A. Con la notación habitual, a,b,c serán sus lados y s=(semiperímetro)=\( \frac{a+b+c}{2} \). Sabemos que los puntos de contacto A',B' y C' de la circunferencia inscrita sobre el \( \triangle{ABC} \) verifican las relaciones \( s-a=AA'=AB'=r=2; a=2R=13\rightarrow{s=15}\rightarrow{a+b+c=30;\displaystyle\frac{a+b+c}{3}=10} \).
Saludos.

[Farifutbol]

La hipotenusa \(  c =13  \) la obtuve igual, pero para los catetos lo hice de esta forma.

El área del triángulo se puede calcular con las expresiones:

\(  A = \displaystyle\frac{ab}{2}  \)

\(  A = \displaystyle\frac{a + b + c}{2}r  \)

e igualando se obtiene

\(  \displaystyle\frac{ab}{2} = \displaystyle\frac{a + b + c}{2}r \Rightarrow{ab = (a + b + c)r} \)

Aplicando el teorema de Pitágoras

\(  a\sqrt[ ]{c^2 - a^2} = (a +  \sqrt[ ]{c^2 - a^2} + c)r  \)

Sustituyendo \(  c = 13  \)  y \(  r = 2  \)

\(  a\sqrt[ ]{13^2 - a^2} = (a +  \sqrt[ ]{13^2 - a^2} + 13)2  \)

Se llega a

\(  a^3  - 17a^2 + 60a = 0  \)

Hay tres soluciones

a = 0 (imposible)
a = 5 (primer cateto)
a = 12 (segundo cateto)

Debe ser una tontería, pero no se como se llega a esa ecuación de tercer grado, porque agrupando raíces y elevando al cuadrado me queda otra ecuación, que da lo mismo, pero carai para resolverla.
\( -a^4+4a^3+161a^2-780a=0 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Debe ser una tontería, pero no se como se llega a esa ecuación de tercer grado, porque agrupando raíces y elevando al cuadrado me queda otra ecuación, que da lo mismo, pero carai para resolverla.
\( -a^4+4a^3+161a^2-780a=0 \)

De aquí:

\(  a\sqrt[ ]{13^2 - a^2} = (a +  \sqrt[ ]{13^2 - a^2} + 13)2  \)

Tienes_

\( (a-2)\sqrt{13^2-a^2}=2(a+13) \)

Elevando al cuadrado:

\( (a-2)^2(13^2-a^2)=4(a+13)^2 \)

\( (a-2)^2(13+a)(13-a)=4(a+13)^2 \)

\( (a-2)^2(13-a)=4(a+13) \)

Saludos.

P.D. De todas formas es más sencilla la primera solución que se propuso.